系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性教学提纲

系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性。例2-11：考虑如下二阶系统：§2-3

线性系统的可观性其状态转移阵为一、可观测性的定义已知这个例子说明，通过对系统输入和输出信息的测量，经过一段时间的积累和加权处理之后，我们可以唯一地确定出系统的初始状态，也就是说，输出对系统的初始状态有判断能力。初始状态一旦确定，则系统在任何时刻的状态就完全掌握了。定义2-6：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程在t0时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。定理2-8：动态方程在t0时刻可观测的充分必要条件是存在一个有限时刻t1>t0，使得矩阵的n个列在[t0,t1]上线性无关。二、可观测性的一般判别准则1）研究分析(＊)式：q个方程，n个未知数，因此只利用t0

时刻的输出值无法唯一确定x(t0)。(＊)证明：充分性：2).利用y在［t0,t1］的值，通过加权处理，即在(＊)式两边左乘：经过整理后有：3).对上式两边由t0到t1积分，有对照定理2-1，可知V(t0,t1)非奇异的充分必要条件是C(t)

(t,t0)

在[t0,t1]上列线性无关。证完。注：在讨论上述方程的可解性时，不妨令u=0，即只讨论从零输入响应中求初态。类似于定理2-5，有定理2-10

设状态方程(A(t),B(t),C(t))中的矩阵A(t),C(t)是(n

1)次连续可微的。若存在有限时间t1>t0,使得

则系统在t0

时刻可观测。

这里，三、可重构性与可到达性概念相仿，可引入可重构的概念。定义2-7与定义2-6在因果性上有区别：可重构是用过去的信息来判断现在的状态；而可观测性则是用未来的信息来判断现在的状态。t0t1可观测t0t1可重构定理2-9：系统(2—1）四、线性系统的对偶性同理可证2)。(2)CeAt的各在[0，)上是复数域线列线性无关。(1)在[0，)中的每一个

t0,（2-21）可观测；(3)对于任何t0≥0及任何t>t0，矩阵非奇异；下列提法等价:定理2-11：对于n

维线性不变状态方程五、线性时不变系统的可观测性判据（2-21）(5)在复数域上，矩阵C(sI

A)

1的列是线性无关的；(6)对于A的任一特征值，都有证明：利用对偶原理即可证明。而不可观测的振型及相应的模式若定理2-11,6的条件不满足，即存在这说明

是A的属于特征值

0的特征向量，它在C的核空间中，

0是不可观的模态。它对应的特征向量落在C

的核中，输出y不反映

0对应的运动模式。

例题

§2-4若当型动态方程

的可控性和可观测性

一、等价变换的性质令，，则经等价变换后有其中：定理2-13：在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。注：定理2-13可以推广到线性时变系统（习题（2-11）。但证完。二、若当动态方程的可控性和可观测性判据典型的若当矩阵：0000-5-55555000000-5-5555500当系统矩阵有重特征值时，常常可以化为若当形，这时A、B、C的形式如下：1.

A有m个相异的特征值

1,

2….,

m；

Ai

：所有与

i对应的若当块构成的矩阵，共有ri

块；

Bi：B中与Ai对应的的子块；

Ci：C中与Ai对应的的子块；

Aij

：表示Ai的第j

个若当块；

Bij：Bi中与Aij对应的的子块；

Cij：Ci

中与Aij对应的的子块；3.

bLij

：Bij

的最后一行；4.

c1ij

：Cij的第一列。定理2-14

(可控、可观性判据)

若当型动态系统(2-26)可控的充分必要条件为下列矩阵行线性无关若当型动态系统(2-26)可观测的充分必要条件为下列矩阵列线性无关：证明：令Ai是ni阶子块，只需考虑根据PBH检验法，行满秩，则肯定有证完。例题考察系统的可控性和可观测性。代入将后可得行线性无关行线性无关代入将后可得按照上述记号，可知A有二个不同的特征值{1,2}，特征值1对应有三个若当块，特征值2对应有两个若当块，判别可控性的行向量为每组的行向量线性无关，满足判据的要求，故系统可控。再来考察这个系统的可观测性。代入将后可得子矩阵列线性无关代入将后可得由于c121=0该系统不可观测。推论2-14：（1）若当型动态方程(A,b)可控的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块，且向量b

中所有与若当块最后一行相对应的元素不为零；（2）若当型动态方程(A,c)可观测的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块，且向量c

中所有与若当块第一列相对应的元素不为零。利用PBH检验法，立即可知这个系统是可控的。例2－15设有两个若当型状态方程（2－29）（2－30）由推论2－14可知，状态方程（2－29）可控。方程（2－30）是时变的，虽然A阵具有若当型且对所有的t，b(t)的各分量非零，但并不能应用推论2－14来判断可控性。事实上，由定理2－4，对任一固定的t0有显然对所有t>t0，矩阵的各行线性相关，故方程（2－30）在任何t0均不可控。

习题2-14

用若当标准形来做比较直接。首先找出全部运动模式出现在输出中的条件(充要条件)，将它与系统可观测的条件比较。为了简单，只用下例说明：

运动模式有三个：出现在矩阵指数第一行；对应于最高阶若当块的第一行当C的第一列为非零向量时，对恰当选取的x(0)，y(t)中就包含了三个运动模式。而这一条件比要求C中一、四列线性无关的条件(即可观测)要弱。因此，最高阶若当块对应的特征向量不在C的核中时,y(t)中就包含了这一若当块所对应的全部模式。可观测C中一、四列线性无关C的第一列非零所有模式出现示意图如下：若A阵每一个特征值只有一个若当块(即A是循环矩阵)时，模式全出现就和可观等价了。关于值域、核与正交补核空间：KerA={x｜x

XAx=0}，这里，KerA是A的不变子空间，即有X

n

维线性空间定义域一个

m×n矩阵A可看作n

维线性空间X到m维线性空间Y的映射Y

m

维线性空间值域若A是n×n

矩阵，可以看作n维空间到自身的线性变换,A是这一线性变换的矩阵表示。2.值域：ImA={y｜y

Y存在x

X，Ax=y}dimImA=rankAImA是A的列向量所张成的空间。可以表示为ImA=span{a1

a2,….,an}