高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件6北师大版选修

问题的提出问题一：一个小球自由落体,它在下落3秒时的速度是多少？问题二：周长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角截去一个小正方形,然后把四边翻转90o角,再焊接而成.水箱底边多长时,水箱容积最大？最大容积是多少？xx15-2x15-2x第三章变化率与导数在报纸或电视节目中,我们有时会得到这样的信息:……这种新研制的战斗机最大飞行高度18000米,最大冲刺速度1480千米/时.

据某气象台报道,某市在20日凌晨1～2时降雨强度达72毫米/时;有的地方瞬间降雨强度达99毫米/时,被称作“白雨”(眼睛已看不清景物).……

“冲刺速度”“降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的情况,都是数学中导数概念的原型.导数是数学中最重要的概念之一,它在日常生活和科学研究中有广泛的应用.βPQMΔx=x2-x1Δyy=f(x)Oxy

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x1,y1)是曲线C上的任意一点,Q(x2,y2)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.§1变化的快慢与变化率一、平均变化率记:自变量的改变量ΔxΔy=y2-y1函数值的改变量用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.平均变化率Poxyy=f(x)Q切线T请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.ΔxΔy当Δx→0时PQ→PT某一常数切线的斜率1.切线：当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.2.切线的斜率：设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:3.如何求曲线上一点的切线的斜率：（1）求Δy；这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②指出了切线斜率的本质——函数平均变化率的极限；③说明切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个极限.二、瞬时变化率(瞬时变化率)例1.

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx解：因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.例2.曲线y=x3在x=0处的切线是否存在？若存在,求出切线的斜率和切线方程,若不存在,请说明理由.解：(1)Δy=f(0+Δx)-f(0)=(Δx)3因此,切线方程为y=0.yx-2-112-2-1123Oxy注意：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.问：曲线在点x0处一定有切线吗？xy4.曲线在点x0处的切线有以下几种情形：说明曲线在x0处有切线,且切线的斜率是k.

说明曲线在x0处有切线,但切线的斜率不存在.说明曲线在x0处没有切线.练习1.判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线方程.4x-y-2=0第3秒第3+∆t秒∆s三、瞬时速度当Δt→0时常数29.4

平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.1.平均速度：设物体的运动规律是s＝s(t),则物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为3.求瞬时速度一般可以分为三步：（1）求Δs；2.物体在时刻t的瞬时速度:物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt→0时的平均速度的极限；解:(1)将Δt=0.1代入上式,得:从而平均速度的极限是即物体在t=2(s)时的瞬时速度是20m/s.练习2.P56/2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；

(2)物体在t=2(s)时的瞬时速度.例3.

物体作自由落体运动,运动方程为g=10m/s2.小结2.曲线在点P(x0,y0)处切线