《大学数学》习题及答案

大学数学习题微积分的基础和研究对象§1微积分的基础——集合、实数和极限一．论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。二．叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。二．叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。§2微积分的研究对象——函数一．填空题1．函数的定义域.2．设函数f(x)=则函数f[f(x)]=.3．函数y=的反函数为.4．设是奇函数,且(x)=.(),则(x)是___________函数.5．函数f(x)=sinxsin3x的周期T=.二．求下列函数定义域 1．y=4+. 2．y=+.三．设,求.四．设函数

f(x)=,g(x)=lnx，求f[g(x)],g[f(x)].五．已知f(sin)=cosx+1,求f(cos).六．证明题：设f(x)为定义在(-L,L)内的奇函数，若f(x)在(0,L)内单调增加，证明f(x)在(-L,0)内也单调增加.微积分的直接基础——极限§1数列的极限判断题1．数列中去掉或增加有限项，不影响数列的极限；（）2．数列极限存在，则与极限均存在；（）3．若，存在无限多个满足，则有.（）二．填空题 1．数列有界是数列收敛的条件； 2．； 3．；4．.三．用极限定义证明 1．. 2．. 3．.四．证明：若，则有，并举例说明其逆命题不成立.五．证明数列极限不存在.§2函数的极限一．填空题1．设函数，则＝，＝.2．.3．设，则，，当时，.二．判断题1.若，，则有不存在；（）2.；（）若，，且，则；（）；（）5.若存在，且则.（） 6．；（） 7．；（）8．当时，与是等价无穷小量，则；（） 9．无穷小量的代数和还是无穷小量；（） 10．当时，无穷小量是关于的4阶无穷小量；（） 11．因为时～～，所以有.（）三．利用定义证明下列函数的极限 1．；2．。四．利用极限四则运算求下列极限1．.2．.3．.4．.5．.五．1．讨论时，的极限.2．讨论函数在处的极限.3．讨论极限是否存在.六．计算题 1．. 2．. 3．. 4．.5．. 6．. 7．.七．已知时，，求A与n.八．已知是多项式，并且，又，求.九．已知，试确定的值.§3连续函数一．填空题 1．若是(－∞,＋∞)上的连续函数,则a=_________. 2．若有无穷间断点x=0及可去间断点x=1,则a=____________.二．判断题 1．若在均不连续，则在也不连续；（） 2．若在均不连续，则在也不连续；（） 3．区间上的连续函数必有界；（） 4．若在点连续，则；（） 5．在内单调，则在内之多有一个零点.（）三．求下列极限 1．；2．； 3．；4．.四．设讨论在处的连续性.五．证明方程在区间内有一实根.六．设在上连续，且，证明：必存在使得.七．在连续，且存在，证明函数在有界.第二章复习题一．填空题1．的定义域是__________.2．设f(x)的定义域是[1,2],则的定义域是_____________.3．若当x→x0时,α(x)与r(x)是等价无穷小,β(x)是比α(x)高阶的无穷小,则当x→x0时,函数的极限是______________.4．要使函数是无穷大,则要求x趋向于值____________.5．若在x=0处连续,则要a=______________.二．单选题1．f(x)=x()在其定义域(－∞,＋∞)是(A)有界函数;(B)单调增函数;(C)偶函数;(D)奇函数.2．设.则此函数是(A)有界函数;(B)奇函数;(C)偶函数;(D)周期函数.3．函数时的极限值是(A)(B)(C)0,(D)不存在.4．设则x=0是f(x)的(A)可去间断点;(B)跳跃间断点;(C)无穷间断点;(D)振荡间断点.5．设则x=1是f(x)的(A)连续点;(B)跳跃间断点;(C)无穷间断点;(D)振荡间断点.三．求下列极限1．；2．；3．；4．；5．.五．证明：方程x2x=1至少有一个小于1的正根.六．设f(x)在[a,b]上连续，a<c<d<b.证明：对于任意正数p和q，至少有一点满足：.变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分§1函数的局部变化率——导数一．判断题1．；（）2．曲线在处有切线，则一定存在；（）3．若，则；（）4．函数在处的左右导数都存在是在点可导的充分必要条件;（）5．下面的计算对吗？设，因为当时，，而在处无意义，故在不可导.（）二．填空题1．设在处可导，则，，；2．若存在且，则；3.若为偶函数且存在，则＝；4.已知，则=；5.将一物体铅直上抛，经秒后上升的高度为,则该物体在秒时的瞬时速度为；6.曲线与横轴交点处的切线方程是与；7.设为可导函数，且满足条件，则曲线在处的切线斜率为；设，是过点（1，1）的曲线（n是正整数）的切线在x轴上的截距，则.三．用定义求函数（且）的导函数与它在处的导数.四．设在处连续，试讨论下列函数在处的可导性，并在可导时求出：1．；2.；3..五．讨论函数在处的连续性和可导性.六．已知，且，求.七．设函数,在处连续且可导，求的值.八．求曲线在点处的切线方程和法线方程.九．求垂直于直线且与曲线相切的直线方程.十．证明函数在点处连续，但不可导.十一.谈谈你对导数概念的理解.§2求导数的方法——法则与公式单项选择题在函数和的定义域内的一点处，下述说法正确的是（）若，均不可导，则也不可导；若可导，不可导，则必不可导；若，均不可导，则必有+不可导；若可导，不可导，则+必不可导.直线与轴平行且与曲线相切，则切点为（）A.;B.;C.;D..3.设在处不连续，则在处() 必不可导; 一定可导; 可能可导; 无极限.4.设，在处连续但是不可导，存在，则是在处可导的（）条件A.充要；B.必要非充分；C.充分非必要；D.非充分非必要.5.若在点处可导，则在点处（）A.可导;B.不可导;C.连续未必可导;D.不连续.6.函数的导函数（）. 7.函数，则（）. 8.已知，则函数在点的切线的斜率是（）. 9.已知，则（）. 10.设在内为奇函数且在内有，，则在内是（）.（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.11.已知，则（）.（A）；（B）；（C）；（D）.二．填空题1.已知，则；2.若，则；3.若，则；4.若，则；5.若，则；6.若，则；7.设函数由确定，则；8.，则；9.，则.三．求下列函数的导数：1.；2.；3.；4.（且）；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.（）；16.；17.，求；18.，求；19.，求；20.，求。四．已知,求其导函数.五．设为可导函数，求下列函数的导数：1．；2．；六．利用对数求导法求下列函数的导数：1．；2．.七．设且可导，求.八．设为可导函数，且，求和.九．设连续，且，求.十．设和可导，且，求函数的导数.十一．设由方程所确定，试求，.十二．设由方程所确定，二阶可导且，试求.十三．已知函数，在点处有二阶导数，试确定参数的值.十四．设函数满足条件：对任何，有（为已知常数），证明存在，并求其值.十五．证明：曲线上任一点处的切线与轴和轴构成的三角形面积为常数.§3局部该变量的估值问题——微分及其计算一．填空题1．设在处，则，；2．设在处可微，则；3．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）.二．单项选择题1.设是可微函数，是的可微函数，则（）.（A）（B）（C）（D）2.若可微，当时，在点处的是关于的（）.（A）高阶无穷（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小3.当充分小，时，函数的改变量与微分的关系是（）.（A）（B）（C）(D)4.可微，则（）.(A)与无关；(B)为的线性函数；(C)当时是的高阶无穷小；(D)当时是的等价无穷小.5.则（）. 6.设为初等函数，为其定义区间内任意一点，则下列命题正确的是().(A)在点处必定可导； (B)在点处必定可微；(C)在点处必定连续； (D)不能确定.7.当很小时,下列各式不正确的是(). 8.一正方体的棱长,如果棱长增加,则此正方体体积增加的近似值为(). 三．求下列函数的微分1．;2.;3.;4..四．计算和的近似值.

第三章复习题一．填空题1．设在处导数为，则；2．若在处可导且，则；3．设，则；4．函数在处的导数为；5．在抛物线上，与抛物线上横坐标和两点连线平行的切线方程为；6．若为可导的奇函数且，则；7．设，则=；8．在可导是在可微的条件；9．设，则；10．若曲线和在点处相切，则，.二．单项选择题1．设，则（）A．2；B．；C．；D．.2．已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，是（）A．；B．；C．；D．.3．设，则使存在的最高阶导数的n为（）A．0；B．1；C．2;D．3.三．计算下列各题：1．设，求；2．设，求；3．设，求；4．，求；5．，求；6．设，其中具有二阶导数，求；7．设，且二阶可导，求；8．已知，求；9．求；10．已知，求函数的微分.五．已知存在，求.六．用定义求，其中并讨论导函数的连续性.七．设，试确定的值，使在及都可导.十一．，求.十二．已知为奇函数，且存在，问是的何种类型的间断点？为什么？第四章导数的应用问题洛比达法则，函数的性质和图像§1联系局部与整体的纽带——中值定理一.填空题1．函数在区间上满足Lagrange中值定理中的。2．若函数，则方程有分别位于区间内的三个实根。3．若，则在区间上不满足Rolle定理的一个条件是。4．Rolle定理与Lagrange定理的关系是。选择题1.Rolle定理中的三个条件：在上连续，在内可导，且，是在内至少存在一点，使成立的条件。A.必要B.充分C.充要D.既非充分也非必要2.下列条件不能使函数在区间上应用Lagrange定理的是。A.在上连续，在内可导;B.在上可导;C.在上可导，且在点右连续，在点左连续;D.在内有连续的导数.证明下列不等式1.，其中.当时，.已知，且，求证.证明方程只有一个正根.§2求不定式极限的一般方法——洛必达法则一．利用洛比达法则求极限1.;2.;3.;4..二．求解下列各题1.设具有一阶连续导数，，求.2.设在处具有二阶导数，求证.

§3用导数研究函数的性质——单调性，极值和最大最小值一．填空题1.已知曲线方程为，则曲线在区间上单调增，在区间上单调减。2.若在上连续，在内可导，且时，，又，则在上，但的正负号。3.若，则，。4.若，则在处取得极值，其值为。5.的极大值点是，极大值为。6.方程有个实根。二．求下列函数的单调区间1.;2.;3.，其中.三．求下列函数的极值1.;2..四．证明下列不等式1.当时，有;2.当时，有;3.当时，有.五．设满足，求的极值。六．设在和处取得极值，试确定的值，并证明是极大值，是极小值。七．求下列函数的最大值与最小值1.;2.。八．试作一个上端开口的圆柱形容器，它的净容积是，壁厚为（都为常数），问容器内壁的半径为多少，才能使所用的材料最少？第四章复习题一．填空题1.已知函数有连续的二阶导数，且在点处有拐点，则。2.的极大值点是，极大值为。二．求下列极限1.;2..三．讨论函数的单调性。四．证明。第五章微积分的逆运算问题--不定积分§5.1原函数与不定积分一．填空题1.若均为的原函数，则.2.是连续函数，则，.3..4..5..6..二．计算下列各题.1.2.3.4.5.6.三．若曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且该曲线过点，求该曲线方程.§5.2矛盾转化法--换元积分法与分部积分法一、填空题1..2.（）.3..4..5..6..7..8..二、求下列不定积分:1.2..3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.三、已知的一个原函数是，求.第五章复习题一、填空题1.若的一个原函数为，则。2.若，则。3.若，则。4. 。5. 。6.若，则。7.。二、单项选择题1.下列等式成立的是（）．A．B．C．D．2.若，则（）.A.B.C.D.3.以下计算正确的是（）A．B．C．D．三、计算题1.2.3.4.5. 第六章求总量的问题--定积分及其应用§6.1特殊和式的极限--定积分的概念一、根据定积分的定义或几何意义计算下列积分：1.；2.3.；二、利用定积分的性质估计下列积分值的大小：1.；2..三、不计算积分，比较下列各组积分的大小1．；2．.§6.2计算定积分的一般方法—微积分基本定理一、设连续，求下列函数的导数：1）；2）；3）。二、填空题1)=..2)已知在上连续，且，且设，则.3)设，则.三、根据牛顿—莱布尼兹公式计算下列积分1）；2）；3）；4）；5）。四、设，求的值，使.五、用换元法求下列积分1);2);3);4).六、用分部积分法计算下列定积分1);2);3);4）5).6)§6.3定积分的拓展-非正常积分讨论下列反常积分的敛散性：1.2.§6.4定积分魅力的展示-在若干学科中的应用求下列所给图形的面积由曲线，轴以及直线所围成的图形；由曲线与轴所围成的图形;3)由曲线与直线所围成的图形；4）由曲线与直线所围成的图形;5)与直线所围成的图形；6)曲线和及两直线所围成的图形；7）与所围成的图形.二、已知与所围成面积为8，求值（设.求下列立体的体积1)绕轴旋转所得旋转体；2)曲线与直线围成一个平面图形，此平面图形绕轴旋转产生的旋转体。第六章复习题一、填空题1)；(连续).2).3)设连续，且，则.4）设连续，且，则.二、选择题1.定积分定义说明（）.（A）必须等分，是端点;（B）可任意分法，是端点;（C）可任意分法，，可在内任取;（D）必须等分，，可在内任取.2.积分中值定理其中（）.（A）是内任一点（B）是内必定存在的某一点（C）是内惟一的某点（D）是内中点3.在上连续是存在的（）.（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要4.函数在区间上的最小值为（）.（A）（B）（C）（D）05.设曲线与所围成图形的面积为S.则下列各式中，错误的是（）（A）（B）（C）（D）三、解答题1.设，计算.2.3.求由曲线及直线所围图形的面积4.过坐标原点作曲线的切线，求该切线与曲线及轴所围成图形的面积.5.求由曲线与直线所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。第七章偶然中蕴含必然的问题--概率统计初步§1研究偶然现象的基本元素—随机事件1.设Ω＝{1,2,…,10}，A＝{2,3,4}，B={3，4，5}，C＝{5，6，7}，具体写出下列各等式。（1）B（2）（3）（4）（5）2．设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）A发生，B、C不发生；（2）A、B都发生，而C不发生；（3）所有三个事件都发生；（4）三个事件都不发生；（5）三个事件中恰有一个发生；（6）三个事件中至少有一个发生；（7）三个事件中至少有两个发生；（8）不多于一个事件发生。3．抽查4件产品，设A表示“至少有一件次品”，B表示“次品不少于两件”，问：各表示什么事件？4．把事件写成互不相容事件和的形式。5.设，，。具体写出下列各事件：（1）；（2）；（3）（4）§2偶然中的必然—概率1．甲乙两炮同时向一架飞机射击，已知甲炮击中的概率为0.6，乙炮击中的概率为0.5，甲乙两炮都击中的概率为0.3，求飞机被击中的概率是什么？2．有三个班级，每班在一个星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以随机安排，求三个班在不同三天游泳的概率。3．10个零件中有3个次品，7个合格品，从中任取一个不放回，求第三次才取得合格品的概率是多少？4．将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。5．从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。6．把长为的棒任意折成3段,求此三段能构成一个三角形的概率。7.在矩形中任取一点,求使方程的解大于的概率.8．设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是_____（1）（2）（3）（4）9．设，。在下列三种情况下求的值：（1）；（2）；（3）10．设A、B为两个事件且P(A)=0.6，P(