2024-2025学年江西省高一上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省高一上学期12月月考数学检测试题一、单选题1．集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（）A． B． C． D．2．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．3．幂函数在上为减函数，则实数的值为（

）A．或 B． C．1 D．24．若函数，则的值为（

）A．1 B． C． D．5．函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

6．已知，，且，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．97．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（

）天．A．200天 B．210天 C．220天 D．230天8．已知函数，若，则（

）A． B．C． D．以上选项均有可能二、多选题9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（

）A． B． C． D．10．环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（

）A． B． C． D．11．已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题12．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为．13．已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是.14．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为．四、解答题15．计算下列各值(1)；(2)．16．已知定义在上的函数是奇函数，且当x∈0,+∞时，.（1）求函数在上的解析式；（2）判断函数在−∞,0上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）解不等式.17．已知函数．(1)解关于x的方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．18．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.19．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．2024-2025学年江西省高一上学期12月月考数学检测试题一、单选题1．集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论．【详解】解：∵全集R，或，，，∴，结合数轴可知，当时，，故（R为实数集）时，a的取值范围为，故选：C．2．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到；【详解】由题意，命题“”的否定为，故选：C.3．幂函数在上为减函数，则实数的值为（

）A．或 B． C．1 D．2【正确答案】D【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，符合题意.当时，，在上递增，不符合题意.综上所述，的值为.故选：D4．若函数，则的值为（

）A．1 B． C． D．【正确答案】C【分析】利用的解析式，从内而外依次求解函数值即可得解.【详解】因为，所以，则.故选：C.5．函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设，对任意，，所以，所以的定义域为，，所以函数为奇函数.令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，排除BD选项，当时，是减函数，则，，所以，排除A选项.故选：C6．已知，，且，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．9【正确答案】A【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解.【详解】，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5.故选：A.7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（

）天．A．200天 B．210天 C．220天 D．230天【正确答案】D【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可.【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，．故选：D．8．已知函数，若，则（

）A． B．C． D．以上选项均有可能【正确答案】C【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.【详解】作出函数的图象，如图：由题意可知，，且由图象可知，，所以即，所以，即，，即，故选：C二、多选题9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【正确答案】ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：的定义域为．对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD．10．环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（

）A． B． C． D．【正确答案】AB【分析】利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出.【详解】设，则当时，.可得，则，显然在上是减函数，在上是增函数，则，且,则有，解得，又，故调节参数应控制在内，结合选项可知：AB正确，CD错误；故选：AB.11．已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】BC【分析】由基本不等式判断各选项．【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；B选项：，由A知，则，故B正确；C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.故选：BC．三、填空题12．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为．【正确答案】【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.【详解】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则解得．故常数a的取值范围为．故13．已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是.【正确答案】【分析】分析可知，函数在R上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.【详解】不妨取，由可得，所以，函数在R上为减函数，且，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为.14．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为．【正确答案】【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果．【详解】，定义域为，则，可知函数为奇函数，又均为增函数，所以为增函数，由，得，即，则，即，由题意可知，对任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范围为．故．四、解答题15．计算下列各值(1)；(2)．【正确答案】(1)(2)0【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；（2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解.【详解】（1）原式.（2）原式.16．已知定义在上的函数是奇函数，且当x∈0,+∞时，.（1）求函数在上的解析式；（2）判断函数在−∞,0上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）解不等式.【正确答案】（1）；（2）为增函数，证明见解析；（3）.（1）根据已知区间对应的解析式，设，得到，代入已知解析式时，利用奇偶性，即可求出对应的解析式；进而可得结果；（2）任取实数，作差比较与大小，利用函数单调性的定义，即可得出结果；（3）根据函数奇偶性与单调性，分别讨论和两种情况，结合所给不等式，分别求解，即可得出结果.【详解】（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则，设，则，则，又由为上的奇函数，则，则；（2）函数在−∞,0上为增函数；证明；根据题意，任取实数，则，由，得，且，；则，即函数在−∞,0上为增函数；（3）由（2）知函数在−∞,0上为增函数，又为定义在上的奇函数，则在上也为增函数，∵，，∴当时，，，成立；当时，，则或，解得；所以，不等式解集为.方法点睛：用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤：（1）取值：任取，且；（2）作差：计算；（3）定号：通过化简整理，得到的正负；（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.17．已知函数．(1)解关于x的方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．【正确答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用指数函数的性质，直接解方程即可得解；（2）将问题转化为恒成立，再利用指数函数的性质与二次函数的最值即可得解.【详解】（1）根据题意得，，即，解得或舍去，所以；（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，当时，有，所以，则，所以实数的取值范围为．18．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.【正确答案】(1)；(2)产量为70万盒，最大利润为1200万元.【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.【详解】（1）依题意，当时，，当时，，所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为.（2）当时，单调递增，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，而，因此当时，，所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.19．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．【正确答案】(1)是“H函数”，不是“H函数”，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；（2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；（3）由题意令，得到，进而得到和即可得证.【详解】（1）对于任意，，，所以，即成立，故是“H函数”；对于，取，则，．因为，故不是“H函数”（2）因为函数是“H函数”，所以对于任意的，有恒成立，即恒成立，所以恒成立，又，故，则，则，即