湖南省“长沙市联考”2024-2025学年高三上学期1月数学变式卷 含解析

高考资源网(）您身边的高考专家（AI教学）订购热线：188110597022025年1月“长沙市联考”变式卷（同考点）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（

）A．0 B． C． D．8【答案】C【知识点】求复数的模、复数的乘方【分析】根据复数的乘法化简，再计算其模.【详解】因为，所以.故选：C2．为异面直线，且.若，则直线l必定（

）A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交 D．至多与a，b之一相交【答案】C【知识点】异面直线的概念及辨析【分析】根据异面直线的定义，逐项分析直线与直线的关系，即可确定.【详解】由题意直线与、可都相交，也可只与一条相交，故A、B错误；但直线不会与两条都不相交，若与、都不相交，因为与都在内，所以，同理，所以，这与、异面直线矛盾，故直线至少与、中之一相交．故选：C.3．若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六【分析】由条件，根据三角函数定义求，结合诱导公式求结论.【详解】角的终边过点，则点到原点的距离，所以，所以．故选：A．4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数与导函数图象之间的关系【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.当时，从左向右，是递增、递减、递增，对应导数的符号为，由此排除C选项，所以A选项正确.故选：A5．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数【分析】根据题意可得，进而可得，利用整体法求解函数的单调区间，根据，即可求解.【详解】因为相邻两个对称轴之间的距离为，则，即，则，则，由，得，所以在上是增函数，由，得.故选：B6．如图，四边形中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】用基底表示向量【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.【详解】，．故选：A.7．已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的中点弦【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值.【详解】设的中点，抛物线的准线为，如图，作，垂足分别为.由直角梯形的性质可得，取抛物线焦点为，由抛物线定义可得，当且仅当直线经过点时取等号，所以线段中点的横坐标的最小值为．故选：B.8．设函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、分段函数的值域或最值【分析】时，无最大值，因此时，有最大值，利用导数求解．【详解】显然时，无最大值，时，存在最大值，，当时，，递增，当时，，递减，所以时，取得极大值也是最大值．，因此要有最大值，必须满足，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在时求得最大值，除这个最大值取得到，即以外还有必须满足，否则函数无最大值．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（

）A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数B．甲得分的极差大于乙得分的极差C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数D．甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】ABD【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可.【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：，乙：，故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为，乙的中位数为，故A正确；甲的极差为，乙的极差为，故B正确；，所以甲的第75百分位数为，乙的第75百分位数为，故C错误；由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.故选：ABD10．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（

）A．数列是等比数列 B．数列是等差数列C． D．【答案】BCD【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】根据条件，解得，进而得到，，选项A和B，利用等比、等差数列的定义，即可判断；选项C和D，利用等比、等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】因为数列是递增的等比数列，又，解得，所以公比，，，对于选项A，因为不为常数，所以选项A错误，对于选项B，因为，所以为常数，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确，对于选项C，因为，所以选项C正确，对于选项D，因为，所以，故选项D正确，故选：BCD.11．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中a，且），以下对说法正确的是（

）A．当时，的值域为；当时，的值域为B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】BCD【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、函数新定义【分析】根据值域的定义可判断A；设任意，，利用周期的定义可判断B；利用偶函数的定义可判断C；实数的稠密性，函数值在和之间无间隙转换可判断D.【详解】的函数值只有两个，的值域为，故A错误；设任意，，则，，故B选项正确；若，则，；若，则，；所以为偶函数，故C正确；由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D正确．故选:BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，函数的基本性质的定义和应用，关键在于理解函数的定义以及函数的性质，属于中档题.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在中，，，，则点的轨迹方程为．【答案】【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程【分析】设点，分别表示与，化简即可.【详解】设点，则，，则，化简可得，故答案为：.13．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为.【答案】【知识点】圆台表面积的有关计算【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式结合条件即得.【详解】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为，根据圆台的母线长公式，带入数值计算得到；设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，带入数值计算得到；所以该花盆上､下两部分母线长的总和为.故答案为：14．在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为.【答案】【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果.【详解】由，则，所以，即，即，解得或（舍去），可得，，因为是锐角三角形，则有，所以，，，则，有，由于,所以，可得的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值【分析】（1）根据题意，得到，进而求得甲答对第4题的概率；（2）根据题意，得到可取，取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即，所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为．（2）解：由题意得，，，．随机变量可取，则，，，，．所以随机变量分布列如下：X01234P所以．16．如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；(1)求点到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法【分析】（1）根据依题意建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得结果；（2）由线面角的向量求法计算即可得出结果.【详解】（1）由题意可知，底面为菱形，可得，依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：易知；设平面的法向量为，则即，据此可得平面的一个法向量为：，又易知点到平面的距离.（2）设直线与平面所成角为，平面的法向量为，又则即，据此可得平面的一个法向量为，又因此，故直线与平面所成角的正弦值为.17．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）对参数分类讨论，根据不同情况下导函数函数值的正负，即可判断单调性；（2）利用导数判断的单调性，求得的范围，满足的条件，以及，根据的范围夹逼的范围即可.【详解】（1）函数的定义域为，①当时，，函数在上单调递增；②当时，由，得，由，得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，设，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，且当；又当；故当，；当，；当，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极大值，故，且，所以，，又在单调递减，所以.【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论，以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析的单调性，以及求得隐零点的范围以及满足的条件，属综合中档题.18．设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的方程．(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心．①当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；②求点到直线的距离的最大值．【答案】(1)(2)①；②【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程得，由此可得椭圆方程；（2）①设，．结合重心性质可得，结合点在椭圆上可求，由此可求结论.②结合①求斜率不存在时，点到直线的距离，当斜率存在时，设方程为，联立方程组结合设而不求法求点到直线的距离的范围，由此得结论.【详解】（1）由题意得解得所以椭圆的方程为．（2）①设，根据题意得．因为原点是的重心，所以，即．将代入，解得．当时，；当时，，所以点到直线的距离为．②由①知当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去，整理得，且，即．所以．因为原点是的重心，所以，所以，所以．将点的坐标代入椭圆方程，整理得．点到直线的距离，．综上所述，当与轴垂直时，点到直线的距离最大，为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线问题中的最值问题的常规方法为结合条件，引入自变量，表示所求变量的函数解析式，再结合函数知识求其最值.19．设数列的前n项和为，对一切，，点都在函数图象上.(1)求，，，归纳数列的通项公式（不必证明）：(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；(3)设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.【答案】(1)，，，(2)(3)【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、数列综合【分析】（1）根据题意求出前几项，，利用归纳推理猜想通项公