17-第一章习题课(概率统计简明版)

第一章随机事件及其概率习题课一从客观存在的两类现象——确定性现象和随机现象——出发,考察随机试验及其随机试验的三个特点.将随机试验出现的每一个可能结果定义为样本点,所有的样本点组成样本空间,样本空间的子集定义为随机事件,从而将集合论的基本理论引入概率论中.内容简介:对于随机事件,首先,研究了事件之间的各种关系,提出了和事件、积事件、差事件、对立事件、互不相容事件、完备事件组等概念.其次,定义了在每一次试验中事件发生的可能性大小的数量指标——概率.第三,分析了两个事件发生的先后影响关系——条件概率问题.第四,分析了两个事件或多个事件的横向影响关系,建立了事件的独立性理论.本章重点:1.随机事件的概念及其有关运算;2.概率的定义及其计算;3.乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及应用;4.条件概率的问题及有关运算;5.事件的独立性.

1.用集合表示样本空间和事件;

2.乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及其应用;本章难点：3.随机事件的独立性.1.全概率公式P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)=.

特别地,

设试验E的样本空间为S,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对E的任一事件A,有

(1)全概率公式是计算概率的一个很重要的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因(或情形).如若A是{次品},则必是n个车间生产了次品;若A是{某人患某种疾病},则必是几种病因导致了A发生;若A表示{飞机被击中},则必有几种方式或几个人击中飞机.讲评(3)如何用全概率公式:将“几种情形”构成完备事件组，或将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组.(2)何时用全概率公式:所论结果的发生是由几种情形导致的，或所论问题一般出现先后两次试验.2.逆概率公式(贝叶斯公式)设试验E的样本空间为S，A为E的事件,B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分,且P(A)>0,

P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则P(Bi|A)==（i=1,2,…,n).特别地，

(1)贝叶斯公式可以这样记忆:分母为全概率公式,是n项之和；分子是分母中的某一项(2)如何用贝叶斯公式：参见全概率公式.讲评3.随机事件的独立性设A,B是两个事件,若满足等式P(AB)=P(A)P(B),

则称事件A与B是相互独立的,简称A,B独立.则称这n个事件相互独立.设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件,如果对于任意的k(2≤k≤n)个事件,都有推广设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件,如果对于任意的两个事件,都有则称这n个事件两两独立.讲评两两独立.(2)A1,A2,…,An相互独立A1,A2,…,AnA1,A2,…,An两两相互独立A1,A2,…,An

相互独立.,与B

四对事件或者都独立,或者都不独立.(1)若四对事件A与B,A与与

中有一对独立,则另外三对也独立,即这

(3)不要把两个事件的独立性与互不相容混为一谈.独立与互斥之间没有必然的互推关系.但有结论:若A与B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.用定义即可得证.特别地,三个随机事件A1,A2,A3相互独立与两两独立是不同的两个概念.

(4)若n(n≥2)个事件A1,A2,…,An相互独立,则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的n个事件仍相互独立.

例1有两个盒子,第一盒中装有2个红球1个黑球,第二盒中装有2个红球2个黑球.现从这两盒中任取一球放在一起,在从中任取一球.

(1)求这个球是红球的概率;

(2)若发现这个球是红球,问来自第一个盒子的概率是多少？

4.全概率公式与贝叶斯公式应用分析第一问取得红球是分两种情形实现的,此问题是全概率类型问题.第二问是在知道试验结果是红球的前提下,问来自第一个盒子的概率,该问题属于逆概率类型.(1)设A表示{取到一个红球},Bi表示{从第i个盒中取出一个红球}(i=1,2),则B1，B2独立.于是解由全概率公式有(2)由贝叶斯公式，得到全概率公式是概率论中一个很重要的公式,使用全概率公式时应注意:(1)何时用全概率公式:通常所论问题出现先后两次试验,或结果发生是由几种情形导致的.此题属于后一种情况.讲评(2)如何用全概率公式:将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组,或者“几种情形”处理成完备事件组.此题属于后一种情况.扩展

(1)

判断求解的问题是否是全概率类型;

(2)若是全概率类型,正确假设事件A及完备事件组B1,B2,…,Bn;(3)计算出P(Bi)及P(A|Bi);

(4)代入全概率公式，求得概率P(A).可以得出用全概率公式解题的一般程序:

5.事件的独立性应用问题

例2

一工人看管三台机床,在一小时内甲、乙、丙三台机床需该工人照看的概率分别为0.9,0.8和0.85.求：在一小时中，

(1)没有机床需要照看的概率;

(2)至少有一台机床不需要照看的概率; (3)至多有一台机床需要照看的概率.三台机床需不需要工人照看是相互独立的,因此应按照事件的独立性去考虑.注意此题没有明确指出独立性条件.分析

设Ai表示{第i台机床需要照看}(i=1,2,3),A表示{没有一台机床需要照看},B表示{至少有一台机床不需要照看},C表示{至多有一台机床需要照看}.于是由A1，A2，A3相互独立，得到解也相互独立.(1)(2)(3)(1)本题考查相互独立与对立事件的知识点.讲评

(2)处理有关“至少”或“至多”的问题时,常考虑它的对立事件,用对立事件概率公式去解决.在实际应用中,判断事件是否相互独立,一是审查题目是否已经给出独立条件,二是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断.此题属于后者.扩展

学习与研究方法(1)映射反演法将随机事件看作集合,用已经掌握的集合理论建立和分析随机事件间的各种关系.

(2)抽象概括法从日常“频率”概念抽象为随机事件的“概率”定义.这是从普通的常用的“概念”上升为严格的数学意义上的“定义”的常用方法.

(3)与这种“客观概率”体系对应的有“主观概率”理论体系主观概率的应用主要是经济决策问题.例如原材料涨价的机会有多大？市场容量处于某个范围的机会有多大？这些都需要数量上的估计.然而，事情本身又不可能进行大量的重复试验.主观概率还广泛应用于数据分析.在许多情况下,我们对某件事情做出估计和判断，须凭我们事先掌握的数据.但有些时候,我们掌握的数据不完全,因此需要和主观判断结合起来进行估计与判断.

(4)混沌现象在客观世界中,除了确定性现象和随机现象之外,还存在着混沌现象等其它现象.混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动,其行为主要表现为不确定性——不可重复、不可预测.例如,蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍、机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的振动等,都是混沌现象.

习题布置

P38：1、5、11、14、16.参考文献与联系方式[1]郑一，王玉敏，冯宝成.概率论与数理统计.中国科学技术出版社，2007年11月.[2]郑一，王玉敏，戚云松.概率论与数理统计教学辅助教材.中国科学技术出版社，2007年11月.[3]郑一，冯宝成，戚