2019届江苏专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第二课时范围最值问题讲义理苏

§9.9

圆锥曲线的综合问题第2课时范围、最值问题课时作业题型分类深度剖析内容索引题型分类深度剖析题型一范围问题解答(1)求直线FM的斜率；几何画板展示又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c).(2)求椭圆的方程；解答解答设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华解答所以点F1的坐标为(－2,0)，点F2的坐标为(2,0)，(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围.解答设点P的坐标为(x0，y0)，点M的坐标为(xM，yM)，又椭圆离心率e∈(0,1)，题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2

(2016·徐州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是_____.答案解析4几何画板展示命题点2数形结合利用几何性质求最值例3

(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为______.答案解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值(1)求椭圆C的方程.解答设椭圆的半焦距为c.(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.证明设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).②求直线AB的斜率的最小值.解答设A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直线PA的方程为y＝kx＋m，则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华跟踪训练2

(2017·扬州预测)已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2＝4y.解答几何画板展示(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；解答几何画板展示同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解.所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值.由抛物线定义可知AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AF·BF＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，解答课时作业1.(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则FA的取值范围是___________.答案解析123456789123456789答案解析123456789求MP的最小值可以转化为求OP的最小值，当OP取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，123456789答案解析(1,3]123456789由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，在△PF1F2中，PF1＋PF2≥F1F2，又e>1，所以1<e≤3.123456789答案解析61234567891234567891234567895.(2017·郑州第一次质量预测)已知椭圆C1：

与双曲线C2：

有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________.答案解析123456789∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，1234567891234567896.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是____.答案解析3123456789则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).1234567897.已知椭圆C1：

(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；解答123456789(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于M，N两点.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.解答123456789如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，直线MN的方程为

y＝2tx－t2＋h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0. ①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0. ②设线段MN的中点的横坐标是x3，123456789由题意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0. ③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.当h≤－3时，h＋2<0，4－h2<0，则不等式②不成立，所以h≥1.当h＝1时，代入方程③得t＝－1，123456789将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立.所以，h的最小值为1.1234567898.(2016·苏北四市联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

(a>b>0)的离心率e＝

，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.(1)求椭圆C的标准方程；解答123456789因为左顶点为A(－4,0)，又因为b2＝a2－c2＝12，123456789(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解答123456789直线l的方程为y＝k(x＋4)，化简，得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，123456789因为P为AD的中点，直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0，得点E的坐标为(0,4k).假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，则kOPkEQ＝－1，123456789因此定点Q的坐标为(－3,0).123456789解答123456789因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，由OM∥l，123456789123456789(1)求C1，C2的方程；解答123456789123456789解答(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.123456789因为AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，123456789即mx＋2y＝0.123456789设点A到直线PQ的距离为d，则点B到