2024-2025学年东北三省高三上册12月联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年东北三省高三上学期12月联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．4．已知函数fx=Asinωx+φ（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．直线是图象的一条对称轴B．图象的对称中心为，C．在区间上单调递增D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象5．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则（

）A．2 B． C． D．36．已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（

）A．2 B．3 C． D．7．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知是定义在上的函数，且，，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，且，则下列不等式恒成立的有（

）A． B． C． D．10．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为，使得面面，连接，则下列说法正确的是（

）

A．D到平面的距离为B．四面体的外接球表面积为8πC．BC与所成角的余弦值为D．直线与平面所成角的正弦值为11．已知函数为R上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（

）A．B．直线与图象有8个交点C．是周期为2的周期函数D．方程所有根的和为三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列，，则．13．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为．14．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的周长为18，且b，c，a成递增的等差数列，．点D，E和F分别在BC，AC和AB上，满足，，．(1)求a，b，c的值；(2)求证：AD，BE和CF三线交于一点K．16．如图，在四棱锥中，，，，，面面，点E是PC的中点．(1)证明：面；(2)当面时，求二面角的余弦值．17．城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午点的城市活力度为，是工作日内活力度的最高值；点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．(1)分别求、的值；(2)求该工作日内，市活力度不大于的总时长．18．已知函数，其中，是自然对数的底数，是的导函数．(1)当时，求曲线y=gx在点处的切线方程；(2)当存在极值时，证明：的极值小于或等于1．19．记数列的前n项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)记数列的前n项和为．（ⅰ）求；（ⅱ）证明：．

答案1．【正确答案】B【分析】根据复数的乘除法化简复数，再利用复数的模计算即可.【详解】，所以，故选：B．2．【正确答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合诱导公式及同角公式判断得解.【详解】由，得，而，则；当时，由，解得，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．【正确答案】B【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出的值，可求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值.【详解】因为向量，，由可得，解得，故，故．故选：B．4．【正确答案】D【详解】由图易知，，得，又，，所以，因为点在函数图象上，所以，得到，又，所以，故，对于选项A，由，得，，故直线不是图象的一条对称轴，所以选项A错误；对于选项B，由，得，，函数图象的对称中心为，，所以选项B错误；对于选项C，由，，得，，当时，得到，所以选项C错误；对于选项D，将的图象向左平移个单位长度后得，所以平移后的函数是偶函数，故选项D正确.故选：D．5．【正确答案】B【分析】设，根据正四棱台的性质及结合空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积运算律求解即可．【详解】在正四棱台中，，，，在侧面中，得，由，所以，设，则，所以，则.故选：B．6．【正确答案】B【分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差.【详解】因为，当时，，两式相减，得，即，故公比为2，所以，而当时，得，所以等比数列的通项公式为，，所以，，公差为．故选：B7．【正确答案】C【分析】方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值；方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的离心率的值.【详解】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则，不妨设点在第一象限，则直线的斜率为，所以，直线的方程为，联立，解得，即点，所以，，化简可得，即，双曲线的离心率．方法二：因为为中点，，则，所以，又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线，得，所以，，所以，故．故选：C．8．【正确答案】C【分析】借助赋值法令可得，即可得，再借助赋值法计算可得函数周期，利用所得周期计算即可得解.【详解】因为，所以当时，，又，所以．又由，可得，所以，，故函数是以4为周期的函数，所以．故选：C．9．【正确答案】ABC【分析】利用不等式性质判断AB；利用指数函数单调性判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，，恒成立，A正确；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得，C正确；对于D，取，符合题意，而，D错误.故选：ABC10．【正确答案】BCD【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离、线线、线面夹角判定A、C、D；根据几何体结构确定外接球球心位置，利用等量关系列方程求球体半径，即可求表面积判断B.【详解】因为菱形ABCD中，E为AB的中点，所以，即将△ADE沿DE折起后，，，又面面，面面，面，所以面，则EB，ED，两两垂直，以E为坐标原点，EB，ED，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，所以，，，．对于A，设面的法向量为，则，取，，D到面的距离，错误；对于B，取CE中点F，连接DF，由，，过F作直线面，则四面体的外接球球心O在直线l上，设，外接球半径为R，由，得，解得，则，四面体的外接球的表面积为，正确；对于C，BC与所成角的余弦值为，正确；对于D，设面的法向量为，则取，，，正确．故选：BCD11．【正确答案】ACD【分析】利用对称性及奇函数性质可得、直线与的图象交点为奇数个判断A、B；根据题设有，再确定gx+2与的关系判断C；根据以上分析得、，数形结合确定所有根的和，再利用周期性求所有根的和判断D.【详解】对于A，的图象关于点中心对称，则，当时，可得，又，则，正确；对于B，因为为R上的奇函数，且为直线与图象的一个交点，所以直线与的图象交点为奇数个，错误；对于C，由A分析，得，则，所以，故是周期为2的函数，正确；对于D，因为为R上的奇函数，当x∈−1,1时，，由的周期为2，得，函数图象如图所示，当x∈−1,1时，令，解得，当时有最值，因为函数为奇函数且图象关于中心对称，所以图象也关于中心对称，当，有两个解，且关于对称，当时，所有根的和为，结合正弦型函数的周期性和的图象，所有根的和为，正确．故选：ACD．关键点点睛：对于D，根据解析式及的周期性、正弦型函数性质画出函数大致图象，数形结合求所有根的和，应用周期性求所有根的和.12．【正确答案】21【分析】根据题设及等差数列的通项公式求得，再由等差数列前n项和求结果.【详解】设等差数列的公差为d，由，可得，即，则．故21．13．【正确答案】（答案不唯一）【分析】将问题化为直线与半圆有2个公共点，数形结合及点线距离公式求参数临界值，即可得范围.【详解】由是以原点为圆心，以5为半径的右半圆（含），如图，，的非空子集的个数为3等价于直线与半圆有2个公共点，当直线经过点时，，当直线与半圆相切时，得，则或（舍），由图知，，故整数b的可能取值为．故（答案不唯一）14．【正确答案】【分析】根据题设，将问题化为恒成立，构造并应用导数研究单调性，进一步化为恒成立，再应用导数求右侧最值，即可得参数范围.【详解】由题意，在上恒成立，即，恒成立．，整理得恒成立，即，所以，令，则，故在定义域上单调递增，所以，即恒成立，令，则，当时ℎ′x>0，当x∈0,+∞时，即．故关键点点睛：将不等式化为恒成立为关键.15．【正确答案】(1)，，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据已知及等差数列性质可得，，结合余弦边角关系得方程组求边长即可；（2）根据已知各线段的线性关系得，，，设、，再应用平面向量的基本定理用表示，求出参数值，即可证结论.【详解】（1）因为△ABC的周长为18，所以，由于b，c，a是递增的等差数列，故，所以，①，又②，由①②，解得，，．（2）由题意，得，，，所以，，

设BE和CF交于点K，由B，K，E三点共线，得，由C，K，F三点共线，得，所以，解得，则，又，所以，所以AD过点K，即AD，BE和CF三线交于一点K，得证.16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据题设可得，由面面、线面垂直的性质有，最后用线面垂直的判定证结论；（2）法一：取AD的中点O，作交BC于M，连接OP，建立合适空间直角坐标系，根据空间线面、线线位置关系及向量垂直或平行的坐标表示求出的坐标，再用向量法求二面角余弦值；法二：取AD的中点O，连接OP和OC，再取OC的中点Q，连接QE，在平面ABCD内过点Q作BC的垂线，垂足为点N，连接EN，根据二面角的定义确定∠ENQ为二面角的平面角，再根据已知求其余弦值.【详解】（1）由题设，所以，而，则，所以，因为面面，面面，面，，所以面，又面，所以，因为面，且，所以面．（2）法一：取AD的中点O，作交BC于M，连接OP，则，面面，面面，面，则面，以O为原点，OA、OM、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，设，则，，，．易知面PAD的一个法向量为，而面，故，得．因为，所以，可得（负值舍），即．设平面PBC的一个法向量为，则，令，可得，易知平面ABC的一个法向量，则，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．法二：取AD的中点O，连接OP和OC，再取OC的中点Q，连接QE，在平面ABCD内过点Q作BC的垂线，垂足为点N，连接EN，因为，且O是AD的中点，所以．面面，面面，面，则面，因为EQ是△POC的中位线，则，所以面，因为面，所以，又，面，且，所以面，又面，所以，由二面角的定义知，∠ENQ为二面角的平面角．连接BQ，并延长BQ交CD于点T．由，面，面，所以面．当面时，面，且，则面面．由面面及线面平行的性质定理可知．记AC交BT于F，因为点Q是OC的中点，，所以F是AC的中点，由此可知，，因为，所以，且．由，知，由，得，所以，，因此，，所以二面角的余弦值为．17．【正确答案】(1)，(2)小时【分析】（1）根据题意可得出，代入函数解析式可求得实数的值，再根据题中信息得出，可得出关于的等式，即可解得的值；（2）解不等式，即可得出结论.【详解】（1）由正午点的城市活力度为，知，代入数据得，解得，点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值，故，代入数据得，解得．（2）由（1）知，当时，令，解得，当时，令，则，，，可得，解得，故一日内只有当时，活力度大于，即该工作日内有个小时活力度不大于．18．【正确答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；（2）根据题设得，讨论参数a研究单调性，结合极值的存在性有，进而得到，应用导数研究右侧的最值，即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，则，，故曲线y=gx在点处的切线方程为，整理得．（2）由（1）得，求导得，当时，单调递增，故不存在极值，当时，存在，使得，且，在上f′x<0，单调递减，在上f′x>0此时存在极值，由计算得，设，，则，当时，当时，所以时，取得极大值，也是最大值，故，即的极值小于或等于1．19．【正确答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）根据题设递推关系，利用关系及等比数列定义写出通项公式；（2