福建省南平市建瓯东游镇第一中学2022年高三数学理期末试题含解析

福建省南平市建瓯东游镇第一中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：若,则,两直线垂直,故是充分条件；反之,若两直线垂直,则,即,解之得,故是不必要条件.故应选A.考点：充分必要条件的判定.2.设集合A={x|x＜0}，B={x|x2﹣x≥0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（﹣∞，0） C．[1，+∞） D．[0，1）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x＜0}，B={x|x2﹣x≥0}={x|x≤0或x≥1}，则A∩B={x|x＜0}=（﹣∞，0）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3.设，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A选项.

4.设，且，则

(

)A

B

10

C

20

D

100参考答案：A5.若变量x，y满足约束条件则的取值范围是（）A、(，7)

B、[，5]

C、[，7]

D、[，7]参考答案：D略6.以、为焦点的圆锥曲线上一点满足，则曲线的离心率等于A.或

B.或

C.或

D.或参考答案：A略7.已知R是实数集，集合，则A.(－∞,2]

B.[0,1]

C.(－∞,1]

D.[1,2]参考答案：B8.若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A9.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A．

B．C．

D．参考答案：A试题分析：设与直线垂直的直线为，即在某一点处的导数为4而在处的导数为4，故切线方程为，答案为A．考点：直线的斜率与导数的几何意义．10.已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是

A．若l∥m，mα，则l∥α

B．若l∥α，mα，则l∥m

C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α

D．若l⊥α，mα，则l⊥m

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知甲射手射中目标的频率为，乙射手射中目标的频率为，如果甲乙两射手的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为

.参考答案：12.设集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是

．参考答案：3考点：定积分；子集与真子集．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分公式，求出集合P，即可得到结论．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集为{2}，{3}，{2，3}．故答案为：3．点评：本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断，比较基础．13.已知双曲线的左准线与x轴的交点为点P，则点P到其中一条渐近线的距离为_____．参考答案：【分析】先求出左准线方程，从而得到的坐标，利用公式可计算它到渐近线的距离.【详解】，左准线方程为，所以，又渐近线方程为：，所以到渐近线的距离为，填.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，要求能从标准方程中得到，并计算出准线方程、渐近线方程等，此类问题是基础题.14.若f（x）=x3﹣3x+m有且只有一个零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】求出f（x）的极值，令极大值小于零或极小值大于零即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0得x=±1．当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=2+m，当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=﹣2+m．∵f（x）=x3﹣3x+m有且只有一个零点，∴2+m＜0或﹣2+m＞0，解得m＜﹣2或m＞2．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性与极值，函数的零点个数判断，属于中档题．15.抛物线的焦点坐标为

．

参考答案：略16.已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

．参考答案：2【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故答案为：2．17.若对任意实数(－∞，1]，都有成立，则实数a的值为

．参考答案：题目可以转化为：对任意实数(，1]，都有成立，令，则，当时，，故在(，1]单调递减，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则，解得与矛盾．当时，此时在(，)单调递减，在(，1)单调递增，此时，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则．接下来令，不等式可转化为，设，则，则在(，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t＝0时，有最小值为0，即，又我们要解的不等式是，故，此时，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）将函数的图像向左平移个得到偶函数的图像。（1）求解析式（2）求的最大值及单调增区间。参考答案：【知识点】平移变换；函数的奇偶性、单调性、最值.B1

B3

B4【答案解析】(1);(2)

最大值是3，增区间为解析：（1）的图像相左平移个单位，得到，即：

---2分由于是偶函数，则

----4分即又

---6分

-------8分（2），的最大值是3

----10分由得单调增区间为，知即

的增区间为-----14分【思路点拨】（1）由平移变换得：，由于是偶函数，则，即又；（2）利用余弦函数的值域及增区间，求的最大值及单调增区间。19.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）取AC中点O，连结AO，BO，摔倒导出BO⊥面A1ACC1，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）点P与A1重合时，连结AD，CD，A1D，推导出四边形A1B1CD是平行四边形，从而A1D∥B1C，由此得到DP∥平面AB1C．【解答】解：（1）取AC中点O，连结AO，BO，∵在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．∴BO⊥面A1ACC1，∴BO⊥AO，A1C=A1A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC，∴AO=BO==，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC?AO===3．（2）点P与A1重合时，DP∥平面AB1C．证明如下：连结AD，CD，A1D，∵四边形ABCD为平行四边形，∴A1B2ABCD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵B1C?平面AB1C，A1D?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，∴DP∥平面AB1C．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．20.（本小题满分13分）已知函数，函数．(I)试求f(x)的单调区间。(II)若f(x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，求证：当时，.参考答案：（Ⅰ）=，所以，,因为，，所以，令，，所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；………4分（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立即，因为，所以.

…………….7分（Ⅲ）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，=1++…+，当时，由（Ⅱ）知：=+在上为增函数，=-1，当时，，所以+，即所以;令，则有，当，有则,即,所以时,所以不等式成立.令且时，将所得各不等式相加，得即（且）．

……………13分21.（本小题共12分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中