重积分的应用

重积分的应用重积分的应用由前面的讨论可知，平面图形的面积、曲顶柱体的体积可用二重积分计算，空间物体的质量可用三重积分计算.本节中我们将把定积分应用中的微元法推广到重积分的应用中，利用重积分的微元法来讨论重积分在几何、物理上的一些应用.一、在几何上的应用求平面图形的面积1.根据二重积分的性质可知，平面图形的面积一、在几何上的应用求闭曲线

(x2+y2)3=4(x4+y4)所围图形的面积.解该曲线的图形如图9-38所示.在极坐标系下曲线的方程为

r2=4(cos4θ+sin4θ).【例32】图9-38一、在几何上的应用一、在几何上的应用求立体图形的体积2.由重积分的几何意义可知，曲顶柱体的体积对于一般空间立体的体积用三重积分来求更为直观一些.如图9-39所示，由三重积分的知识可知空间区域Ω的体积(9-14)(9-15)一、在几何上的应用图9-39一、在几何上的应用求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a>0)所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积，如图9-40所示.【例33】图9-40一、在几何上的应用一、在几何上的应用求曲面面积3.设曲面S由方程z=f(x,y)给出，Dxy为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f(x,y)在Dxy上具有连续的一阶偏导数f′x(x,y)和f′y(x,y).我们要计算曲面S的面积A.在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域dσ(这小闭区域的面积也记作dσ).在dσ上取一点P(x,y)对应曲面S上有一点M(x,y,f(x,y))，点M在xOy面上的投影为点P.点M处曲面S的切平面设为T(见图9-41).图9-41一、在几何上的应用设曲面的方程为x=g(y,z)或y=h(z,x)，可分别把曲面投影到yOz面上(投影区域记作Dyz)或zOx面上(投影区域记作Dzx)，类似地可得二、在物理上的应用

重积分在物理上的应用是很广泛的，这里主要介绍求物体的质量、质心和转动惯量.二、在物理上的应用物体的质量1.设有一平面薄板占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)，这里ρ(x,y)>0且在D上连续，则平面薄板的质量上述公式可以推广到空间物体的质量其中ρ(x,y,z)为物体在点(x,y,z)处的密度，Ω为物体占有的空间.二、在物理上的应用例36设平面薄板所占的闭区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成的，它的面密度ρ(x,y)=x2+y2，求该薄板的质量.解如图9-43所示【例36】图9-43二、在物理上的应用二、在物理上的应用物体的质心2.设平面上有n个质点组成的质点系，其位置分别为(xi,yi)(i=1,2,…,n)，质量分别为m1,m2,…,mn，由力学知识可知，该质点系的质心坐标为二、在物理上的应用设有一平面薄板，占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)，假定ρ(x,y)在D上连续，现在要找该薄板的质心.由于ρ(x,y)在D上连续，把薄板分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Δσi直径很小，在Δσi上任取一点(ξi,ηi)，则ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n)

可以近似看作第i小块的质量.若把每一小块看作质量集中在点(ξi,ηi)的质点时，整个薄板就可看成是n个质点的质点系，因此，由二重积分的定义知，薄板的质心坐标为二、在物理上的应用如果薄板是均匀的，即面密度为常数，则质心坐标为其中ΔD=Ddσ为闭区域D的面积.同理可得到空间非均匀物体Ω的质心坐标(,,)的计算公式为其中ρ(x,y,z)为物体在点(x,y,z)处的密度，ρ为连续函数.二、在物理上的应用设半径为R的半圆形平面薄板D，各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求它的质心坐标.解取坐标系如图9-44所示.由题意，薄板面密度为ρ(x,y)=x2+y2，由于薄板关于y轴对称，故【例37】图9-44二、在物理上的应用二、在物理上的应用转动惯量3.先讨论平面薄板的转动惯量.设xOy平面上有n个质点，它们分别位于(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)处，质量分别为m1,m2,…,mn，由力学知识知道，该质点系对于x轴与y轴的转动惯量分别为设有一平面薄板，占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)，假定ρ(x,y)在D上连续，现在求该薄板对于x轴与y轴的转动惯量Ix和Iy.二、在物理上的应用由于ρ(x,y)在D上连续，把薄板分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Δσi直径很小，在Δσi上任取一点(xi,yi)，则

ρ(xi,yi)Δσi(i=1,2,…,n)

可以看作第i小块质量，若把每一小块看作质量集中在点(xi,yi)的质点时，整个薄板就可看成是n个质点的质点系，所以，由二重积分的定义知，平面薄板对于x轴与y轴的转动惯量分别为二、在物理上的应用【例38】半径为R的均匀半圆形薄板，面密度为常数ρ，求其对于直径的转动惯量.解如图9-44所示，区域D可表示为

D={(r,θ