2024-2025学年陕西省汉中市高三上册第三次际联考（12月）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省汉中市高三上学期第三次际联考（12月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，则（）A． B． C． D．2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．3．已知命题，，命题，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题4．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（）A． B． C． D．5．若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．6．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（

）A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg7．已知，C是以AB为直径的圆上一点，，D为AC的中点，则（

）A．-9 B．-12 C．-15 D．-168．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（

）A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值二、多选题（本大题共3小题）9．某公司为保证产品的生产质量，连续7天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品件数的一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于这组数据的结论正确的是（）A．极差是4 B．众数等于平均数C．方差是 D．分位数是110．已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（）A． B．双曲线C的一条渐近线的斜率为C． D．11．设，函数，则下列说法正确的有（）A．当时，函数为增函数 B．点为函数图象的对称中心C．存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D．函数至少有一个零点三、填空题（本大题共3小题）12．在的展开式中，常数项是．（用数字作答）13．已知等差数列的前n项和为，若，则．14．已知抛物线，若过点的直线与抛物线C只有一个交点，则这样的直线一共有条．四、解答题（本大题共5小题）15．记的三个内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求证：为直角三角形.16．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程．17．“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.(1)若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由.18．如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中，点G为弧的中点，且四点共面．

(1)证明：四点共面；(2)若二面角的余弦值为，求的长．19．函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线．(1)已知函数与在定义域上存在支撑线，请你从中选择其中一个函数进行证明；(2)若直线是在定义域上的支撑线，求实数a的值．

答案1．【正确答案】B【详解】因为，所以，故选：B2．【正确答案】C【详解】由，可知复数在复平面内对应的点的坐标是.故选：C.3．【正确答案】A【分析】分别判断命题、的真假，即可得答案.【详解】解：因为命题，，所以为真命题；命题当时，，故为真命题.故选：A.4．【正确答案】D【详解】依题意,.故选:D.5．【正确答案】C【详解】由，得，画出函数在区间上的图象如下图所示，要使函数在上有两个不同的零点，由图可知，的取值范围是.故选：C6．【正确答案】A【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长，所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．故选A．7．【正确答案】D【分析】由题意得到，再以为基底，利用数量积的运算求解.【详解】解：如图所示：因为，C是以AB为直径的圆上一点，，所以，又D为AC的中点，所以，，故选：D.8．【正确答案】A【详解】设等差数列an的公差为，等比数列bn的公比为，因为，，，则，解得，令，可得，此时满足只有成立；若，则，（1）若为奇数，则，不满足；（2）若为偶数，则，且，即，可得，即不成立；综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1.故选：A.9．【正确答案】ABC【详解】该组数据从小到大排列为，对于A，该组数据的极差为，故A正确；对于B，众数为2，平均数为，故B正确；对于C，该组数据的方程为，故C正确；对于D，因为，所以这组数据的百分位数为第三个数2，故D错误.故选：ABC.10．【正确答案】ABD【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，，由，可得，故A正确，C错误；由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，，故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确．故选：ABD．11．【正确答案】BD【详解】由题意，，，因为对，有，所以点为函数图象的对称中心，故B正确；函数的导函数，，①当时，恒成立，此时函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；②当时，，则方程有唯一解，当时，，当时，，所以函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；③当时，由，得，即，因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，此时，函数有两个极值点，又时，，时，，所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点；综上所述，当时，函数为减函数，故A错误，当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确；故选：BD.12．【正确答案】15【详解】二项式的通项为：，令，解得，故常数项是.故15.13．【正确答案】36【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列，可得，即，解得.故36.14．【正确答案】2【详解】如图，因在抛物线上，则过点与抛物线只有一个交点的直线共有两条，一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是以点为切点的直线，以下求出该切线方程.设过点的切线方程为，即，将其代入，可得，由，解得，即抛物线在点处的切线方程为.综上，过点与抛物线只有一个交点的直线有和两条.故2.15．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求；（2）结合（1）与余弦定理可求得，进而计算可得，可得结论.【详解】（1）由，可得，解得，因为，所以.（2）由（1）可知，，又，在中，由余弦定理可得，解得，所以，由勾股定理的逆定理可得，所以为直角三角形.16．【正确答案】(1)；(2)或.【详解】（1）椭圆E经过点，，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，，椭圆E的标准方程为；（2）如图，设，由消去得：，由，可得，则，线段中点的横坐标为，，解得，则，因两个值都满足，故直线l的方程为，即或.17．【正确答案】(1)分布列见解析，(2)选方案一3局2胜制，理由见解析【详解】（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，，，的分布列为23所以.（2）应选择方案一3局2胜制，理由如下：若选赛制一3局2胜制时，记乙获胜为事件A，则，若选赛制二5局3胜制时，记乙获胜为事件B，则因为，所以选方案一3局2胜制.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）

连接，因为，所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，在半圆上，是弧中点，所以，所以，又，所以，所以四点共面.法二：直三棱柱中，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，设则，所以所以，则，所以四点共面.（2）直三棱柱中，，以为原点，建立如图空间直角坐标系，

，设，则，，设平面的法向量为，则，即，化简得，取，又为平面的一个法向量，，解得，即的长为．19．【正确答案】(1)