2024年上海高考数学高频考点 专题1-1 集合、逻辑与复数（专题分层练）含详解

专题验收评价

专题1T集合、逻辑与复数

内容概览

A­常考题不丢分

一.元素与集合关系的判断（共1小题）

二.并集及其运算（共1小题）

三.交集及其运算（共5小题）

四.充分条件与必要条件（共7小题）

五.命题的真假判断与应用（共3小题）

六.虚数单位i、复数（共2小题）

七.复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）

八.复数的运算（共6小题）

九.共扼复数（共1小题）

一十.复数的模（共3小题）

B♦拓展培优拿高分（压轴题）（共16题）

C•挑战真题争满分（17题）

A♦常考题不丢分、

一.元素与集合关系的判断（共1小题）

1.（2023•徐汇区校级三模）已知集合A=[S,s+y]（J[t,t+1]，其中1初且记f（x）七

且对任意在A,都有/（x）则s+t的值是.

二.并集及其运算（共1小题）

2.（2023•徐汇区三模）已知集合4={2,3,5},B={1,5},AUB=.

三.交集及其运算（共5小题）

3.（2023•长宁区二模）已知集合4={1,2,3,4,5）,8={2,4,6,8},则AAB=.

4.（2023•普陀区校级三模）已知集合人=（-1,2）,8=[1,+8）,则集合4n8=.

5.（2023・宝山区校级模拟）设集合4={耶1〈2,.隹口},8={1*-©+320,在用，则408=.

6.（2023•黄浦区模拟）若集合A={x|xW2},8="仅2〃}满足An8={2},则实数。=.

7.（2023♦青浦区校级模拟）已知集合人={巾<1},8={-1,0,2},则AH8=.

四.充分条件与必要条件（共7小题）

8.（2023•普陀区校级模拟）“x>l”是“工<J的（）

x

A.充要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件

9.（2023•奉贤区校级模拟）设x€R,则“仅-2|<1"是“』+厂2>0”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.（2023•黄浦区校级模拟）“〃=（）”是关于x的不等式ax-beI的解集为R的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

11.（2023•宝山区校级三模）设入ER,则“入=1”是“直线3x+（A-1）y=1与直线Xr+（1■入）y=2平行”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12.（2023•浦东新区三模）设等匕数列伍〃}的前〃项和为Sn,设甲：乙：{%}是严格增数歹

则甲是乙的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

13.（2023•嘉定区模拟）已知复:数zNO,则“|z|=l”是“zdER”的（）条件.

z

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

14.（2023•闵行区校级二模）设a,0是两个不同的平面，直线〃?ua,则“对0内的任意直线/,都有〃?_L

!”是“a_L0”的（）

A.允分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

五.命题的真假判断与应用（共3小题）

15.（2023•徐汇区二模）已知“若x>〃，则工1>0"为真命题，则实数a的取值范围是.

x

16.（2023•宝山区校级模拟）已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题.给出下列四个

命题：

①M的元素不都是P的元素；

②M的元素都不是P的元素；

③M中有P的元素；

④存在使得.vCP.

其中真命题的序号是.（将正确命题的序号都填上）

（多选）17.（2023♦黄浦区校级三模）在棱长为1的正方体ABC。-加BICIQI中，已知E1为线段BC的中

点，点尸和点。分别满足D产=［D［C；，D］《二4口了其中入，［©0,1］，则下列说法正确的是（）

A.当人△时，三棱锥P-EFO的体积为定值

2

R.当四，时，叫棱锥P-ARCO的外接球的表面积是更

24

C.尸石+P户的最小值为显巨

6

D.存在唯一的实数对（入，H）,使得EP_L平面PQF

六.虚数单位i、复数（共2小题）

18.（2023•普陀区校级模拟）已知i是虚数单位，则复数I一•的虚部是.

19.（2023•宝山区二模）已知复数（m2-3m-1）+（//r-5w-6）i=3（其中i为虚数单位），则实数m

A.[0,”与{£]OWEWI}B.[0,“与{mb,c,d}

C.（0,1）与[0,1]D.{1,2,3}与{a,b,c,d]

2.（2020•上海自主招生）GiventwosetsA={1,2,3,4,5}andB={3,4,5,6,7},thentheintersection

setofAandBisC）

A.{1,2}B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7}D.{6,7}

3.（2022•上海自主招生）已知集合4={（x,y）N+/W2,xWZ,>-GZ},则A中元素的个数为（）

A.4B.5C.8D.9

4.12022•上海自主招生）集合A={1,2,/},B={cr\aE.A}iC=AUB,C中元素和为6,则元素积为（）

A.IB.-1C.8D.-8

5.（2023•闵行区校级一模）已知{的）是等差数列,加=sin（a〃）,且存在正整数丁使得对任意的正整数已都

有加+?=〃〃.若集合S=3人=加，〃WN’}中只含有4个元素，贝打的取值不可能是（）

A.4B.5C.6D.7

二.多选题（共1小题）

（多选）6.（2023•黄浦区校级三模）在棱长为1的正方体4伙?。-4加。。|中，已知E为线段31c的中

点，点F和点P分别满足D1展入DK，D[0=klD]其中入，咋[0,1]，则下列说法正确的是（）

A.当X△时，三棱锥P-EFD的体枳为定值

2

B.当U△时，四棱锥P・ABCD的外接球的表面积是更

“24

C.PE+PF的最小值为品巨

6

D.存在唯一的实数对（入，M）,使得EP_L平面PZ"

三.填空题（共5小题）

7.（2020•上海自主招生）凸四边形/WC。，则NBAC=N8D。是N/）AC=/OBC的条件.

8.（2020・上海自主招生）定义九八）=[1‘，M@V={x|/；w（x加（x）=-1},已知A={x|x<V2^x},

-1,x£M

B={x\x（x+3）（x-3）>0},则A84=.

9.（2020•上海自主招生）直线/i,/2交于。点，M为平面上任意一点，若p,9分别为M点到直线八，八的

距离，则称（p,g）为点M的距离坐标.已知非负常数p,q,下列三个命题正确的个数是.

<1）若p=q=0,则距离型标为（0,0）的点有且仅有1个；

(2)若pq=O,且p+g#(),则距离坐标为(p,q)的点有巨仅有2个;

(3)若/#0,则距离坐标为(p,q)的点有且仅有4个.

1().(2020•上海自主招生)若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集

合.下列集合：

(1)R(2)Q(3)CRQ(4){中=〃?+血〃，〃?，〃WZ}中.封闭集合的个数为.

II.(2023•徐汇区三模)

对任意数集A={<〃，。2,。3},满足表达式为丁=/+/-17且值域为A的函数个数为〃.记所有可能的

p的值组成集合8,则集合3中元素之和为.

四.解答题(共5小题)

12.(2022•上海自主招生)A={1,2,100},5={3小€4},C={2x|xGA),求8CC中元素个数.

13.(2022•上海自主招生)多项式f(x),g(x),问两命题“/(x)是g(x)因式”，“f(f(x))是g(gCr))

因式”充分必要关系.

14.(2021•上海自主招生)已知/(k)周期为1,则命题p：“f(x)+f(、跖)=2”是命题g：“/(x)恒

为1”的什么条件？

15.(2022•黄浦区模拟)有以下真命题:已知等差数列{如},公差为d,设aaa是数列{如}

ninnm

n<+n+*"+n,

中的任意加个项，若9二一2------

—(0WrV〃？，rGN,八〃EN*)①，则有

mm

l,，+

an+an+an

（1）当机=2,，=0时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；

（2）若｛4〃｝为等差数列，。2+。4+。8+。16+432+464+4128+4256=24,且a63=6,求｛4〃｝的通项公式;

（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.

16.（2022•宝山区校级二模）已知虚数z=〃+icos。，其中a,共R,i为虚数单位.

①若对任意6WR,均有|z+2-i|W3,求实数a的取值范围；

②若z,z2恰好是某实系数•元二次方程的两个解，求”，6的值.

C•挑战真题争满分

一.选择题（共4小题）

1.(2022•上海)若集合A=[-l,2),B=Z,则AAB=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}

D.{-1}

2.（2020•上海）命题〃：存在aCR且aKO,对于任意的xCR,使得/（*a）＜f（x）\f（a）；

命题小：/（X）单调递减且/（x）>。恒成立；

命题/：f（X）单调递增，存在A0<0使得f（A0）=0,

则下列说法正确的是（）

A.只有qi是〃的充分条件

B.只有@是〃的充分条件

C.q\,（72都是〃的充分条件

D.q\,42都不是〃的充分条件

3.（2021•上海）已知集合A={x|x>-l,.r€R},8=％・220,x6R},则下列关系中，正确的是（）

A.AQBB.CRAQQRBC.AGB=0D.AU8=R

4.（2023•上海）已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|.隹P，.怅Q},则"=（）

A.{1}B.{2}C.⑶D.{1,2,3}

二.填空题（共13小题）

5.（2022•上海）已知集合人=（-1,2）,集合B=（1,3）,则AG8=

6.（2021•上海）已知A={x|2xWl},«={-!,0,1},则An/?=

7.（2020•上海）已知集合4={1,2,4）,集合月={2,4,5},则AGB=

8.（2023•上海）已知复数z=l-i（i为虚数单位），则|l+iz|=

9.（2022•上海）已知z=l+i（其中i为虚数单位），则2z=

10.（2021•上海）已知zi=l+i,z2=2+3i,求zi+z2=

11.（2020•上海）已知复数z=l・2i（i为虚数单位）,则0=

12.（2023•上海）已知集合人={1,2},B={\,a},且A=8,则〃=

13.（2020•上海）集合A={1,3},8={1,2,a},若AGB,则a

14.（2022•上海）已知z=2+i（其中，为虚数单位），则z=

15.（2021•上海）已知z=l・33则|z・i|=

16.（2020•上海）已知复数z满足z+2z=6+i,则z的实部为

17.（2023•上海）已知zi,Z2GC且zi=/—（/为虚数单位），满足⑶-1|=1,则⑵-匐的取值范围

乙

为

专题验收评价

专题17集合、逻辑与复数

内容概览

A­常考题不丢分

一.元素与集合关系的判断（共1小题）

二.并集及其运算（共1小题）

三.交集及其运算（共5小题）

四.充分条件与必要条件（共7小题）

五.命题的真假判断与应用（共3小题）

六.虚数单位i、复数（共2小题）

七.复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）

八.复数的运算（共6小题）

九.共扼复数（共1小题）

一十.复数的模（共3小题）

B♦拓展培优拿高分（压轴题）（共16题）

C•挑战真题争满分（17题）

A•常考题不丢分

一.元素与集合关系的判断（共I小题）

1.（2023•徐汇区校级三模）已知集合A=[s,s+^-]IJ[t,t+1]，其中1C4且记f（x）=^1，

且对任意xEA,都有f（x）WA,则$+/的值是速■!_.

【分析】根据两端区间和x=l的关系分三种情况讨论：x=l在[s,s+5]U[],什1]左边，在回$+5]和

66

〃，什1]之间，在[s,s+5]U[3/+1]右边三种情况，根据单调性可得/（x）的值域，从而确定定义域与值

域的关系，列不等式求解即可.

【解答】解：①当S>1时，ftx)=1+2在区间X曰S,S+工］U［f,什1］上单调递减,

x-16

e[l+—,1+^-],

tt~l■_S-1

s6

'/2f-2、

t<s-l1+5加

g----

•2/日<6.

s6s-l《t

'_2-

“s-1s，+l

・•・ifK故25

D------+-=s

S飞t-16

r.^-4—=—+1*即Ar-r-12=0,

t-l6tt-16t

V/>1,：.t=4,5=旦

2

:.s+t=—.

2

②当S+2<1</,即S〈至■时，此时区间[s,5+2]在广=1左恻，［/，什1］在x=l右侧，

666

V/(X)=三3在区间[s,S+1]上为减函数，

x-16

当xW[s,s+2],f(x)e[----1",

6s-1

s6

s4

s6s+1

V—^-<1,/>1,/.[―s+-],

s+1「3s-16

56

A?--c--=0,即(2y+l)(3s-7)=0,

6S6

V5<—,.“=」，

62

此时区间［f,什1］在x=l右侧,

当x€[f,什1]时,

f(X)日主a斗，

tt-i

・・、，

t+2[t+2fl±l]c[Z,r+l],

t-1

t+1

,此时.t>2,解得：『2,

(t-2)(t+l)<0

:.5+/=—■；

2

③当/+1V1,即fVO时，x=l在[s,Up,U1]右边.

此时/(x)=1+，一在区间回

U［［,Z+l］上单调递减,

x-1

：.f(x)曰i+2,|_^2JU[1-2-，母

+t-1+5

t<2

s-lD

且'

14-2-4

5飞

S

2

=

ts-l7"s4+l

T故

25

t-1y$

.25_2［叩2_t+12._

・・--------f----------+］，田」------------,..r-/-1129—n

t-l6tt-16t

*.*t<1,Ar=-3,5=—,不满足$+』<，.

36

综上，$+/的值为旦或旦.

22

故答案为：；或色.

乙乙

【点评】本题主要考查了根据堂调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点

与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需

要统一分析，注意不等式之间用似的关系整体进行求解.属于难题.

二.并集及其运算（共1小题）

2.（2023•徐汇区三模）已知集合/4={2,3,5},4={1,5},则AU8=",2,3,51.

【分析】利用并集定义直接求解.

【解答】解:集合A={2,3,5},3={1,5},

则AU8={1,2,3,5）.

故答案为：{1，2,3,5）.

【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

三.交集及其运算（共5小题）

3.（2023•长宁区二模）已知集合人={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则⑵二

【分析】找出A与4的公共元索，即可确定出交集.

【解答】解：VA={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8),

.•.AC3={2,4}.

故答案为：{2,4}

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

4.(2023•普陀区校级三模)已知集合/1=(-1,2),8=[1,+8),则集合4n4=[1,2).

【分析】直接利用交集运算的概念得答案.

【解答】解：VA=(-1,2),B=[\,+8),

，An8=(-1,2)n[l,+oo)=[1,2).

故答案为：[1，2).

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题.

5.(2023•宝山区校级模拟)设集合4={刈川<2,.r€R},3={3产-4x+320,xWR},则AA8=(-2,

U_.

【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可.

【解答】解：A=WM<2,JteR)=M-2<x<2),

B={x\x1-4x+320,xGR}=口长23或xW1),

则404={川-2<x<l},

故答案为：(・2,1].

【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算实是解决本题的关

强

6.(2023•黄浦区模拟)若集合人={小忘2},B=3戈2〃}满足AC8={2},则实数〃=2.

【分析】由题意AC8={2},得集合4中必定含有元素2,且A,8只有一个公共元素2,可求得。即可.

【解答】解：由AG4={2},

则A,8只有一个公共元素2：

可得。=2.

故填2.

【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题.

7.(2023•青浦区校级模拟)已知集合A=3xVl),B={-1,0,2},则，AB={2}.

【分析】利用补集和交集的运算求解.

【解答】解：♦..集合4=A|xVl),

：•A={xIx>l)

又,・・B={-1,0,2},

・.Nr)B={2}，

故答案为：{2}.

【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

四.充分条件与必要条件（共7小题）

8.（2023•普陀区校级模拟）“公>1”是“工<1”的（）

x

A.充要条件

B.充分非必要条件

C.必要非允分条件

D.既非充分又非必要条件

【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

【解答】解：当>1时，成立，

x

当x=-1时，满足上<1成立，但X>1不成立.

X

故’3>1”是“工<1”成立的充分不必要条件.

X

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础.

9.（2023•奉贤区校级模拟）设XWR,则”-2|V1”是2>0”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：由“U・2|V解得14V3,

由A2+X-2>0得1或工V-2,

即"L"2|VI”是“/+x・2>0”的充分不必要条件，

故选:A.

【点评】本题主要考杳充分条件和必要条件的判断，比较基础.

10.（2023•黄浦区校级模拟）“〃=0”是关于x的不等式数-〃21的解集为R的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【分析】求出不等式公1的解集为R时的充要条件，即可得山结论.

【解答】解：关于X的不等式*-心1的解集为R时，应满足卜W,即卜丁.

l-b>llb<-l

所以“a=0”是关于x的不等式or-621的解集为R的必要不充分条件.

故选:B.

【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题.

11.（2023•宝山区校级三模）设入ER,则“入=1”是“直线3x+（A-1）>-=1与直线入r+（1-入）y=2平行”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据直线•般式中平行满足的关系即可求解.

【解答】解：若直线3x+（A-1）y=\与直线Ax+（1-A）y=2平行，

则3（1■入）■人（入・1）=0,解得入=1或入=・3,

经检验入=1或入=-3时两直线平行，

故“入=1”能得到“直线3户（入-1）y=\与直线Ax+（1-A）.y=2平行”，

但是“直线3x+（A-I）y=l与直线右+（1-入）y=2平行”不能得到“人=1”.

故选:A.

【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题.

12.（2023•浦东新区三模）设等比数列｛m｝的前〃项和为S”,设甲：ai<a2<a3,乙：｛S〃）是严格增数列,

则甲是乙的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

【分析】举例说明充分性和必要性都不成立即可.

【解答】解：等比数列｛。〃｝中，前〃项和为S〃，当0Vo时，若夕制，则m—<0,数列｛S〃｝严

格单调递减，充分性不成立；

若数列｛%｝严格递增，则数列俗“是正项等比数列，只需满足〃“>0,心0即可，若OVqVl,则

＞。3，必要性不成立；

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

故选：

【点评】本题考查了等比数列的定义与前〃项和性质应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，

是基础题.

13.（2023•嘉定区模拟）已知复数2#0,则“团=1”是的（）条件.

Z

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【分析】当|z=1时，即初+庐=1，zJ=2aER，充分性；取z=2,则z2与ER，|z|

1zz2

=2,不必要，得到答案.

【解答】解：设z=a+bi,a,l）ER,

当IZ|《2+b2=i时，即d/j所以zTwbiJ=a+bi贽/aER充分性成立，

取z=2,则zd/"ER回=2,必要性不成立，

综上所述："|z|=l"是“z』CR”的充分不必要条件.

Z

故选:A.

【点评】本题主要考杳了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

14.（2023•闵行区校级二模）设a,0是两个不同的平面，直线机ua,则“对0内的任意直线/,都有机

!”是“a_L0”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据线面垂直与面面垂直定义可解.

【解答】解：根据题意，因为a,0是两个不同的平面，直线〃?ua,当对0内的任意直线/,都有〃?_U,

则a_L0,则充分性成立，

当。_10时，则对0内的任意直线/,有m与/相交或加〃/,则必要性不成立，

故”对0内的任意直线/,都有机_L/”是“a_L|F的充分不必要条件，

故选:A.

【点评】本题考杳线面垂直与面面垂直定义，属于基础题.

五.命题的真假判断与应用（共3小题）

15.（2023♦徐汇区二模）已知“若心>小则为真命通，则实数。的取值范围是+8）.

x

【分析】由命题“若/>〃，则二二上>0”是真命题，转换成转换成能推出（/-1）X>0成立，即

x

.<>«,能推出公>1成立，可得实数〃的取值范围.

【解答】解：命题“若x>a,则工二>0”是真命题，

X

则x>4，能推出2m>0”成立，

X

转换成能推出（x-I）.r>0成立，

即x>a,能推出｛MxVO或x>l｝成立，

即x>a,能推出x>1成立，

由不等式端点和简易逻辑关系可得，“21，

则实数〃的取值范围是：

故答案为：［I,+8）.

【点评】本题考查命题不等式的计算、简易逻辑，属于基础题.

16.（2023•宝山区校级模拟）已知命题：“非空集合M的元素都是集合。的元素”是假命题.给出下列四个

命题：

①M的元素不都是尸的元素；

②M的元素都不是P的元素；

③M中有尸的元素；

④存在X6M,使得正P.

其中真命题的序号是①④.（将正确命题的序号都填上）

【分析】直接利用命题的否定和元素和集合之间的关系的应用判定①②③④的结论.

【解答】解：命题：“非空集合M的元素都是集合。的元素”是假命题.

则：命题：“非空集合M的元素不都是集合P的元素”是真命题.

故①M的元素不都是户的元素，①正确

②M的元素都不是P的元素，②错误

②M中有〃的元素，③错误

④存在xWM,使得.怅P,④正确

故答案为：①④

【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，集合间的关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用,

属于基础题.

（多选）17.（2023•黄浦区校级三模）在棱长为1的正方体4BCO-中，已知上为线段51c的中

点，点尸和点P分别满足D]?=:D]C[DjP=.D]其中入，!■©（），11，则卜列说法正确的是（）

A.当入△时，三棱锥P-EFO的体积为定值

2

B.当△时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是更

24

C.PE+P/的最小值为品巨

6

D.存在唯一的实数对（入，p）,使得E0_L平面PQ/

【分析】当人=▲时，所以尸是。1。的中点，EF〃BD\,点P到面EFO的距离为定值，可判断4；,

2

222

当|19时，点、P为BD\的中点，设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为r,则r=（r-y）+（*-）,

所以「=旦，可判断8；

4

把问题转化为在平面ABCjQ]求点P使得PE+P尸的最小值问题，如图所示，作点关于BD\的对称点E',

过点E'作Ci。],A8的垂线，垂足分别为F,H,则PE+PF=PE，+PF^E,F,计算可得结论；

建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可判断D.

【解答】解：对于4当入=/时，所以产是。I。的中点，连接8C1,因为四边形BCCIBI是平行四边

形，所以E为8a的中点，

所以石尸〃/"力，.・.8/力〃面石F/）,又点、P在BDi上,所以点P到面七尸。的距离为定值，所以三棱锥P

-EFQ的体积为定值，

故A正确；

对于8,当时，点尸为8。的中点，设四棱锥P-A8c。的外接球的半径为九

2

则有「2=（11）2+（也）2,所以『3,所以外接球的表面积为母兀，故8错误；

2244

对于C，把问题转化为在平面ABCMi求点P使得PE+PF的最小值问题，如图所示，作点关于BDi的对

称点X,过点E'作。。I,A8的垂线，垂足分别为尸，H,

则PEiQFnPE'\PF^E'F,

s-…喙皆争除力

sinZABE1

：.E'H=BE'sin/ABE'=^-X—=^-»

236

，E‘H=HF-HEZ旦2,・・・PE+Pb的最小值为例£故C错误,

6o

对于。，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,入，1),D(0,0,0),P(p,41-H),E(―,1,A)

22

则DF=（。，入，1），DF=（内匹1-p）,

设平面尸。尸的一个法向量为而=（I1J,|1-1,

乙乙

31）入哈-叱0

解得呼普,入=等,

EQJ_平面PQF,

P3)+P(U-l)+g-U)(T)=0

・••所以存在唯一的实数对（入，H）,使得EP_L平面POF,故。正确,

故选：AD.

D\Ci

【点评】本题考查体积的定值问题，平面内一点到两点距离的最小值问题，以及外接球的表面积的求法，

以及空间向量的计算，难度大.

六.虚数单位i、复数（共2小题）

18.（2023•普陀区校级模拟）已知，是虚数单位，则复数17的虚部是一7.

【分析】利用复数的概念求解.

【解答】解：由复数的概念，知：

复数1-i的虚部是-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要熟练掌握复数的概念.

19.（2023•宝山区二模）已知复数（nr-3m-1）+Cm2-5m-6）i=3（其中i为虚数单位）,则实数，〃=

-1.

【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解.

【解答】解：复数（m2-3m-I）+（w2-5m-6）i=3,

iin3in-1-3,口

则n，，解1t得加=-l.

m-5m-6=0

故答案为：-1.

【点评】本题主要考看复数相等的条件，属于基础题.

七.复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）

20.（2023•长宁区二模）设复平面上表示2一・和3+4i的点分别为点A和点B,则表示向量屈的复数在复平

面上所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据条件可写出表示向量元的复数，然后即可得出该复数所位于的象限.

【解答】解：根据题意知，表示向量AB的复数为l+5i,

・•・在复平面上所对应的点为(1,5)位于第一象限.

故选：A.

【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于

基础题.

21.(2。23•奉贤区校级二模)复数(a-1)+(2〃-1)/(aEK)在复平面的第二象限内，则实数4的取值范

雨是—g，1)_-

【分析】根据已知条件，结合复数的儿何意义，即可求解.

【解答】解:(a-1)+(2a-I)i(a£R)在复平面的第二象限内，

则《、，解得

l2a-l>02

故实数〃的取值范围是g,1).

故答案为：g,1).

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

八.复数的运算(共6小题)

22.(2023•黄浦区二模)设复数zi、Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，zi=2+i(i为虚数单.位)，则z广

Z2=-5.

【分析】利用复数的运算法则与共桅复数的定义、几何意义即可得出.

【解答】解：•・•复数zi、Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Zi=2+j,

/.Z2=-2+z.

.*.zi*z2=~(2+Z)(2-i)=-5.

故答案为：-5.

【点评】本题考查了复数的运算法则与共规复数的定义、儿何意义，属于基础题.

23.(2023•闵行区校级二模)在复平面内，点A(-2,1)对应的复数z,则

【分析】求出复数z+1,然后求解复数的模.

【解答】解：在复平面内，点A(-2,1)对应的复数z,则|z+l|=|-2+i+l|=|-l+/|=d(-1)2+/=

近.

故答案为：V2.

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力.

24.（2023•浦东新区校级一模）若复数z满足,•・z=l+2i,其中，是虚数单位，则z的实部为2.

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:由八z=l+2i,

俎_l+2i（l+2i）（-i）c.

得z-----：—=---------------=2-1•

1-i2

・・・z的实部为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查及数代数形式的乘除运算，考查好数的基本概念，是基础题.

25.（2023•宝山区校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足上二=3则|z尸1.

l+z

【分析】设出z=a+bif得到1-a-bi=-b+（a+1）i,根据系数相等得到关于a,b的方程组，解出a,

b的值，求出z,从而求出z的模.

【解答】解：设z="4,则上卫=~从

l+z1+a+bi

/.\-a-bi=~b+（q+l）i,

解得（a=。,

"b=a+lb=_l

故z=-i,|z|=1,

故答案为：1.

【点评】本题考杳了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题.

26.（2023•宝山区校级模拟）已知复数"z=l+i,则复数z=1-i.

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答]解：由"Z=l+i,得k=（]+i）fT）=]T.

1-1

故答案为：I-/.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

27.（2023•黄浦区模拟）已知复数z巧i，口|=2,zg是正实数，则复数z2=1-«i.

【分析】设Z2=a+万（a,bER）,由已知列关于a,〃的方程组，求解a,。的值得答案.

【解答】解：设z2="+bi（a,bER）.

由2]=1+\回「I切=2,Z1Z2是正实数，

22

a+b=4a=l

得解得或.

V3a+b=0b=-V3

.*.z2=-1+V3i或1-V3i.

当zi=­1+V3i时，z\z2=-4,舍去,

/.z2=i-Vsi.

故答案为：I-A/3i.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考杳复数的基本概念，是基础题.

九.共枕复数（共1小题）

28.（2023•松江区校级模拟）复数z」一（i为虚数单位），则历|=_&_.

1+i

【分析】由已知直接利用份|二|z|及商的模等于模的商求解.

【解答】解：•••z'r，

1+1

・•・1=1z1=1心户一得

l+iIl+iIV2

故答案为：V2

【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.

一十.复数的模（共3小题）

29.（2023•徐汇区三模）设，■是虚数单位，则|户+八产1=1.

【分析】根据虚数单位的性质可求代数式的值.

【解答】解：•・•？=-1,

・・・1,+/7+产|=俨+j3+“=|_1-j+]|=m=i,

故答案为：1.

【点评】本题考查虚数单位『的运算性质，考查复数模的求法，是基础题.

30.（2023•黄浦区校级模拟）已知i是虚数单位，好数z满足工=2-i，则更数z的模为叵

z+i-2

【分析】利用复数模的性质进行求解即可.

【解答】解：由题意可得z+i=1,即1+上=」_

z2-iz2-i

1』=11-1|=1=容1，即1_|-l+iI

?

z2-12-1Zl2-il

解得忆|=华.

乙

故答案为：乂也•.

2

【点评】本题考查了复数的运算，复数的模，解题的关键是掌握模的运算性质，属于基础题.

31.（2023•嘉定区二模）已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则0=5.