中考数学二轮培优训练第20讲 梯形中的分类讨论（解析版）

第20讲梯形中的分类讨论【应对方法与策略】梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四个点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而B不相等．

若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形；

若是直角梯形，则需联结对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形【多题一解】【一题多解】一、解答题1．（2021·福建福州·统考一模）如图，直角梯形ABCD中，．点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→B→C向点C运动，设点P的运动时间为t．(1)点P在运动过程中，BP=_________________；（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线LDC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比．【答案】(1)丨8－t丨(2)3或或12(3)或【分析】（1）分点P在AB上运动时和点P在BC上运动时列出代数式即可；（2）分DE=DP、DP=PE、DE=PE情况求解即可；（3）分∠EDQ=∠DQP=90°时和∠DEP=∠EPQ=90°时两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可．（1）解：当点P在AB上运动时，BP=AB－AP=8－t；当点P在BC上运动时BP=t－8，故答案为：丨8－t丨；（2）解：过D作DH⊥BC于H，连接EH，则∠DHC=∠DHB=90°，∵AD∥BC，∠DAB=90°，∴∠ABC=∠DAB=90°=∠DHB，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=8，BH=AD=4，DH∥AB，∠ADH=90°，则CH=BC-BH=6，在Rt△DHC中，，∵E为CD的中点，∴DE=CE=EH=CD=5，①当DE=DP时，DP=5，点P在AB上，在Rt△ADP中，，∴t=3；②当DP=PE时，点P在AB上，取DH的中点F，连接EF并延长交AB于Q，又∵E为CD的中点，∴EF=CH=3，EF∥CH，∴∠CHD=∠EFD=∠DFQ=90°，则四边形AQFD为矩形，∴FQ=AD=4，∠AQE=90°，AQ=DF=4，在Rt△ADP中，DP2=AD2+AP2=16+t2，在Rt△EPQ中，EQ=EF+FQ=7，PQ=丨t-4丨，∴PE2=EQ2+PQ2=49+（t-4）2，∴16+t2=49+（t-4）2，解得：t=＜8，故P不可能在BC上；③当DE=PE时，PE=5，∵5＜7，∴点P在BC上，∵EH=DE=5，∴当P运动到H处时，有DE=PE，此时t=8+4=12；综上，满足条件的t值为3或或12；（3）解：如图，当∠EDQ=∠DQP=90°时，四边形DQPE为直角梯形，过D作DH⊥BC于H，由（2）中知，DH=8，CH=6，DE=5，CD=10，∠ADH=∠CHD=90°，∵∠ADQ+∠QDH=∠CDH+∠QDH=90°，∴∠ADQ=∠CDH，又∠A=∠CHD=90°，∴△ADQ∽△HDC，

∴即，∴AQ=3，DQ=5，则BQ=AB-AQ=8-3=5，∵PQ∥DC，∴∠HCD=∠BPQ，又∠CHD=∠B=90°，∴△CDH∽△PQB，∴即，∴PQ=，∴，如图，当∠DEP=∠EPQ=90°时，四边形DQPE为直角梯形，由（2）中知，DH=8，CH=6，CE=5，CD=10，∠CHD=90°，∵∠C=∠C，∠CEP=∠CHD=90°，∴△EPC∽△HDC，

∴即，∴EP=，CP=，则PB=BC-CP=10-=，∵△CDH∽△PQB，∴即，∴PQ=，，综上，直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比为或．【点睛】本题考查四边形的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角梯形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键，计算量较大，需要细心计算．2．（2021·上海·八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)梯形ABCD的高为cm，∠A=60°(2)(3)存在为时，使四边形的面积是梯形面积的一半【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，证Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再证∠ADE=30°，则∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可；（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解；（3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分两种情况：①若点Q在CD上，即0≤t≤2；②若点Q在AD上，即2＜t≤4；分别由面积关系得出方程，解方程即可．（1）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AB∥CD，∴DE⊥CD，CF⊥CD，∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE=CF，DC=EF=2cm，在Rt△ADE和Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE=BF，∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），∵AD=6cm，∴AE=AD，∴∠ADE=30°，∴∠A=60°，DE=（cm），∴梯形ABCD的高为cm；（2）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示：同（1）得：四边形CDEF是矩形，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，∵CQ=t，∴DQ=EP=2-t，∵AP=AE+EP，∴2t=3+2-t，解得：t=；（3）解：存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下：∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时，①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示：则CQ=t，BP=8-2t，S四边形PBCQ=（t+8-2t）×3=，解得：t=3（不合题意舍去）；②若点Q在AD上，即2＜t≤4，过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示：则AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，在Rt△AGQ中，∠A=60°，∴∠AQG=90°-60°=30°，∴AG=AQ，∴QG=，同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），∵S四边形PBCQ=S梯形ABCD，∴S△APQ+S△CDQ=S四边形PBCQ，∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，整理得：t2-9t+17=0，解得：t1=（不合题意舍去），t2=，综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理、一元二次方程等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰梯形的性质和勾股定理，证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解题的关键，属于中考常考题型．3、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？图（15）图（15）CcDcAcBcQcPcEc【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．即解得即秒时，与相互平分．（3）①当在上，即时，作于，则即=当秒时，有最大值为②当在上，即时，=易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为4、在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长．（2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．【解析】：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形∴在中，在，中，由勾股定理得，∴（图（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形∵∴∴∴由题意知，当、运动到秒时，∵∴又∴∴即解得，AADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴②当时，如图④，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，∴解得∵∴∴即∴（图（图⑤）ADCBHNMF③当时，如图⑤，过作于点.解法一：（方法同②中解法一）解得解法二：∵∴∴即∴综上所述，当、或时，为等腰三角形5、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．图1图1满分解答（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以抛物线的解析式为．（2）由，得顶点D的坐标为(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．图2图3如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以点E的坐标为，或．（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．①如图4，当DF//AC时，由，得．解得DF＝．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．②如图5，当CF//AD时，由，得．解得CF＝．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F．图4图56、如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1图1思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．解方程，得，．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．图2图3（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．因此．所以．所以．于是．因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．7、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1图2思路点拨1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．满分解答（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12)两点，得解得所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．（2）由，知点B的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．图3图4图5（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．在Rt△PMH中，，．所以．在Rt△PNH中，，．所以．①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．此时．8、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．图1图1思路点拨1．由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45°，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．因此讨论△AEC和△AED相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．2．因为∠CAD是直角，所以直角梯形存在两种情况．满分解答（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以抛物线的解析式为．（2）由，得顶点D的坐标为(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．图2图3如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以点E的坐标为，或．（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．①如图4，当DF//AC时，由，得．解得DF＝．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．②如图5，当CF//AD时，由，得．解得CF＝．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F．图4图59、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．图1思路点拨1．△ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标．2．AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．满分解答（1）直线y＝x＋2与x轴的夹角为45°，点A的坐标为(－2,0)．因为△ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．因此OD＝4．所以点B的坐标为(4,6)．（2）将A(－2,0)、B(4,6)代入，得解得b＝2，c＝6．所以抛物线的解析式为．（3）由，得抛物线的对称轴为直线x＝2，点C的坐标为(0,6)．如果AQ＝CP，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ//CP，此时点P的坐标为(2,6)．②如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上．设点F的坐标为(x,0)，根据FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．解得x＝8．所以OF＝8，HF＝6．因此．此时点P的坐标为．图2图310、已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．图1图1思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．满分解答（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，代入点C(－2,－3)，可得b＝3．所以点D的坐标为（0，3）．②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此点E的坐标为（3，6）．所以．图2图311、如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1图1思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．解方程，得，．x＝2的几何意义是P与C重合