2025高考数学二轮复习-专题3 数列 第1讲 等差数列、等比数列【课件】

第1讲等差数列、等比数列2025新高考核心考点2021年2022年2023年2024年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差数列模型第17题第17题

第3题第7题第20题第18题第19题

2.等比数列模型

第8题

第19题3.等差数列与等比数列的交汇模型

第17题

4.数列求和问题第16题

第17题

第18题

第12题基础回扣•考教衔接以题梳点•核心突破目录索引

基础回扣•考教衔接1.(人A选必二4.2.2节例题改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a5=a4+5,则S11的值是(

)A.11 B.50C.55 D.60C解析

由等差数列{an}的性质可知2a5=a4+5=a4+a6,则a6=5,2.(人A选必二4.3.1节例题改编)已知{bn}是等比数列,若b2=3,b6=27,则b4的值为(

)A.9 B.-9 C.±9 D.81解析

由题得

=b2·b6=3×27=81,而b4=b2·q2>0,则b4=9,故选A.A3.(人A选必二4.2.2节习题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S9=81,则S12=(

)A.288 B.144 C.96 D.25B4.(人A选必二第四章习题改编)中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名,其外观有五层而实际上内部有九层.为迎接国庆节的到来,有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰,若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼,且相邻的两层中,下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍,则九层塔楼一共需要挂的灯笼数为(

)A.360 B.511

C.1022 D.2044D解析

依题意,各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*,n≤9),且a1=4,公比q=2,所以前9项和为

=2

044,所以九层塔楼一共需要挂2

044盏灯笼.故选D.真题体验1.(2024·全国甲,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1=(

)B2.(2023·全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(

)A.25 B.22 C.20 D.15C3.(2023·新高考Ⅰ,7)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1时也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C.Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D.当n≥2时,上两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D.当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D.又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.故选C.4.(2024·新高考Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=

.

95以题梳点•核心突破考点一等差数列考向1等差数列的基本运算例1(1)(2024·重庆三模)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=70,a2(a3+a5)=80,则公差d=(

)A.12 B.2 C.3 D.4C解析

等差数列中,S7=7a4=70,得a4=10.又a2(a3+a5)=2a2a4=80,所以a2=4,所以d=3.故选C.(2)(2024·广东茂名模拟)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=4(a2+ak),则k=(

)A.4 B.6 C.7 D.9C解析

设公差为d(d≠0),∴a1+a8=a2+ak,∴ak=a1+6d=a7,∴k=7.故选C.[对点训练1](1)(2024·河北石家庄三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S9=6a5+27,则S5=(

)A.25 B.27 C.30 D.35A(2)(2024·山东济宁期末)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,前三个节气日影长之和为28.5尺,最后三个节气日影长之和为1.5尺,则春分时节的日影长为(

)A.4.5尺

B.3.5尺 C.2.5尺

D.1.5尺A解析

设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an},公差为d,所以an=a1+(n-1)d=11.5-n,所以a7=11.5-7=4.5.故春分时节的日影长为4.5尺.考向2等差数列的性质例2(1)(2024·广东广州模拟)在等差数列{an}中,若a2+a5+a19+a22=28,则a12=(

)A.45 B.6 C.7 D.8C解析

因为a2+a5+a19+a22=(a2+a22)+(a5+a19)=4a12=28,所以a12=7.故选C.(2)(多选题)(2024·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a4+a11>0,a7a8<0,则下列选项正确的有(

)A.数列{an}是递增数列B.S6>S9C.当n=7时,Sn最大D.当Sn>0时,n的最大值为14BCD解析

∵在等差数列{an}中,a1>0,a4+a11=a7+a8>0,a7a8<0,∴a7>0,a8<0,∴公差d<0,数列{an}是递减数列,A错误;∵S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,∴S6>S9,B正确;∵a7>0,a8<0,数列{an}是递减数列,∴当n=7时,Sn最大,C正确;C(2)(2024·四川南充二模)竹子可以用来加工成日用品,比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料,这九种竹筒的容积a1,a2,…,a9(单位:L)依次成等差数列,若a1+a2+a3=3.6,a8=0.4,则a1+a2+…+a9=(

)A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5C考点二等比数列考向1等比数列的基本运算例3(1)(2024·江西景德镇三模)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn+1=4Sn,a2=3,则S2024=(

)A解析

由Sn+1=4Sn,a2=3,得a2+a1=S2=4S1=4a1,解得S1=a1=1,因此数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,Sn=S1·4n-1=4n-1,所以S2

024=42

023.故选A.(2)(2023·全国甲,文13)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为

.

[对点训练3](1)(2024·河南洛阳模拟)在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折,每次对折后仍成等腰直角三角形,则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为(

)A考向2等比数列的性质例4(1)(2024·山东济南三模)已知{an}是等比数列,且a2a7=-a8=-4a4,则a3=(

)C解析

设等比数列{an}的公比为q,因为a2a7=a1a8=a4a5,且a2a7=-a8=-4a4,所以a1=-1,a5=-4,所以

=a1a5,且a1,a3,a5同号,所以a3=-2.故选C.(2)(2024·江苏扬州模拟)在正项等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若S30=7S10,S10+S30=80,则S20的值为(

)A.10 B.20 C.30 D.40C解析

设正项等比数列{an}的公比为q,则S10,S20-S10,S30-S20是首项为S10,公比为q10的等比数列.若S30=7S10,S10+S30=80,则S10=10,S30=70,所以(S20-10)2=S10(S30-S20)=10(70-S20)>0,即

10S20-600=0,解得S20=30或S20=-20(舍去).故选C.[对点训练4](1)(2024·北京朝阳一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=1,a3+a4=4,则S6=(

)A.9 B.16 C.21 D.25Ca5+a6=16,S6=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)=21.故选C.(2)(2024·福建漳州三模)已知数列{an}是公比不为1的正项等比数列,则“t=2”是“a1·a10=at·a9”的(

)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A解析

由等比数列的性质可知,若t=2,则a1·a10=at·a9.记数列{an}的公比为q,若a1·a10=at·a9,则a1·a1q9=a1qt-1·a1q8,因为数列{an}是公比不为1的正项等比数列,所以q9=qt+7,得t+7=9,t=