2019届江苏专用高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.2直接证明与间接证明讲义理苏教版

§13.2直接证明与间接证明基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.直接证明(1)综合法①定义：从

出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.知识梳理已知条件③思维过程：由因导果.(2)分析法①定义：从

出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.③思维过程：执果索因.问题的结论2.间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).这个过程包括下面3个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(

)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(

)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(

)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(

)××××√√考点自测1.(2016·扬州质检)已知点An(n，an)为函数y＝

图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为_________.答案解析cn＋1<cn由条件得则cn随n的增大而减小，∴cn＋1<cn.2.(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列结论正确的是_____.①乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；②乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；③乙盒中红球不多于丙盒中红球；④乙盒中黑球与丙盒中红球一样多.答案解析②取两个球往盒子中放有4种情况：(1)红＋红，则乙盒中红球数加1；(2)黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；(3)红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；(4)黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以(1)和(2)的情况一样多.(3)和(4)的情况完全随机，(3)和(4)对②中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.(1)和(2)出现的次数是一样的，所以对②中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，②正确.3.要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明____(填正确的序号).①2ab－1－a2b2≤0；答案解析④a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案解析a≥0，b≥0且a≠b5.(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有

≤f( )，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为_____.答案解析∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π).题型分类深度剖析题型一综合法的应用例1

(2016·宿迁模拟)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.证明证明(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.思维升华跟踪训练1

对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；证明取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝

(x∈[0,1])是不是理想函数．解答对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)即f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，题型二分析法的应用证明所以cos

x1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，即证1＋cos

x1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即证cos(x1－x2)<1.证明由于x1，x2∈R时，(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．思维升华请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．解答只需证a(b＋m)>b(a＋m)，只需证am>bm，只需证a>b，由已知得a>b成立，题型三反证法的应用命题点1证明否定性命题(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；解答(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．证明∴假设不成立，即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．命题点2证明存在性问题例4若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．解答区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，因为b>1，所以b＝3.(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝

是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解答解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．命题点3证明唯一性命题例5已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.解答①当x＝0时，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有实数根0；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈(m，n)，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0)成立．试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根．证明假设方程f(x)－x＝0存在两个实数根α，β(α≠β)，则f(α)－α＝0，f(β)－β＝0.不妨设α<β，根据题意存在c∈(α，β)，满足f(β)－f(α)＝(β－α)f′(c)．因为f(α)＝α，f(β)＝β，且α≠β，所以f′(c)＝1.与已知0<f′(x)<1矛盾．又f(x)－x＝0有实数根，所以方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根．应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知其实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．思维升华跟踪训练3已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：

是函数f(x)的一个零点；证明∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，(2)试用反证法证明>c.证明典例

(14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：

＋y2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．反证法在证明题中的应用思想与方法系列25思想方法指导规范解答在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．返回(1)解

因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分．由于O(0,0)，B(0,1)，(2)证明

假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. [7分]设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

[14分]

返回课时作业1.(2017·泰州月考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是_________________________．答案解析因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．方程x2＋ax＋b＝0没有实根123456789101112132.(2016·江苏质量监测)对累乘运算Π有如下定义： =a1×a2×…×an，则下列命题中的真命题是______．答案解析④1234567891011121312345678910111213答案解析①都大于2 ②至少有一个大于2③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2当且仅当x＝y＝z时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，③正确．③12345678910111213答案解析∴P2<Q2，∴P<Q.P<Q123456789101112135.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是____.答案解析③12345678910111213但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.12345678910111213答案解析A≤B≤C123456789101112137.(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______.1和3答案解析12345678910111213由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.123456789101112138.若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少答案解析存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是_________.若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，12345678910111213证明12345678910111213所以要证的不等式成立.1234567891011121310.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋)为偶函数.证明由函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x＋1)＝f(－x).1234567891011121311.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝ax＋ (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；证明12345678910111213任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0.∵a>1，∴ 且>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，12345678910111213故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.12345678910111213(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根.证明假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，∵a>1，∴0<<1，故方程f(x)＝0没有负数根.1234567891011121312.(2015·陕西)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2.证明12345678910111213Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，则Fn(1)＝n－1＞0，又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0(x＞0)，12345678910111213因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，12345678910111213(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明.解答12345678910111213设h(x)＝fn(x)－gn(x)当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；12345678910111213所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)，综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)＜gn(x).12345678910111213方法二由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)，当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)，所以f2(x)＜g2(x)成立，②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)，那么，当n＝k＋1时，12345678910111213fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，则h′k(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1(x－1)，所以当0＜x＜1时，h′k(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；12345678910111213当x＞1时，h′k(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增，所以hk(x)＞hk(1)＝0，故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立，由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(