北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程

5.1认识方程北师大版数学七年级上册第五章一元一次方程1.理解方程及一元一次方程的概念，会检验一个数是不是方程的解.2.根据实际问题列一元一次方程.3.通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，从而体会数学的方程模型思想．素养目标探究新知知识点1方程和一元一次方程的概念1.在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少?(1)这个问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系?(2)如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为

.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子?10x＋15（45－x）＝475.探究新知2.某长方形操场的面积是5850m，长比宽多25m。(1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系?(2)如果设这个操场的宽为xm，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为

.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子?x（x＋25）＝5850

3.甲、乙两地相距22

km,张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走1km,因此提前12min到达乙地.(1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系?(2)如果设设张叔叔原计划每小时走xkm，那么他比原计划提前的时间可用含x的代数式表示为

.(3)你能得到怎样的表示量相等的式子?探究新知

大家观察，这三个式子有什么特点？

讨论并回答：什么是方程？方程有什么特点？含有未知数的表示量相等的等式称为方程.方程的特点：①方程中一定含有未知数；②方程是等式.结论探究新知10x＋15（45－x）＝475、x（x＋25）＝5850判断下列式子是不是方程？（1）x+2=3

（2）x+3y=6

（3）3x-6（4）1+2=3

（5）x+3>5

（6）y-12=5

是是是不是不是不是变式训练巩固练习比较：列算式和列方程从算式到方程是数学的进步！列算式:列出的算式表示解题的计算过程,只能用已知数.

对于较复杂的问题,列算式比较困难.列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用

已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.探究新知一元一次方程满足的条件：（一次）（一元）一元一次方程的概念1.只含有一个未知数；2.未知数的次数都是1；3.等号两边都是整式.探究新知在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.10x＋15（45－x）＝475，2x＋3＝

7

x＋4都是一元一次方程.例1

哪些是一元一次方程？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）;（7）.一元一次方程的识别不是整式方程不是等式素养考点1是不等式，不是方程是一元一次方程.是一元一次方程.未知数的次数是2含有两个未知数.

3a+9＞152x+12m+15=33x-5=5x+4

x2+2x-6=0

-3x+1.8=3y

探究新知

√√7a+8=10变式训练巩固练习例2

（1）若关于x的方程2

x|n|-1–9=0是一元一次方程，则n的值为

.

（2）方程（m+1）x|m|

+1=0是关于x的一元一次方程，则m=

.2或-21利用一元一次方程的定义求字母的值素养考点2注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件：①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.探究新知1.方程3x5-2k-8=0是关于x的一元一次方程，则k=_____.22.方程x|m|+4=0是关于x的一元一次方程，则m=_____.3.方程(m-1)x

-2=0是关于x的一元一次方程，则m_____.1或-1≠1变式训练巩固练习根据下列问题，设未知数并列出方程：

（1）小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？树苗原来的高度40厘米+长的高度=1米解：设大约x周后树苗长到1米，根据题意得：40+5x=100.知识点2根据实际问题建立方程模型探究新知（2）第六次全国人口普查统计数据(2010年11月1日新华社公布).截止2010年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为8930人，比2000年7月1日0时增长了147.30%，2000年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？解：设2000年6月底每10万人中约有x人具有大学文化程度，则：x

(1+147.30%)=8930.2000年6月具有大学文化程度的人+增长的人数=8930探究新知

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.

请同学们思考：1.怎样将一个实际问题转化为方程问题？2.列方程的依据是什么？设未知数列方程一元一次方程抓关键句子找等量关系实际问题探究新知解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为0.52x，

男生人数为(1-0.52)x.

某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？列方程：0.52x-(1-0.52)x=80.等量关系：女生人数-男生人数=80，变式训练巩固练习例

某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支.等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87，列方程：1.2×0.8x+2×0.9(60-x)=87.素养考点根据实际问题列出方程探究新知根据下列问题，设出未知数，列出方程：(1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25米，求这个足球场的宽．解：设这个足球场的宽为x米，依题意，得2x+2(x+25)=310.

变式训练巩固练习方程的解

对于方程4x=24，容易知道x=6可以使等式成立，对于方程170+15x=245，你知道

x

等于什么时，等式成立吗？我们来试一试.

x123456……

我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程170+15x=245中的未知数的值应是5．185200215230245260170+15x思考知识点3探究新知2x-3=5x-15x=4是方程2x-3=5x-15的解.左边=2×3-3=

3,右边=5×3-15=

0.x=4,5,6时呢?x=3是不是方程的解呢？把x=3代入方程,因为左边≠右边,所以x=3不是方程的解.解：探究新知使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.

方程的解探究新知例

x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解？解：当x=1000时，方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40，右边=80，当x=2000时，方程左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80，右边=80，方程的解的识别素养考点左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解.左边=右边，所以x=2000是此方程的解.探究新知1.将数值代入方程左边进行计算；2.将数值代入方程右边进行计算；3.若左边=右边，则是方程的解，反之，则不是．判断一个数值是不是方程的解的步骤：归纳小结探究新知2.方程0.52x-(1-0.52)x=80的解是（

）

A.x=1000B.x=1500

C.x=500D.x=20001.下列一元一次方程中，解为

x=1的是（

）A.2x+1=4B.x+1=2C.2x-3=5D.x+2=2x-1BD变式训练巩固练习《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x=34685

B．x+2x+3x=34685

C．x+2x+2x=34685 D．x+

x+x=34685

A连接中考2.

若x=1是方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值为（）A.0B.2C.1

D.-1

BC基础巩固题课堂检测其中是方程的是

，是一元一次方程的是

．(填序号)①②③④⑤②③3.下列方程：

②3x=11

④y2

-4y=3⑤x+2y=1基础巩固题课堂检测

根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？解：设沿跑道跑x周.400x=3000，是一元一次方程.能力提升题一周长×周数=总路程课堂检测（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支.0.3x+0.6(20-x)=9，是一元一次方程.买甲种共用的钱+买乙种共用的钱=9元甲种支数+乙种支数=20支能力提升题课堂检测（3）一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底．解：设上底为xcm，则下底为（x+2）cm.

是一元一次方程.

能力提升题课堂检测

已知方程（m-2）x（|m|-1）+3=m-5

是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．解：因为方程（m-2）x（|m|-1）+3=m-5是关于x的一元一次方程，拓广探索题

所以|m|-1=1，且m-2≠0，得m

=-2.

所以原方程为-4x+3=-7.课堂检测方程方程建立方程模型含有未知数的等式叫做方程

一元一次方程在一个方程中，只含有一个未知数,且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解实际问题一元一次方程设未知数找等量关系列方程课堂小结5.2.1等式的基本性质北师大版数学七年级上册1.能用文字和数学式子表达等式的两个性质.2.借助直观对象理解等式的基本性质.3.能用等式的性质解简单的一元一次方程.素养目标观察上图，如果在平衡的天平的两边都加（或减）同样的量，天平还保持平衡吗？导入新知ba天平与等式

把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等式成立就可看作是天平保持两边平衡等式的左边等式的右边等号知识点1等式的性质1探究新知a你能发现什么规律？右左探究新知a右左探究新知你能发现什么规律？ab右左你能发现什么规律？探究新知ba右左你能发现什么规律？探究新知baa

=

b右左你能发现什么规律？探究新知ba你能发现什么规律？c右左a

=

b探究新知cba右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知acb右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知cbca右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知cbcaa+c

b+c=右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知ccab右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知cab右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知cab右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知ba右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知a-c

b-c=ba右左你能发现什么规律？a

=

b探究新知??由等式1+2=3，进行判断：+(4)

+(4)

1+2

=

3-(5)

-

(5)

上述两个问题反映出等式具有什么性质？1+2

=

3等式的两边都加上(或减)同一个数，所得的结果仍是等式．探究新知由等式2x+3x=5x，进行判断：?+(4x)

+(4x)

2x+3x

=

5x

?-(x)

-(x)

2x+3x

=

5x

上述两个问题反映出等式具有什么性质？等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得的结果仍是等式．探究新知

等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式.如果a=b，那么a±c=b±c.等式的性质1用式子的形式怎样表示?探究新知在下面的括号内填上适当的数或者式子：（1）因为：

所以：（2）因为：

所以：（3）因为：

所以：练一练2x-6=

42x-6+6=

4+（）

3x=2x-83x+（）=

2x-8-2x10x-9=8-6x10x+（）-9+9=

8-6x+6x+（）6-2x6x9探究新知ba你能发现什么规律？a

=

b右左知识点2等式的性质2探究新知baa

=

b右左ab2a

=

2b你能发现什么规律？探究新知ba右左bbaa3a

=

3b你能发现什么规律？a

=

b探究新知ba右左bbbbbbaaaaaaC个

C个ac

=

bc你能发现什么规律？a

=

b探究新知ba右左（c≠0）你能发现什么规律？a

=

b

探究新知??由等式3m+5m=8m

，进行判断：2×(

)

2×

(

)÷2

÷2

上述两个问题反映出等式具有什么性质？3m+5m

=

8m3m+5m

=

8m探究新知等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.

等式的性质2用式子的形式怎样表示?探究新知性质1：等式的两边都加（或减）

同一个代数式，所得结果仍是等式.性质2：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.注意：（1）等式两边都要参加运算，且是同一种运算；（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同

一个式子；（3）等式两边不能都除以０，即０不能作除数或分母．等式的基本性质探究新知(2)怎样从等式

3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式

4x=12得到等式

x=3?依据等式的性质1两边同时减3.

例1

(1)

怎样从等式

x-5=

y-5

得到等式

x=

y?依据等式的性质1两边同时加5.

识别等式变形的依据素养考点1探究新知(2)从

a+2=b+2能不能得到

a=b，为什么?(3)从-3a=-3b能不能得到

a=b，为什么?(4)从

3ac=4a能不能得到

3c=4，为什么?

能，根据等式的性质2，两边同时除以9.能，根据等式的性质1，两边同时加上2.能，根据等式的性质2，两边同时除以-3.不能，a可能为0.指出等式变形的依据变式训练巩固练习例2

已知mx=my，下列结论错误的是（

）A.x=y

B.a+mx=a+my

C.mx-y=my-y

D.amx=amy解析：根据等式的性质1，可知B、C正确；根据等式的性质2，可知D正确；根据等式的性质2，A选项只有m≠0时才成立，故A错误，故选A．A判断等式变形的对错素养考点2易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质2等式两边同除某个字母，只有这个字母确定不为0时，等式才成立.探究新知变式训练判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质；错的说出为什么.

×√××√左边加右边减，等式不成立当a=5时，无意义两边乘的数不相等等式性质1等式的性质1和性质2巩固练习利用等式的性质解方程利用等式的性质解下列方程：

解:得

方程两边同时减去2，x

+2=5-2-2

于是

=

x3.小结：解一元一次方程要“化归”为“

x=a”的形式.例1知识点3(2)

3=x-5.

(1)

x+2=

5;

两边同时加上5，得解:

方程

于是

8=x3+5=

x-5+5

习惯上，我们写x=8.

探究新知例2解下列方程：(1)-3x

=

15

(2)

探究新知思考：为使（1）中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性质？两边都除以-3，得解:

方程

化简，得

x=-5.-3x÷(-3)=

15

÷(-3)(1)-3x

=

15

探究新知解：方程两边都加上2，得

化简，得

方程两边都

乘-3，得

n=-36n=-36是原方程的解吗?思考：对比(1)，(2)有什么新特点？(2)

探究新知

方程的左右两边相等，所以n

=-36

是原方程的解.

探究新知【归纳总结】利用等式的基本性质解一元一次方程的一般步骤：(1)利用等式的基本性质1，把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，即把方程变形为ax=b(a≠0)的形式；(2)利用等式的基本性质2，在方程两边同时除以未知数的系数，使未知数的系数化为1．探究新知(1)

x+6

=17;

(2)-6x

=18;

(3)2x-1

=-3;

解：(1)两边同时减去6，得x=11.(2)两边同时除以-6，得x=-3.(3)两边同时加上1，得2x=-2.

两边同时除以2，得x=-1.

两边同时乘以-3，得x=9.利用等式的性质解下列方程:变式训练巩固练习

1.如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（）

A．10g，40g

B．15g，35g

C．20g，30g D．30g，20gC2.

一元一次方程x-2=0的解是（

）A．x=2 B．x=-2 C．x=0 D．x=1A连接中考1.

下列各式变形正确的是（）A.由3x-1=2x+1得3x-2x=1+1B.由5+1=6得5=6+1C.由2(x+1)=2y+1得x+1=

y+1D.由2a+3b=

c-6得2a=

c-18bA基础巩固题课堂检测

B基础巩固题课堂检测

加3122

减y1除以x2

基础巩固题课堂检测利用等式的性质解下列方程并检验：(1)

x-5=6;(2)

0.3x=45;(3)

5x+4=0;

能力提升题课堂检测解：（1）x=6+5,x=11,检验：把x=11代入方程x-5=6，得11-5=6，等于右边，所以x=11是方程的解.（2）x=45÷0.3,x=150,检验：把x=150代入方程0.3x=45，得0.3×150=45，等于右边，所以x=150是方程的解.能力提升题课堂检测

（3）5x=-4（4）

x=-4能力提升题课堂检测

拓广探索题课堂检测等式的基本性质基本性质1基本性质2利用等式的基本性质解方程如果a=b，那么a±c=b±c

运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式x=a

课堂小结5.2.2求解一元一次方程（第1课时）北师大版数学七年级上册约公元825年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述了怎么解方程.这本书的拉丁译本为《对消与还原》，“对消”与“还原”是什么意思呢？导入新知1.进一步认识解方程的基本变形——移项，感悟解方程过程中的转化思想.2.会用移项、合并同类项解ax+b=cx+d型的方程.素养目标(1)与原方程相比，哪些项的位置发生了改变？哪些没变？(2)改变位置的项的符号是否发生了变化？没改变位置的项的符号是否发生了变化？5x

－2=85x=8+2

－27x=3x－57x

－3x=－5

3x利用等式的基本性质，我们对两个方程进行了如下变换，观察并回答：探究新知知识点1移项

把原方程中的某一项改变________后，从________的一边移到________，这种变形叫做移项.(1)移项的根据是等式的基本性质1；(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号；(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项

(不含未知数的项)移到方程的右边.符号方程另一边探究新知概念：移项要点：例

下列计算，其中属于移项变形的是（）

解析：利用移项的要点解题，A是代数式变形，不是移项；B移项时符号错了；D不是移项．CA.由5+3x-2,得3x-2+5B.由-10x-5=-2x，得-10x-2x=5C.由7x+9=4x-1，得7x-4x=-1-9素养考点移项的判断

探究新知1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从2+5x=7得到5x=7+2是不对的．易错警示2.没移项时不要误认为移项，如从-8=x得到x=8，犯这样的错误，其原因在于对等式的基本性质(对称性)与移项的区别没有分清．探究新知(1)5+x=10移项得x=

10+5；(2)6x=2x+8移项得6x+2x

=8；(3)5-2x=4-3x移项得3x-2x=4-5；(4)-2x+7=1-8x移项得-2x+8x=1-7.××√√10-56x-2x下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？变式训练巩固练习

解下列方程：

（1）2x+6=1;

（2）3x+3=2x+7.

解:（1）移项，得2x=1-6.化简，得2x=-5.

利用移项解一元一次方程知识点2例1解:（2）移项，得3x-2x=7-3.合并同类项，得x=4.习惯上把含有未知数的项移到左边，常数项移到右边.注意:探究新知解一元一次方程ax+b=cx+d(a，b，c，d均为常数,且a≠c)的一般步骤：ax-cx=d-b移项合并同类项系数化为1(a-c)x=d-b归纳小结

探究新知

解下列方程：

(1)3x+7=32-2x；解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得3x+2x=32-75x=25x=5

解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得

x=-8

.巩固练习

你能说出利用移项解方程的步骤吗？解方程：x=4.例2

探究新知解下列方程：(2)-0.3x+3=9+1.2x.解：(1)移项，得合并同类项，得3x=-3,系数化为1，得x=-1.(2)移项，得-0.3x-1.2x=9-3,合并同类项，得-1.5x=6,系数化为1，得x=-4.

巩固练习1.若关于x的方程3x-kx+2=0的解为2，则k的值为____．2.若m+1与-2互为相反数，则m的值为____．41连接中考1.下列变形属于移项且正确的是(

)A.由2x-3y+5=0，得5-3y+2x=0B.由3x-2=5x+1，得3x-5x=1+2C.由2x-5=7x+1，得2x+7x=1-5D.由3x-5=-3x，得-3x-5-3x=02.对方程4x-5=6x-7-3x进行变形正确的是(

)A.4x=6x+5+7-3xB.4x-6x+3x=5-7C.4x-6x-3x=5-7D.4x-6x+3x=-5-7BB基础巩固题课堂检测5.当x=_____时，式子2x-1的值比式子5x+6的值小1.3.

已知

2m-3=3n+1，则

2m-3n=

.

4-2

课堂检测基础巩固题

解下列一元一次方程：能力提升题(1)移项，得-2x+4x=3-7,合并同类项，得2x=-4,系数化为1，得x=-2.(2)移项，得1.8t-0.3t=30,合并同类项，得1.5t=30,系数化为1，得x=20.解：(1)7-2x=3-4x;(2)1.8t=30+0.3t;课堂检测(3)去分母，得x+2=6+2x,合并同类项，得-6x=-12,系数化为1，得x=2.移项，得x-2x=6-2,系数化为1，得合并同类项，得-x=4

,x=-4.(4)去分母，得5x+4=11x-8,移项，得5x-11x=-8-4

,解：

课堂检测能力提升题

有一些分别标有3，6，9，12，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，从中任意拿相邻的三张卡片，若它们上面的数之和为108，则拿到的是哪三张卡片？解：设这张卡片中最小的一个数为x，则另两个数分别为x+3、x+6，依题意列方程，得x+x+3+x+6=108，解得x=33，所以x+3=36，x+6=39.故这三张卡片上面的数分别是33，36，39.拓广探索题课堂检测

移项解一元一次方程定义步骤注意：移项一定要变号移项合并同类项系数化为1把原方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.课堂小结北师大版数学七年级上册5.2.2求解一元一次方程（第2课时）

某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000kW·h（千瓦·时），全年用电15万kW·h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？分析：设上半年每月平均用电量列出方程xkW·h，

则下半年每月平均用电为(x-2000)kW·h．

上半年共用电为：6xkW·h；

上半年共用电为：6(x-2000)kW·h．根据题意列出方程6x+6(x-2000)=150000怎样解这个方程？这就是我们今天要研究的问题！导入新知1.正确理解和使用去括号法则.2.学会解带括号的一元一次方程.3.体验用多种方法解一元一次方程，提高解一元一次方程的能力.素养目标知识点1利用去括号解一元一次方程探究新知小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员找回3元。已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗?你列出了怎样的方程?如果设1袋牛奶x元，那么可列出方程x+4(x+0.5)=20-3(1)上面这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？(2)怎样解所列的方程？思考：探究新知x+4(x+0.5)=20-3解方程:

1＋6x＝2(3－x)解:去括号,得1＋6x=6－2x，

移项,得6x+

2x=6-1，

合并同类项,得

8x=

5，

素养考点1解含有括号的一元一次方程例1探究新知

解下列方程：解：去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得变式训练变式训练（1）2x-（x+10）=5x+2（x-1）2x-x-10=5x+2x-22x-x-5x-2x=-2+10-6x=8

巩固练习解：去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得（2）3x-7（x-1）=3-2（x+3）3x-7x+7=3-2x-63x-7x+2x=3-6-7-2x=-10x=5变式训练巩固练习

解方程：-2(x-1)=4解法一：去括号，得-2x+2=4.

移项，得

-2x=4-2.

化简，得

-2x=2.

系数化为1，得

x=-1.解法二：方程两边同时除以-2，得x-1=-2

移项，得x=-2+1

化简，得x=-1议一议观察上述两种解法，说出它们的区别.第二种解法将x-1作为一个整体进行思考.素养考点2多种方法解一元一次方程例2探究新知

解方程：(1)2(x+0.5)+2x=45；(2)4(x+16)=-2(x+1)．分析：要解这两个方程可按去括号法则先将括号去掉，然后按照移项法则移项，合并同类项，将未知数的系数化为1，要注意符号问题．变式训练巩固练习(1)2(x+0.5)+2x=45解：去括号，得

2x+1+2x=45.

移项，得2x+2x=45-1.合并同类项，得

4x=44.系数化为1，得

x=11.解：两边都除以2，得

2(x+16)=-(x+1)．去括号，得

2x+32=-x-1.移项，得

2x+x=-1-32.合并同类项，得

3x=-33.系数化为1，得

x=-11.(2)4(x+16)=-2(x+1)．巩固练习变式训练误区警示：(1)中2(x+0.5)变形时，2应乘括号内的每一项，不要只乘了一项，而漏乘其余各项，其变形的基础是乘法分配律；(2)先根据等式的基本性质2，将方程两边都除以2，缩小数据，使解题简便．巩固练习变式训练已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A．2x+3（72-x）=30

B．3x+2（72-x）=30

C．2x+3（30-x）=72

D．3x+2（30-x）=72D连接中考1.解方程3-(x+6)=-5(x-1)时，去括号正确的是(

)A.3-x+6=-5x+5B.3-x-6=-5x+5C.3-x+6=-5x-5D.3-x-6=-5x+1基础巩固题B

D课堂检测3.解下列方程:

(1)5(x+4)=30;

(2)

6(x-3)=42.解:方程两边同除以5，得

x+4=6，移项，得x=6-4，即x=2.解:方程两边同除以6，得

x-3=7，移项，得x=7+3，即x=10.基础巩固题课堂检测

当x为何值时，式子3(x-2)和4(x+3)-4相等.能力提升题解:根据题意，得3(x-2)=4(x+3)-4，去括号，得3x-6=4x+12-4，移项，得3x-4x=12-4+6，合并同类项，得-x=14,系数化为1，得x=-14.答：当x=-14时,式子3(x-2)和4(x+3)-4相等.课堂检测今年“六一”儿童节，张红用8.8元钱购买了甲、乙两种礼物，甲礼物每件1.2元，乙礼物每件0.8元，其中甲礼物比乙礼物少1件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？拓广探索题解:设张红购买甲礼物x件，则购买乙礼物(x+1)件，

根据题意，得1.2x+0.8(x+1)=8.8，

解得，x=4，

所以x+1=5.答：甲种礼物买了4件，乙种礼物买了5件.课堂检测去括号解一元一次方程步骤去括号注意去括号→移项→合并同类项→系数化为1.若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变.课堂小结北师大版数学七年级上册5.2.2求解一元一次方程（第3课时）

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书.这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于公元前1700年左右写成.这部书中记载了许多有关数学的问题，下面的问题2就是书中一道著明的求未知数的问题：数学小史料导入新知思考：（1）题中涉及到哪些数量关系和相等关系？（2）引进什么样的未知数，你能根据这样的相等关系列出方程吗？问题:一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数.导入新知分析：设这个数为x，根据题意，得思考：

这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？怎样解这个方程呢？

导入新知1.掌握解一元一次方程中“去分母”的方法.2.掌握含分母的一元一次方程的解法并归纳解一元一次方程的步骤.3.会灵活地选择合理的方法解题，体验把“复杂”转化为“简单”的基本思想.素养目标2.去分母时要注意什么问题?想一想1.若使方程的系数变成整系数方程，

方程两边应该同乘以什么数?

知识点解有分母的一元一次方程交流讨论探究新知系数化为1去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

移项合并同类项去括号小心漏乘，记得添括号！

5（3x+1）-10×2=（3x-2）-

2（2x+3）15x+5-20=3x-2-

4x-615x-3x+4x=-2-6-5+2016x=7

探究新知

下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？解方程：解：去分母，得4x-1-3x+6=1移项，合并同类项，得x=4方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6去括号符号错误约去分母3后，(2x-1)×2在去括号时出错思考:

探究新知

解方程：

解有分母的一元一次方程素养考点探究新知还有其它解法吗？例1

4x-7x=140–56.4（x+14）=7（x+20）.4x+56=7x+140.-3x=

84.解方程：解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得两边同时除以-3，得移项

合并同类项

去分母去括号

未知数的系数化为1

探究新知

x=-28.解法二：去分母解法一：去括号解方程：探究新知你喜欢哪种解法呢？

x=-28

4x-7x=140–564（x+14）=7（x+20）4x+56=7x+140-3x=

84x=-28（1）（2）（3）（4）解方程:

巩固练习（1）解：（1）去分母（方程两边同乘6），得去括号,得移项，合并同类项,得方程两边同除以-5，得

3（

3-x）=2（x+4）9-3x=2x+8-5x=-1

巩固练习（2）解：（2）去分母（方程两边同乘21），得去括号,得移项，合并同类项,得

7（x+1）=3（2x-3）7x+7=6x-9x=-16巩固练习（3）解：（3）去分母（方程两边同乘20），得去括号,得移项，合并同类项,得方程两边同除以-1，得

4（x+2）=5x4x+8=5x-x=-8x=8巩固练习（4）解：（4）去分母（方程两边同乘12），得

去括号,得移项，合并同类项,得方程两边同除以-1，得

3（x+1）=4（x-1）3x+3=4x-4-x=-7x=7巩固练习

解方程：解：去分母（方程两边同乘以30），得去括号,得移项，合并同类项,得方程两边同除以16，得探究新知6（x+15）=15-10（x-7）6x+90=15-10x+7016x=-5例2

解下列方程：解：去分母(方程两边乘4)，得

2(x+1)-4=8+(2-x).去括号，得

2x+2-4=8+2-x.移项，得2x+x=8+2-2+4.合并同类项，得3x=12.系数化为1，得x

=

4.

巩固练习

巩固练习1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的

；2.去分母的依据是

；去分母时不能漏乘

；

3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.最小公倍数等式性质2没有分母的项归纳小结巩固练习

-1连接中考

C

基础巩固题

课堂检测3.解方程：

基础巩固题课堂检测解：去分母（方程两边同乘12），得

4（-x+4）-12x+5×12=4（x-3）-3（x-1）

去括号，得

-4x+16-12x+60=4x-12-3x+3.

移项，得

-4x-12x-4x+3x=-12+3-16-60.

合并同类项，得

-17x=-85.

系数化为1,得

x=5.

基础巩固题课堂检测

有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩六位学生正在操场踢足球．”你知道这个班有多少学生吗？答：这个班有56个学生.解：这个班有x名学生，依题意得解得x=56.能力提升题

课堂检测（3m-4)x2+3mx-4m-5x+2m=0（3m-4)x2+(3m-5)x-2m=0

方程（3m-4）x2+3mx-4m=5x-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值.拓广探索题解：因为原方程是关于x的一元一次方程，

解得

课堂检测步骤根据注意事项去分母去括号移项合并同类项未知数的系数化为1等式的性质2①不漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号、去括号乘法分配律、去括号法则①不漏乘括号里的项；②括号前是“-”号，要变号移项法则移项要变号合并同类项法则系数相加，不漏项等式的性质2乘系数的倒数解一元一次方程的一般步骤:课堂小结5.3.1一元一次方程的应用——图形问题北师大版数学七年级上册hr阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？形状改变，体积不变.=导入新知1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.3.利用体积不变、周长不变列方程.素养目标

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少？知识点图形问题探究新知等积问题有哪些等量关系呢？①前后容积（体积）相等;②前后面积相等.探究新知思考：在这个问题中的等量关系是___________________________设水箱的高变为x米，填写下表：旧水箱新水箱底面半径高容积=旧水箱的容积=新水箱的容积.列方程时关键是找出问题中的___________等量关系.

4mx

m

探究新知解：设水箱的高变为x米，解得答：高变成了

6.25米.探究新知

x=6.25探究新知某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?(1)这个问题中包含哪些量?它们之间有怎样的等量关系?探究新知(2)设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格理问题中的信息吗?探究新知(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？设新包装的高度为xcm.根据等量关系，列出方程：

.解这个方程，得x＝

.因此，易拉罐的高度变为

cm.列方程时，关键是找出问题中的等量关系。解：（1）设长方形的宽为x米，

则它的长为(x+1.4)米，由题意得2(

x+1.4+x

)=10.解得

x=1.8.

长为：1.8+1.4=3.2（米）;

答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米.等量关系：（长+宽）×2=

周长.xx+1.4用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.（1）如果该长方形的长比宽多1.4米，那么此时长方形的长、宽各是多少米呢？例探究新知（2）如果该长方形的长比宽多0.8米，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？

解：设长方形的宽为x

米，则它的长为（x+0.8）米.由题意,得2(x

+0.8+

x)=10.解得

x=2.1.长为

2.1+0.8=2.9（米）;此时长方形的面积为

2.9×2.1=6.09(平方米);xx+0.8探究新知探究新知（1）中长方形的面积为

3.2×1.8=5.76(平方米).此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大6.09－5.76＝0.33(平方米).

答：长方形的长为2.9米，宽为2.1米.长方形的面积比（1）中长方形的面积增大0.33平方米.（3）如果该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？解：设正方形的边长为x米.由题意得4x

=10.解，得x=2.5.边长为：2.5米；面积为：2.5×2.5=6.25(平方米).面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.x探究新知2.变形前体积=变形后体积.1.列方程的关键是正确找出等量关系.4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.归纳小结探究新知把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．9种B连接中考1．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是(

)A．20cmB．24cmC．48cmD．144cmB基础巩固题课堂检测2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降(

)A．8cm

B．2cm

C．5cm

D．4cmB课堂检测基础巩固题3．有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是_________厘米．(不计损耗)4．李红用40cm长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多4cm，求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为xcm，根据题意列出方程是_____________，面积是__________．8x+(x+4)=2096cm2课堂检测基础巩固题5．如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5cm.已知饮料瓶的容积为30cm3，则瓶内现有饮料______cm3.24课堂检测基础巩固题

一种牙膏出口处直径为5mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得π×2.52×10×36=π×32×10x.解这个方程，得x=25.答：这一支牙膏能用25次．能力提升题课堂检测

用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π-2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析:比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长=圆的周长．拓广探索题课堂检测解：设圆的半径为rm，则正方形的边长为[r+2(π-2)]m.

根据题意，得答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大．因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．正方形的面积为[4+2(π-2)]2=4π2(m2)．所以圆的面积是π×42=16π(m2)，所以铁丝的长为2πr=8π(m)．2πr=4(r+2π-4)，解得r=4.课堂检测拓广探索题

一.物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变.二.固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变.

三.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变.课堂小结5.3.2一元一次方程的应用——利用表格分析问题北师大版数学七年级上册2.进一步认识、掌握列方程解应用题的一般步骤.3.利用等量关系列方程.素养目标1.借助表格学会分析问题中的数量关系和等量关系.知识点表格分析问题探究新知《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物，人出八，盈三;人出七不足四。问:人数、物价各几何?题目大意:几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱;若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少?(1)问题中有哪些已知量和未知量?它们之间有怎样的等量关系?探究新知(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗?请完成下表。探究新知(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？设人数为x.根据等量关系，列出方程：

.解这个方程，得x＝

.因此，人数为

，物价为

钱.如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程？例素养考点借助表格列一元一次方程解答问题探究新知《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金，人出四百，盈三千四百;人出三百，盈一百。问:人数、金价各几何?题目大意:几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱;每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少?探究新知分析:设人数为x

，把下表补充完整.探究新知解:设合伙人数为x，则金价可表示为(400x-3400)钱，还可表示为(300x-100)钱，根据等量关系，列出方程:400x-3400=300x-100.解