偏导数教学课件

偏导数第二节偏导数在一元函数微分学中，我们已经知道函数y=f(x)的导数就是函数y对自变量x的变化率.对于二元函数z=f(x,y)我们同样要研究它的“变化率”，然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂得多.在研究二元函数z=f(x,y)时，有时需要研究当一个变量固定不变时，函数关于另一个变量的变化率，此时的二元函数实际上可转化为一元函数.因此，可利用一元函数的导数概念，得到二元函数z=f(x,y)对某一个变量的变化率，即偏导数.本节我们将重点讨论二元函数偏导数的概念、求法及其在求极值方面的应用.一、偏导数的概念定义5设有二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地，函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)

Δxz=f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)，如果极限(8-2)

存在，那么，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,记作一、偏导数的概念类似地，当x固定在x0，而y在y0处有增量Δy时，相应地，函数z=f(x,y)对y的偏增量Δyz=f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)，如果极限存在，那么，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数,记作一、偏导数的概念如果函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么，这个偏导数仍是x,y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作以后在不至于混淆的情况下，偏导函数也称为偏导数.偏导数的概念可以推广到二元以上的函数，不再一一赘述.读者可以类似地给出三元函数u=f(x,y,z)的偏导数

的定义.二、偏导数的求法及其几何意义偏导数的求法1.由偏导数的定义可以看出，多元函数对某一个变量求偏导，实质上就是将其余自变量看作常数，而对该变量求导数.所以，求多元函数的偏导数不需要建立新的运算方法，只要把其余自变量看作常数，而对该变量按一元函数的求导法则和求导公式去求导即可.二、偏导数的求法及其几何意义【例7】本例表明,在多元函数中，函数在一点连续已不再是函数在该点偏导数存在的必要条件，这是多元函数与一元函数的不同点之一.注二、偏导数的求法及其几何意义【例9】二、偏导数的求法及其几何意义偏导数的几何意义2.由一元函数y=f(x)的导数的几何意义可知，f′(x0)等于曲线y=f(x)在(x0,y0)处的切线斜率.而二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数f′x(x0,y0)，实际上是二、偏导数的求法及其几何意义图8-9三、高阶偏导数定义6设函数

一般来说它们仍然是x,y的函数，如果这两个偏导函数对x,y的偏导数也存在，则称它们(一阶偏导数)的偏导数是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.根据对自变量x,y的不同求导次序，得到如下四个二阶偏导数：

三、高阶偏导数其中f″xy

(x,y)及f″yx

(x,y)称为二阶混合偏导数.类似地，可以定义多元函数更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而f′x(x,y),f′y(x,y)称为函数f(x,y)的一阶偏导数.由于高阶偏导数的求导过程比较烦琐，本书只介绍二阶偏导数.(8-4)三、高阶偏导数类似地，可以定义多元函数更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而f′x(x,y),f′y(x,y)称为函数f(x,y)的一阶偏导数.由于高阶偏导数的求导过程比较烦琐，本书只介绍二阶偏导数.三、高阶偏导数【例10】三、高阶偏导数定理1

如果函数z=f(x,y)在区域D上的两个二阶混合偏导数f″xy(x,y),f″yx(x,y)连续，则在区域D上有

f″xy(x,y)=f″yx(x,y).三、高阶偏导数定理1说明，当二阶混合偏导数在区域D上连续时，求导结果与求导次序无关.注三、高阶偏导数【例11】三、高阶偏导数【例12】四、复合函数与隐函数的求导法则多元复合函数的求导法则1.

在一元函数中，我们介绍了一元复合函数的求导法则.对于多元函数来说，也存在着多元复合函数求偏导的问题.下面我们从一种特殊情况开始讨论.四、复合函数与隐函数的求导法则1）多元复合函数的全导数定理2四、复合函数与隐函数的求导法则【例13】如果把u=sin2x,v=x2－1代入z=uv中，再用一元函数的求导方法解题，将得到同样答案.注四、复合函数与隐函数的求导法则应用上述公式时，可通过图8-10所表示函数的复合关系和求导的运算途径来进行.在图8-10中，一方面，从z引出的两个箭头指向u,v，表示z是u,v的函数；同理，u,v又同是x的函数.另一方面，从z到x的途径有两条，表示z对x的导数包括两项；每条途径有两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，其中每个箭头表示一个变量对某变量的偏导数，如z→u，u→x分别表示

对一元函数取导数符号，对多元函数取偏导数符号.图8-10四、复合函数与隐函数的求导法则2）多元复合函数的偏导数定理3设函数z=f(u,v)关于u,v具有一阶连续的偏导数，而u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)关于x，y的一阶偏导数都存在，则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］对于x，y的偏导数存在，且(8-6)此公式可直接由定理2的结论推出.事实上，在求zx时，将y看作常量，因此中间变量u和v仍可看作一元函数而应用定理2.但是，由于复合函数z和中间变量u，v都是x，y的函数，只是把y看作常数，因此定理2中的导数符号应改为偏导数符号，这就得到定理3的结论.四、复合函数与隐函数的求导法则复合函数的结构如图8-11所示，此图表示z是关于u,v的二元函数,而u,v又是分别关于x,y的二元函数，由z对x求偏导，必须分别经由u和v两条线路进行.图8-11四、复合函数与隐函数的求导法则【例14】四、复合函数与隐函数的求导法则【例15】四、复合函数与隐函数的求导法则这里f′u和f′v分别表示z=f(u,v)关于第一自变量u和第二自变量v的偏导数.通常，可以用f′1和f′2表示，从而

在介绍复合函数求偏导数时，有时中间变量u,v并不一定都是关于x,y的二元函数，此时，复合函数的偏导公式稍有变化.四、复合函数与隐函数的求导法则下面我们介绍两种特殊情况：(1)设z=f(u,v)，而u,v依赖于一个变量x，即u=u(x),v=v(x)(复合结构图如图8-12所示)，有

图8-12四、复合函数与隐函数的求导法则【例16】四、复合函数与隐函数的求导法则(2)设z=f(u,v)，其中u=u(x,y),v=v(x)，由复合结构图8-13，有图8-13四、复合函数与隐函数的求导法则同理，若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(y)，由复合结构图8-14，有图8-14四、复合函数与隐函数的求导法则【例17】四、复合函数与隐函数的求导法则注四、复合函数与隐函数的求导法则复合结构图如图8-15所示.图8-15四、复合函数与隐函数的求导法则【例18】四、复合函数与隐函数的求导法则隐函数的求导公式2.设三元方程F(x,y,z)=0确定了二元隐函数z=z(x,y)，若F′x,F′y,F′z连续，且F′z≠0，则可仿照一元隐函数的求导公式的推导过程，得出z对x，y的两个偏导数的求导公式.将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式

F［x,y,z(x,y)］≡0，两端分别对x，y求偏导，得

因为F′z≠0，解方程得

(8-7)

这就是二元隐函数的求导公式.四、复合函数与隐函数的求导法则【例19】四、复合函数与隐函数的求导法则【例20】四、复合函数与隐函数的求导法则在求二阶偏导数时，z仍然看作是x,y的函数.注四、复合函数与隐函数的求导法则【例22】四、复合函数与隐函数的求导法则求抽象复合函数的二阶偏导数时，要特别注意关于中间变量的一阶偏导数与原来的函数具有相同的复合结构，即f′1和f′2仍为中间变量的函数.因此，当它们继续对自变量x(或y)求偏导时，必须再次运用复合函数的求导法则.注五、二元函数的极值及其求法我们在第三章运用一元函数的导数知识讨论了一元函数的极值求法，类似地，我们也可以用多元函数的偏导数来研究多元函数的极值.下面我们主要研究二元函数的极值及其求法，对其他多元函数只讨论其最大值和最小值及其应用.五、二元函数的极值及其求法二元函数的极值1.定义7设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)都有f(x,y)<f(x0,y0)或［f(x,y)>f(x0,y0)］，则称f(x0,y0)为二元函数z=f(x,y)的极大值(或极小值).极大值和极小值统称为极值.使二元函数z=f(x,y)取得极大值(或极小值)的点(x0,y0)称为极大值点(或极小值点)，极大值点和极小值点统称为极值点.五、二元函数的极值及其求法函数z=2－x2－2y2在点(0,0)取得极大值z=2，点(0,0)是极大值点.函数z=x2+y2+1在点(0,0)取得极小值1，点(0,0)是极小值点.而函数z=xy－1既无极大值，也无极小值.在一般情况下，极值不容易看出，因此必须给出判定极值的方法.与一元函数类似，二元函数的极值点也与驻点有关.【例23】五、二元函数的极值及其求法定义8使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同时成立的点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的驻点.五、二元函数的极值及其求法定理4(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的偏导数f′x(x0,y0),f′y(x0,y0)存在，且在点P0处有极值，则在点P0处的偏导数必为零，即

(8-8)证不妨设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处取得极大值.由极大值的概念，在点P0(x0,y0)的某邻域内不等于P0(x0,y0)的点P(x,y)都满足不等式

f(x,y)<f(x0,y0)

,

五、二元函数的极值及其求法特别地，在该邻域内取y=y0，而x≠x0的点，也适合不等式

f(x,y0)<f(x0,y0),

这表明一元函数z=f(x,y0)在x=x0处取得极大值，因而必有

f′x(x0,y0)=0.类似地，可证明f′y(x0,y0)=0.同理，可以证明对二元以上的多元函数此结论也成立.同时满足式(8-8)的点(x0,y0)称为二元函数z=f(x,y)的驻点.与一元函数类似，驻点不一定是极值点.那么，在什么条件下，驻点是极值点呢？五、二元函数的极值及其求法定理5(极值存在的充分条件)设P0(x0,y0)是二元函数z=f(x,y)的驻点，且二元函数在点P0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续的偏导数，令

A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),Δ=B2－AC，则二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：(1)当Δ<0且A<0时，f(x0,y0)是极大值，当Δ<0且A>0时，f(x0,y0)是极小值.(2)当Δ>0时，f(x0,y0)不是极值.(3)当Δ=0时，函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值.证明过程用到二元函数的泰勒公式，本书从略.五、二元函数的极值及其求法综上所述，若函数z=f(x,y)的二阶偏导数连续，我们就可以按照下列步骤求该函数的极值：①先求偏导数f′x，f′y，f″xx，f″xy，f″yy；②解方程组f′x(x,y)=0f′y(x,y)=0，求出驻点；③求出驻点处A,B,C的值及Δ=B2－AC的符号，据此判定出极值点，并求出极值.五、二元函数的极值及其求法【例24】在点(0,0)处，A=0，B=3，C=0，B2－AC=9>0，点(0,0)不是极值点.在点(1,1)处，A=－6，B=3，C=－6，B2－AC=－27<0，且A<0，所以点(1,1)是极大值点.与一元函数类似，具有一阶及二阶连续偏导数的二元函数的极值点一定是驻点，否则，极值点不一定是驻点.五、二元函数的极值及其求法【例25】五、二元函数的极值及其求法最大值与最小值2.我们知道，有界闭区域D上的连续函数一定有最大值和最小值.如果使函数取得最大值或最小值的点在区域D的内部，则这个点必然是驻点，或者是一阶偏导数中至少有一个不存在的点.然而，函数的最大值和最小值也可能在该区域的边界上取得.因此，求有界闭区域D上二元函数的最大值和最小值时，首先要求出函数在D内的驻点、一阶偏导数不存在点处的函数值及该函数在D的边界上的最大值、最小值，比较这些值，其中最大者，就是该函数在闭区域D上的最大值，最小者就是该函数在闭区域D上的最小值.五、二元函数的极值及其求法求二元函数在区域上的最大值和最小值往往比较复杂，因为边界上有无数多点，但是如果根据问题的实际意义，知道函数在该区域D内存在最大值(或最小值)，又知函数在D内具有一阶及二阶连续的偏导数，且只有唯一的驻点，则驻点处的函数值就是所求的最大值(或最小值).五、二元函数的极值及其求法【例26】五、二元函数的极值及其求法条件极值3.在许多实际问题中，求多元函数的极值时，其自变量常常受一些条件的限制，如例25中，求函数V=xyz的最大值，自变量x，y，z要受条件3xy+2z(x+y)=36的约束，这类问题称为条件极值问题.而对自变量仅仅限制在定义域内，此外没有其他约束条件的极值问题，称为无条件极值问题.例24就是无条件极值问题.五、二元函数的极值及其求法当约束条件比较简单时，条件极值问题可化为无条件极值问题来处理.例如，例25就是从约束条件3xy+2z(x+y)=36中，解出

，再代入函数V(x,y,z)中，便化为二元函数V=V(x,y)的无条件极值问题.但是，一般的条件极值问题是不易化为无条件极值问题的，为此，我们介绍一种解决一般条件极值问题的方法——拉格朗日乘数法.五、二元函数的极值及其求法设二元函数z=f(x,y)和φ(x,y)=0在所考虑的区域内连续且有连续的一阶偏导数，且φ′x(x,y)，φ′y(x,y)不同时为0，方程φ(x,y)=0确定一个单值且有连续导数的函数y=ψ(x).下面寻找函数z=f(x,y)取得极值的必要条件.设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且满足

φ(x0,y0)=0

和条件φ′