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文档简介
第14讲相似三角形中的“一线三等角”模型【应对方法与策略】(1)“三垂直”模型如图1,∠B=∠D=∠ACE=90°,则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型如图2,∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE.特别地,连接AE,若C为BD的中点,则△ACE∽△ABC∽△CDE.【多题一解】一、解答题1.(2022秋·四川内江·九年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习)(1)问题如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当时,求证:.(2)探究若将90°角改为锐角或钝角(如图2),其他条件不变,上述结论还成立吗?说明理由.(3)应用如图3,在中,,,以点A为直角顶点作等腰.点D在BC上,点E在AC上,点F在BC上,且,若,求CD的长.2.(2022·四川成都·模拟预测)矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B、C重合).过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与边AC交于点E.(1)当点F运动到边BC的中点时,点E的坐标为__________;(2)连接EF,求∠FEC的正切值;(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求BG的长度.3.(2022春·全国·九年级专题练习)如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,延长FE与直线CD相交于点G,连接FC(AB>AE).(1)求证:△AEF∽△DCE;(2)△AEF与△ECF是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;(3)设,是否存在这样的k值,使得△AEF与△BFC相似?若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,请说明理由.4.(2022·山东济南·模拟预测)如图,已知四边形ABCD,∠B=∠C=90°,P是BC边上的一点,∠APD=90°.(1)求证:;(2)若BC=10,CD=3,PD=3,求AB的长.5.(2022秋·河南开封·九年级统考期末)某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后,在等腰△ABC中,其中,如图1,进行了如下操作:第一步,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交BA的延长线和AC于点E,F,如图2;第二步,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点D,作射线AD;第三步,以D为圆心,DA的长为半径画弧,交射线AE于点G;(1)填空;写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___;(2)①请判断AD与BC的位置关系,并说明理由.②当时,连接DG,请直接写出___;(3)如图3,根据以上条件,点P为AB的中点,点M为射线AD上的一个动点,连接PM,PC,当时,求AM的长.6.(2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=-交x轴于A、B两点,点C在抛物线上,且点C的横坐标为-1,连接BC交y轴于点D.(1)如图1,求点D的坐标;(2)如图2,点P在第二象限内抛物线上,过点P作PG⊥x轴于G,点E在线段PG上,连接AE,过点E作EF⊥AE交线段DB于F,若EF=AE,设点P的横坐标为t,线段PE的长为d,求d与t的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,点H在线段OB上,连接CE、EH,若∠CEF=∠AEH,EH-CE=,求点P的坐标.7.(2021·山东滨州·统考中考真题)如下列图形所示,在平面直角坐标系中,一个三角板的直角顶点与原点O重合,在其绕原点O旋转的过程中,两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B(点A在点B的左侧).(1)如图1,若点A、B的横坐标分别为-3、,求线段AB中点P的坐标;(2)如图2,若点B的横坐标为4,求线段AB中点P的坐标;(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为,求y关于x的函数解析式;(4)若线段AB中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.8.(2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模)在矩形中,点是边上一点,将沿折叠,使点恰好落在边上的点处.(1)如图1,若,求的值;(2)如图2,在线段上取一点,使平分,延长,交于点,若,求的值.9.(2022春·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习)如图1,正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE(1)[发现]:当正方形AEFG绕点A旋转,如图2,线段DG与BE之间的数量关系是____;位置关系是___;(2)[探究]:如图3,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与BE的数量关系与位置关系,并说明理由;(3)[应用]:在(2)情况下,连结GE(点E在AB上方),若GE//AB,且AB=,AE=1,求线段DG的长10.(2021·黑龙江哈尔滨·统考二模)在平面直角坐标系中,为坐标原点直线与轴交于点,与轴交于点,,的面积为2.(1)如图1,求直线的解析式;(2)如图2,线段上有一点,直线为,轴,将绕点顺时针旋转,交于点,求点的坐标.(用含的式子表示)(3)如图3,在(2)的条件下,连接,交直线于点,若,求点的坐标.11.(2022秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期中)(1)正方形中,对角线与相交于点O,如图1,请直接猜想并写出与之间的数量关系:;(2)如图2,将(1)中的绕点B逆时针旋转得到,连接,请猜想线段与的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,矩形和有公共顶点,且,则.【一题多解】1.(2021秋·吉林长春·九年级统考期末)【感知】如图①,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P点A、B重合),.易证.(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),.若,,,求AP的长.【拓展】如图③,在中,,,点P在边AB上(点P不与点A、B重合),连结CP,作,PE与边BC交于点E,当是等腰三角形时,直接写出AP的长.2.(2021春·全国·九年级专题练习)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F.(1)探究发现:如图1,若m=n,点E在线段AC上,则=;(2)数学思考:①如图2,若点E在线段AC上,则=(用含m,n的代数式表示);②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否仍然成立?请仅就图3的情形给出证明;(3)拓展应用:若AC=,BC=2,DF=4,请直接写出CE的长.3.(2022秋·浙江·九年级期末)如图直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A,过A作AB∥x轴,交抛物线于点B,连结OB.点P为抛物线上AB上方的一个点,连结PA,作PQ⊥AB垂足为H,交OB于点Q.(1)求AB的长;(2)当∠APQ=∠B时,求点P的坐标;(3)当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时,求点P的坐标.4.(2022·四川乐山·统考一模)如图1和图2,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A是x轴上的一个动点,M是线段AC的中点.把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB.过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线,两直线交于点D,直线DB交x轴于点E.设A点的横坐标为m.(1)求证:△AOC∽△BEA;(2)若m=3,则点B的坐标为;若m=﹣3,则点B的坐标为;(3)若m>0,△BCD的面积为S,则m为何值时,S=6?(4)是否存在m,使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求此时m的值;若不存在,请说明理由.5.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,四边形ABCD是矩形,点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连接PB,过点P作,交射线DC于点E,已知,.设AP的长为x.(1)___________;当时,_________;(2)试探究:否是定值?若是,请求出这个值;若不是,请说明理由;(3)当是等腰三角形时,请求出的值.6.(2021·浙江衢州·统考中考真题)【推理】如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一动点,将正方形沿着BE折叠,点C落在点F处,连结BE,CF,延长CF交AD于点G.(1)求证:.【运用】(2)如图2,在【推理】条件下,延长BF交AD于点H.若,,求线段DE的长.【拓展】(3)将正方形改成矩形,同样沿着BE折叠,连结CF,延长CF,BF交直线AD于G,两点,若,,求的值(用含k的代数式表示).7.(2021·吉林松原·校联考三模)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,D、E分别为边AB、AC的中点,连接DE,点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿折线AD﹣DE﹣EA向终点A运动,过点P作PQ⊥BC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段QC上,设点P的运动时间为t秒(0<t<12).(1)当点P在线段EA上运动时,求线段PE的长(用含t的代数式表示).(2)当点N落在AC边上时,求t的值.(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,设四边形的面积为S,求S与t的函数关系式.(4)当点N与点E不重合时,作直线NE,直接写出直线NE将△ABC分成的两部分图形的面积比为1:2时t的值.8.(2021·福建龙岩·统考二模)抛物线经过点,,直线过点,
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