2024-2025学年福建省厦门市海沧区高三上册12月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年福建省厦门市海沧区高三上学期12月月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A． B． C． D．4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（

）A．240种 B．150种 C．60种 D．180种6．已知点是焦点为的抛物线上的一个点，过点作直线的垂线，垂足为点，直线与轴的交点为，若是的平分线，则的面积为(

).A． B． C． D．7．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为（）A． B． C． D．8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，，，分别为所在棱中点，，分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（

）.

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中正确的是（

）A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60B．若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16C．数据的第70百分位数是23D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（）A． B．直线QB与也相切C． D．若，则11．已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（

）A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称C． D．是偶函数三、填空题（本大题共3小题）12．已知一组数据（）大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为＝.13．已知函数的最大值是3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.16．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且.(1)若数列为等差数列，求；(2)若，求数列通项公式及.17．如图，在直角梯形中，，，，点E是的中点，将沿对折至，使得，点F是的中点.(1)求证：；(2)求二面角的正弦值.18．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离．(1)求椭圆C的面积；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，（ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）；（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．19．定义在上的函数y=fx，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数y=fx在处的切线与直线平行，则称函数y=fx在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数y=fx在的相依区间．已知．(1)当时，函数在R上处处相依，证明：导函数在0,1上有零点；(2)若函数在0,+∞上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围．(3)当时，，为函数在的相依区间，证明：．

答案1．【正确答案】B【详解】时，不等式的解集为，即，不等式，解得，即，故．故选：B．2．【正确答案】B【详解】因为，则，所以．故选B．3．【正确答案】A【详解】由题意得，即，则．故选：A．4．【正确答案】B【详解】因为，所以.故选：B5．【正确答案】B【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案.按照“”分配时，有种方法；按照“”分配时，有种方法.由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种.故选：B.6．【正确答案】B【详解】因为，即，因此，易知直线是的准线，则，如图，又，，所以，得，四边形为正方形，故的面积为.故选：B.

7．【正确答案】A【详解】因为，为单位向量，且，所以，则，所以，因为，则，则不妨设，因为，所以，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径为，又，设点，则，根据点与圆的位置关系可得，故的最小值为.故选：A.8．【正确答案】B【详解】

如图所示，取中点为，，为方便计算，不妨设，由，可知，又因为，分别为所在棱靠近端的三等分点，则，且，，，，平面，即平面，又因为平面，则平面平面，设肉馅球半径为，，由于，，分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则到的距离，，，又因为，解得，故，又因为，解得，，所以，解得，，由以上计算可知：为正三棱锥，故，所以比值为.故选B.9．【正确答案】ABD【详解】解：对于A，因为样本的方差所以这个样本有20个数据，平均数是这组样本数据的总和为A正确；对于B，已知样本数据的标准差为，则，数据的方差为，其标准差为，故B正确；对于C，数据共10个数，从小到大排列为，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，故C错误；对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故D正确.故选：ABD.10．【正确答案】ACD【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，不妨设点在第一象限，且，如图，因为，所以，则有点处的切线方程为：，即，令，于是，则，选项A正确；同理有点B处的切线方程为：，交轴于，当时直线才是抛物线的切线，否则直线不是抛物线C的切线，故B错误；点B处的切线方程为：，设直线的方程为：，由x=ty+1y2=4x可得，所以，点B处的切线方程为：，该切线与准线的交点的纵坐标为，同理，所以直线也是抛物线C的切线，所以，所以，故C正确；由A可知，为等腰三角形，且，于是，则，又，解得，则，选项D正确，故选：ACD11．【正确答案】AD【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得到是周期函数，进而判断选项A；由即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；对两边同时求导即可判断选项D．【详解】选项A：在中取为，得，所以，取为，得，因为函数是偶函数，所以，取为，得，所以，所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误；选项C：设，则，两式相加，得2022，所以，即，所以C错误；选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确.故选AD.12．【正确答案】【详解】回归直线经过，且，代入回归方程得：，即，所以当时，的最小值为.故答案为.13．【正确答案】4048【详解】函数的最大值是3，故，得，则由于函数的图象与轴的交点坐标为，故即函数图象其相邻两个对称中心的距离为2，故，所以；当，2，3，时，的值依次为1，0，，0，成周期变化；且周期为4，相邻4个之和为0，由于，所以．故4048．14．【正确答案】2024【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，由,得,所以，，，...，将这个式子左右两边分别相加可得:所以.所以,所以.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)，最小值为【详解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因为，所以，所以，因为，所以；（2）因为，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，当时，取得最小值，此时，即，所以当时，的面积取到最小值，最小值为.16．【正确答案】(1)；(2)；.【详解】（1）当时，，而，解得，当时，，解得，由数列为等差数列，得，则，解得，则，公差为2，所以.（2）当时，，两式相减，得，而，则，当时，，解得，因此数列的奇数项是首项，公差为的等差数列，；偶数项是首项，公差为的等差数列，，所以数列通项公式是；当为偶数时，，当为奇数时，，所以.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，，点E是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，又，，所以四边形是正方形，所以，且，所以，且，即，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为F是的中点，，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）由（1）知，平面，因为平面，所以.因为，.所以.又，由余弦定理得，因为，所以，所以，以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，作平面为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A2,0,0，，，.因为F是的中点，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以为平面的法向量，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，所以，取，则，，所以，所以，设二面角的平面角为，所以，所以二面角的正弦值为.18．【正确答案】(1)(2)（ⅰ）1；（ⅱ）存在定点，使得为定值【详解】（1）由题意，，解得，所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且），则，即，当且仅当，即时，等号成立，此时的面积的最大值为1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，联立，得，则，，则，又点到直线l的距离为，所以，当且仅当，即时等号成立，此时的面积的最大值为1.综上所述，的面积的最大值为1.

（ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以，因为，，所以，则，当直线l的斜率存在时，由（i）知，，所以，整理得，，即，即或，当时，直线l的方程为，过点，不符合题意；当时，直线l的方程为，恒过点.当直线l的斜率不存在时，，，，由（i）知，，则，由，得，解得或（舍去），所以直线l的方程为，过点.综上所述，直线l恒过点.因为，D为垂足，为定值，所以点D在以A，M为直径的圆上，取的中点，则，所以存在定点，使得为定值.

19．【正确答案】(1)证明见详解(2)(3)证明见