2025高考数学二轮复习-微培优1 函数图象的公切线问题【课件】

微培优1函数图象的公切线问题2025求解公切线问题一般思路:曲线的公切线问题,主要利用导数的几何意义进行解决,关键是抓住切线的斜率进行转化.主要应用在求公切线方程,切线有关的参数.常用到以下三个基本关系:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.具体做法一:设公切线在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=具体做法二:设曲线C1:y=f(x)在点P1(x1,f(x1))处的切线为l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理可得y=f'(x1)·x-f'(x1)·x1+f(x1).设曲线C2:y=g(x)在点P2(x2,g(x2))处的切线为l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)·x-g'(x2)·x2+g(x2),由于l1,l2是相同的直线,从而求出公切线方程,公切线的条数等价于该方程组的解的个数.需要注意,做法一直接利用斜率公式,因此不包含P1与P2重合的情况,做法二包含了P1与P2重合的情况,求解时要根据题意灵活选用.角度一求两曲线的公切线方程D(2)(2024·四川绵阳高三模拟)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=lnx+1,则f(x)与g(x)的公切线的方程为

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y=ex-1或y=x角度二求与公切线有关的参数值或范围问题例2(2024·新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=

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ln2解析

由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.例3(2022·全国甲,文20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解

(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.角度三求公切线条数问题例4(2024·广西南宁一模(1)问)已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx,若直线l与函数f(x)和g(x)的图象均相切,试讨论直线l的条数.

令t(x)=-xex+1,则t'(x)=-(x+1)ex,当x>-1时,t'(x)<0,t(x)=h'(x)单调递减,当x<-1时,t'(x)>0,t(x)=h'(x)单调递增,又当x<0时,t(x)>0,t(1)=1-e<0,故存在唯一的x0∈(0,1),t(x0)=0,故当x∈(-∞,x0)时,t(x)=h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(x0,+∞)时,t(x)=h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)max=h(x0)>h(0)=2>0,又h(2)=3-e2<0,h(-2)=-1+3e-2<0,因此h(x)存在两个零点,故直线l的条数为2.针对训练1.(2024·福建模拟预测)已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(

)A解析

设直线与y=ln

x的切点为(x1,ln

x1),且x1>0,与y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2)),且x2<0,2.已知函数f(x)=x3-x+a的图象关于原点对称,则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有(

)A.1条

B.2条

C.3条

D.4条C解析

由题意f(-x)=-f(x),所以a=0,所以f(x)=x3-x,所以f'(x)=3x2-1,所以y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为3.(2024·辽宁二模)已知函数

的图象与函数y2=ax(a>0,且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线,则a=

,切线方程为

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4.(2024·陕西西安模拟改编)已知函数f(x)=a-2(a≠0),g(x)=lnx.若函数y=f(x),y=g(x)的图象存在两条公切线,求实数a的取值范围.令h'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)的最大值为h(1)=4,令h(x)=0,得x=,则当x→0时,h(x)→-∞;x→+∞时,h(x)→0,则函数h(x)的大致图象如下,故实数a的取值范围为(0,2).5.(2024·湖北武汉高三模拟)已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直线l同