2025高考数学二轮复习-专题4 概率与统计 第4讲 统计与成对数据的分析【课件】

第4讲统计与成对数据的分析2025基础回扣•考教衔接以题梳点•核心突破目录索引

基础回扣•考教衔接1.(人A必二9.2.2节例题改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A解析

把这10个数按从小到大排列,可得107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,为第3项138;中位数为

=160.5.2.(多选题)(人A必二9.2节习题改编)在去年的足球联赛上,一队每场比赛平均失球个数是1.5,全年比赛失球个数的标准差是1.1;二队每场比赛平均失球个数是2.1,全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有(

)A.平均说来一队比二队防守技术好B.二队很少失球C.一队在防守中有时表现较差,有时表现又非常好D.二队比一队技术水平更不稳定ACD解析

因为一队每场比赛平均失球数是1.5,二队每场比赛平均失球数是2.1,所以平均说来一队比二队防守技术好,A正确;因为二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以二队经常失球,B错误;因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以一队有时表现很差,有时表现又非常好,二队比一队技术水平更稳定,C,D正确.故选ACD.3.(人A选必三8.3.2节例题改编)随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构从不同地区抽查了100名育龄妇女,结果如下表所示.二孩生育意愿城市级别合计非一线一线愿生452065不愿生132235合计5842100参照下表:α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以得到的结论是

.

生育意愿与城市级别有关

4.(人B选必二例题改编)咽拭子检测是一种医学检测方法,用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测,可以了解患者口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况,具体数据如表所示:第t天12345y/袋1524364456根据以上数据发现y与t呈线性相关,其回归方程为,则估计第8天使用的棉签袋数为

.

86真题体验1.(多选题)(2023·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(

)A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差BD2.(2024·全国甲,理17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:产品等级优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:产品等级优级品非优级品甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解

(1)产品等级优级品非优级品甲车间2624乙车间7030因为3.841<χ2<6.635,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.以题梳点•核心突破考点一用样本估计总体例1(1)(多选题)(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)已知五个数据5,5,10,10,a的第80百分位数为15,则这组数据(

)A.平均数为9 B.众数为10C.中位数为10 D.方差为30CD(2)(多选题)(2024·广东茂名一模)某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛,随机抽取了100人的成绩,整理后得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是(

)A.样本的众数为75B.样本的第71百分位数为75C.样本的平均数为68.5D.该校学生中得分低于60分的约占20%AC解析

由(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)×10=1,得a=0.010,因为最高小矩形的中点横坐标为75,所以样本的众数是75,A正确;设样本的第71百分位数为x,因为10×(0.010+0.015+0.025)=0.5<0.71,10×(0.010+0.015+0.025+0.035)=0.85>0.71,所以第71百分位数在[70,80)内取得,所以0.5+(x-70)×0.035=0.71,解得x=76,B错误;样本的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,C正确;样本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%,即该校学生中得分低于60分的约占25%,D错误.故选AC.例2对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887

939

643

996

715

838

1082

923

9011182

1035

863

772

943

1035

1022

8551118

768

809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率;(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下每亩地可产出的年利润(单位:千元)如下表所示.你认为这三种农作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.年降水量偏少适中偏多甲8128乙12107丙71012(2)设种植甲、乙、丙三种农作物每亩地产出的年利润(单位:千元)分别是随机变量X,Y,Z,则X的分布列为X812P0.50.5E(X)=8×0.5+12×0.5=10(千元),Y的分布列为Y12107P0.20.50.3E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5(千元),Z的分布列为Z71012P0.20.50.3E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10(千元),所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植农作物甲、丙获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙,又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3<D(X),故种植农作物丙时获利的稳定性更好,因此,农作物丙最适合在该地区推广种植.[对点训练1](1)(2024·陕西咸阳模拟)某学校开展防电信诈骗知识竞赛活动,高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛,每个小组各有10名选手.若小组的每名选手失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”.已知选手失分(均为非负整数)数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是(

)A.甲组:中位数为3,极差为5B.乙组:平均数为2,众数为2C.丙组:平均数为2,方差为3D.丁组:平均数为2,第85百分位数为7C解析

假设甲组有选手失8分,由极差为5,可得最低失分为3分,此时中位数可以为3,假设可以成立,故A错误;假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8,满足平均数为2,众数为2,但不是“优秀小组”,故B错误;设丙组的失分情况从小到大排列依次为x1,x2,…,x10,丙组的平均数为2,方差为3,即故x10≤7,所以丙组的每名选手失分都不超过7分,该组一定为“优秀小组”,故C正确;因为85%×10=8.5,故从小到大排列后,选取第9个数作为第85百分位数,即从小到大第9个数为7,假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8,满足平均数为2,第85百分位数为7,但不是“优秀小组”,故D错误.故选C.(2)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.①求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;②水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电量最多可运行台数123若某台发电机运行,则该发电机年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该发电机年亏损800万元,要使水电站年总利润的均值达到最大,应安装多少台发电机?解

①依题意可得,②记水电站年总利润为Y(单位:万元),安装1台发电机:由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5

000,且E(Y)=5

000×1=5

000.安装2台发电机:当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5

000-800=4

200,P(Y=4

200)=P(40<X<80)=P1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5

000×2=10

000,P(Y=10

000)=P(X≥80)=P1+P2=0.8.所以Y的分布列为Y4

20010

000P0.20.8E(Y)=4

200×0.2+10

000×0.8=8

840.安装3台发电机:当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5

000-1

600=3

400,P(Y=3

400)=P(40<X<80)=P1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5

000×2-800=9

200,P(Y=9

200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5

000×3=15

000,P(Y=15

000)=P(X>120)=P3=0.1.所以Y的分布列为Y3

4009

20015

000P0.20.70.1E(Y)=3

400×0.2+9

200×0.7+15

000×0.1=8

620.因为8

840>8

620>5

000,所以要使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机.考点二一元线性回归模型及其应用例3(2024·湖北武汉模拟)随着科技日新月异的发展,人工智能融入了各个行业.某公司自2023年8月开始使用人工智能生成的虚拟角色直播带货,使用虚拟角色直播带货的销售金额情况统计如下表所示.年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号x123456销售金额y/万元15.425.435.485.4155.4195.4若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示,回答如下问题:(1)试求变量y与x的样本相关系数r;(结果精确到0.01)(2)试求y关于x的经验回归方程,并据此预测2024年2月份该公司使用虚拟角色直播带货的销售金额.(结果精确到0.1)[对点训练2](2024·江苏南京二模)某地5家超市春节期间的广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的数据如下:超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070(1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市个数为X,求随机变量X的分布列及期望E(X);(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程,并预测广告支出为10万元时的销售额.解

(1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市有C,D,E这3家超市,则随机变量X服从超几何分布,其中考点三非线性回归模型例4(2024·山东齐鲁名校联盟模拟节选)某市为繁荣地方经济,大力实行人才引进政策,为了解政策的效果,统计了2018~2023年人才引进的数量y(单位:万人),并根据统计数据绘制了如图所示的散点图(x表示年份代码,年份代码1~6分别代表2018~2023年).(1)根据散点图判断y=blnx+a与y=ec+dx(a,b,c,d均为常数)哪一个适合作为y关于x的回归方程类型;(给出结论即可,不必说明理由)(2)根据(1)的结果及表中的数据,求出y关于x的回归方程,并预测该市2025年引进人才的数量.(结果精确到0.01)解

(1)根据散点图可知,选择y=ec+dx更合适.[对点训练3](2024·陕西安康模拟)随着移动互联网和直播带货技术的发展,直播带货已经成为一种热门的销售方式,商家通过直播展示产品,使顾客对商品有更全面的了解.某商家统计了从6月份开启直播带货后到10月份每个月的销售量yi(单位:万件)(i=1,2,3,4,5)的数据,得到如图所示的散点图.其中6月份至10月份相应的代码为xi(i=1,2,3,4,5),如x1=1表示6月份.(1)根据散点图判断,模型①:y=a+bx与模型②:y=c+dx2,哪一个更适合作为月销售量y关于月份代码x的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果,建立y关于x的回归方程,并预测12月份的销售量大约是多少万件.(计算结果精确到0.01)解

(1)结合散点图判断,模型②:y=c+dx2更适合作为月销售量y关于月份代码x的回归方程.考点四独立性检验例5(2024·上海,19)为了解某地初中学生日均体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时长[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名初中学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少?(2)估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长(精确到0.1).(3)是否有95%的把握认为该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关?(3)时长[1,2)其他总数优秀455095不优秀177308485①提出原假设:该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.②确定显著性水平α=0.05,P(χ2≥3.841)≈0.05.④否定原假设,即该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关.[对点训练4](2023·全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配