矩阵的运算教学课件

矩阵的运算矩阵的运算矩阵的基本运算一、

涉及运算，首先应该明确的就是相等的概念，没有相等就无法定义运算.下面首先给出两个矩阵相等的定义.定义2-2设两个矩阵分别为A=(aij)m1×n1，B=(bij)

m2×n2，则只有当m1=m2=m，n1=n2=n且aij=bij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）时，称矩阵A与B相等，简记为A=B.即对于两个矩阵，只有当它们的行数和列数均相同（形状相同），且对应位置的元素也均相等时，才称这两个矩阵相等.引入矩阵相等这个记号以后，用一个矩阵等式就可以表达很多的数量等式，即A=(aij)m1×n1=B=(bij)m2×n2意味着m1=m2，n1=n2且aij=bij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）下面给出矩阵的一些基本运算：矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵的乘法.这些运算可以认为是矩阵之间的最基本的关系.提示矩阵的加法1.定义2-3则矩阵A与B的和，简记为A+B，规定为只有形状相同（具有相同的行数和列数）的两个矩阵才能够相加，并且两个矩阵相加就是矩阵的对应位置的元素相加，这就是说矩阵的加法归结为其元素的加法（数的加法）.由于数的加法满足结合律和交换律，因此，根据上面提示，矩阵也满足如下运算规律：(1)结合律：(A+B)+C=A+(B+C).(2)交换律：A+B=B+A.(3)A+O=O+A=A.提示其中A,B,C均为m×n矩阵，O为m×n零矩阵.由结合律和交换律，对于多个形状相同的矩阵相加，我们可以任意调换矩阵的前后顺序，也可以任意添加或去掉括号.因此，s个m×n矩阵A1,A2,…,As的和就可以简记为A1+A2+…+As.特别地，三个m×n矩阵A,B,C相加，就可以记为A+B+C.定义2-4由此，可以定义矩阵的减法，规定A－B=A+(－B)

其中A,B均为m×n矩阵.也就是说，只有两个形状相同的矩阵才能够相减，并且两个矩阵相减就是矩阵的对应位置的元素相减.显然A－A=A+(－A)=O，－(－A)=A，A－O=A，O－A=－A.数与矩阵的乘法2.定义2-5设矩阵则数k与矩阵A的乘积，简记成kA或Ak，规定为有时，也将数与矩阵的乘积简称为矩阵的数乘.数k与矩阵A的乘积得到的是一个和A形状相同的矩阵，这个矩阵是把矩阵A的每一个元素都乘以数k.数与矩阵的乘积满足如下运算规律：(1)分配律：(k+l)A=kA+lA，k(A+B)=kA+kB.(2)结合律：(kl)A=k(lA).其中A,B均为m×n矩阵，k,l为常数.提示有了数与矩阵相乘的定义以后，我们就可以把标量矩阵写成diag

(δ,δ,…,δ)=δE的形式，其中E是单位矩阵，这就说明标量矩阵就是某个数与单位矩阵相乘得到的矩阵.另外，矩阵A的负矩阵-A即为数－1与矩阵A的乘积－1A.通常将矩阵的加法和矩阵的数乘这两种运算统称为矩阵的线性运算.矩阵的乘法3.下面先看一个例子——这是引入矩阵乘法的一个问题.设x1,x2；y1,y2,y3及z1,z2,z

3是三组变量，且x1,x2与y1,y2,y3之间有如下关系【例2-4】（2-6）而y1,y2,y3与z1,z2,z3之间有下面的关系将式（2-7）代入式（2-6），很容易得到x1,x2与z1,z2,z3的关系（2-7）（2-8）定义2-6设A=(aij)是一个m×n矩阵，B=(bij)是一个n×p矩阵，即（1）矩阵A与矩阵B的乘积C的第i行第j列（i=1,2,…,m；j=1,2,…,p）元素cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和.（2）不是任意两个矩阵都能相乘.只有当第一个矩阵A的列数等于第二个矩阵B的行数时，两个矩阵才能够相乘.且当两个矩阵A与B能够相乘时，得到的乘积矩阵AB的行数等于第一个矩阵A的行数，列数等于第二个矩阵B的列数，即Am×nBn×p=Cm×p.提示【例2-5】解由于矩阵A的列数等于矩阵B的行数，因此乘积AB是有意义的，且AB是一个3行2列的矩阵.设乘积AB=C=(cij)，则cij的值就可以通过式（2-12）进行计算.于是【例2-7】通过这几个例题，我们发现：矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA.这是因为，只有当第一个矩阵A的列数等于第二个矩阵B的行数时，矩阵A与B的乘积才有意义；而且，当AB有意义时，BA不一定有意义（见【例2-5】）；当AB与BA都有意义时，AB与BA未必是形状相同的矩阵（见【例2-6】）；即使AB与BA都有意义且形状也相同时，AB与BA也不一定相等（见【例2-7】）.另外，我们还发现：两个不为零的矩阵相乘可以是零矩阵（见【例2-7】），也就是由AB=

O不能推出A=O或B=O.这是我们在数的乘法中不曾碰见过的，是矩阵乘法的一个特点.由此得到，消去律在矩阵乘法中不成立，即由AB=AC不一定能够得到B=C.虽然，我们原来所熟知的关于数的运算规律（乘法的交换律、消去律）在矩阵中已经不再成立，但是矩阵的乘法满足如下的规律：(1)乘法结合律(AB)C=A(BC)（2-13）(2)乘法与加法的分配律A(B+C)=AB+AC（2-14）(B+C)A=BA+CA（2-15）(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)（k是一个常数）.（2-16）其中涉及的矩阵乘法和加法均假定是有意义的.证（1）设A=(aij)

m×n，B=(bij)n×p，C=(cij)p×q，那么矩阵AB是m×p矩阵，BC是n×q矩阵.从而(AB)C和A(BC)均为m×q矩阵.下面证明这两个矩阵对应位置的元素是相等的.（2）和（3）的证明留给读者.设A=(aij)

m×n是任意一个m×n矩阵，则有AEn=A，EmA=AAOn=Om×n，OmA=Om×n下面只给出前两个等式的证明，后两个等式是显然的.事实上，AEn和EmA均为m×n矩阵，我们只需验证它们第i行第j列的元素也为aij就可以了.设B=(bij)n×n=En，即于是AEn=AB的第i行第j列（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）的元素为因此AEn=A.同理，EmA=A.上面的讨论说明，任何一个矩阵与单位矩阵E相乘都等于其本身，任何一个矩阵与零矩阵O相乘都是零矩阵.也就是说，在矩阵乘法中单位矩阵和零矩阵起到数的乘法中1和0的作用，这也是我们称这个矩阵为单位矩阵和零矩阵的原因.仿照数的方幂，也可以定义矩阵的方幂.由于矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，因此只能对行数与列数相等的方阵来定义.设A是任意一个n阶方阵，规定即Ar就是r个A相乘.由矩阵乘法的结合律，对于任意的正整数r,s，有ArAs=Ar+s，(Ar)s=Ars（2-17）给出了矩阵乘法的概念以后，就可以将线性方程组表示成矩阵形式.由矩阵的乘法，式（2-18）中的第i个方程称为方程组（2-18）的增广矩阵，记为.矩阵的转置二、定义2-7将一个m×n矩阵的行与列互换（行变成列，列变成行）得到一个n×m矩阵称之为矩阵A的转置矩阵，记为AT.如果简记A=(aij)m×n，AT=(aTij)n×m，那么aTij=aji，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

事实上，A的转置矩阵AT的第i行第j列（i=1,2,…,n;j=1,2,…,m）的元素即为矩阵A的第j行第i列元素aji.引入了转置的符号以后，我们就能够理解：为什么用希腊字母α,β,…表示列矩阵（向量），而用符号αT,βT,…表示行矩阵（向量）.这是因为列矩阵（向量）的转置矩阵恰好是行矩阵（向量）.矩阵的转置满足如下的规律：(1)(AT)T=A.(2)(A+B)

T=AT+BT.(3)(kA)

T=kAT（k是一个常数）.(4)(AB)T=BTAT.证明(1）将一个矩阵行列互换两次，就还原成了最初的矩阵.（2）和（3）都是显然的.下面证明(4）.设则AB是m×p矩阵，其转置(AB)T是p×m矩阵.又因为AT是n×m矩阵，BT是p×n矩阵，即BT的列数与AT的行数是相等的，所以BTAT是有意义的，且是一个p×m矩阵.由矩阵转置的定义知，矩阵(AB)T的第i行第j列（i=1,2,…,p;

j=

1,2,…,m）的元素是AB的第j行第i列元素，即为

.如果将A和B的转置分别记为AT=(aTij)

n×m，BT=(bTij)

p×n

则有aTij=aji，i=1,2,…,n;j=1,2,…,mbTij=bji，i=1,2,…,p;j=1,2,…,n

于是BTAT的第i行第j列（i=1,2,…,p;j=1,2,…,m）的元素为BT的第i行与AT的第j列对应元素相乘之和，即为因此(AB)

T和BTAT对应位置的元素相等.从而(AB)

T=BTAT.也可以将规律（4）推广到多个矩阵乘积的情形，即(A1A2…As)T=ATs…AT2AT1

这个公式只需要借助归纳法，并利用矩阵的结合律，很容易就可以得到.下面介绍与矩阵的转置相关的两类重要的矩阵.定义2-8设是一个n阶方阵.如果AT=A，即aij=aji，i,j=1,2,…,n

则称A为对称矩阵；如果AT=－A，即aij=－aji，i,j=1,2,…,n

则称A为反对称矩阵.对称矩阵的元素以矩阵的主对角线为对称轴对应相等；反对称矩阵的元素以矩阵的主对角线为对称轴对应互为相反数.值得注意的是，反对称矩阵的主对角线元素全为0.提示证明：任意一个n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.证明设A是一个n阶方阵.显然【例2-8】设A与B均为对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性：设AB=BA.由于AT=A，BT=B，则有(AB)T=BTAT=BA=AB

由对称矩阵的定义知，AB是对称矩阵.必要性：设AB是对称矩阵，即(AB)T=AB.又因为(AB)T=BTAT=BA.因此，AB=BA.【例2-9】方阵的行列式三、定义1-1设将由A的元素按照矩阵的位置关系所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记为|A|或detA.虽然n阶方阵和n阶行列式均为n2个数的一个表达，但是我们必须注意它们的区别.这是两个不同的概念，n阶行列式是n2个数按照一定的运算法则所确定的数，而n阶方阵是这n2个数按照一定的方式排成的矩形数阵.提示方阵的行列式满足如下的运算规律：(1)|AT|=|A|.(2)|kA|=kn|A|.(3)|AB|=|A||B|.其中A,B均为n阶方阵，k是一个常数.证明(1）和(2）的证明比较简单，留给读者.下面证明(3）.设构造2n阶行列式可知D=|A‖B|.对于2n阶行列式D，将第n+1行乘以a11加到第1行，将第n+2行乘以a12加到第1行，…，将第2n行