江苏省常州市2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案

常州市2024—2025学年第一学期高三期末质量调研数学2025年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知复数，则（）A.2 B.0 C.2i D.4.设随机变量服从正态分布，若，则实数（）A. B.1 C.2 D.45.若函数在处取得极小值，则实数（）A. B.2 C.2或0 D.06.已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.37.已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（）A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（）A. B. C.π D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在四棱柱中，，，为底面的中心，则（）A B.C D.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若在上的值域为，则的取值范围是B.若在上恰有一条对称轴，则的取值范围是C.若在上单调递增，则的取值范围是D.若在上有且只有两个不同的零点，则的取值范围是11.某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（）表1甲每股收益的分布列收益元02概率0.10.30.6表2乙每股收益的分布列收益元012概率0.30.30.4A.甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望B相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小）C.此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元D.此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式______．13.已知的展开式中项的系数为30，则______．14.中，点满足，，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．16.某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响．（1）经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率．17.已知数列满足．（1）设，求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，求的值．18.平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合．（1）求，的方程；（2）点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由．19.已知函数．（1）若在区间上单调，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点．（i）求实数的取值范围；（ii）若恒成立，求证：．常州市2024—2025学年第一学期高三期末质量调研数学2025年1月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.A3.B4.C5.D6.C7.D8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.AD10.ACD11.BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.（答案不唯一）13.14.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）因为为直棱柱，所以平面，又因为平面，所以，因为，为中点，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以．（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量，则，取，又平面的法向量，记二面角为，则，则，即二面角的正弦值为．16.（1）随机变量的可能取值为，，，，01；（2）经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况有：A班3轮每一轮得分都高于B班；A班有2轮得分高于B班，A班有1轮得分高于B班，另两场都是0分，所以所求概率．17.（1）由①，当时，②，①②则，又满足上式，所以．（2）由（1），知，则，故，所以，且，若为偶数，，则；若为奇数，，则；故，解得或．18.（1）因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以椭圆的焦点在轴上，又因为椭圆离心率为，所以，解得，所以椭圆，右焦点为1,0，所以，，所以抛物线；（2）由题可设，当时，由得，，所以点处切线的斜率为，设Ax1,y1因为，在椭圆上，所以，两式作差得，即，所以直线的方程为，令，解得，所以，所以点在定直线上运动.19.（1）由题设，当时f'x<0，当时f'所以在上单调递减，在上单调递增，而在区间上单调，所以；（2）（ⅰ），且x∈0,+∞令且x∈0,+∞，则，若，h'x>0，即hx当时，时h'x>0，时h