2019届江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.6对数与对数函数讲义理苏教版VIP

§2.6

对数与对数函数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作

，N叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝

；②loga

＝

；③logaMn＝

(n∈R).知识梳理logaN＝blogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM

(2)对数的性质①＝

；②logaaN＝

(a>0且a≠1).(3)对数的换底公式logaN＝(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1).

N

N

3.对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象性质定义域：_________值域：___过定点

，即x＝

时，y＝__(0，＋∞)R(1，0)10几何画板展示性质当x>1时，____当0<x<1时，____当x>1时，____当0<x<1时，____在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是_______y>0y<0y<0y>0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数

互为反函数，它们的图象关于直线

对称.y＝logaxy＝x

知识拓展1.换底公式的两个重要结论(1)logab

＝

；(2)＝

logab.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(

)(2)logax·logay＝loga(x＋y).(

)(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数.(

)(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(

)(5)函数y＝ln

与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(

)(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，

，函数图象只在第一、四象限.(

)××××√√考点自测1.(教材改编)的值为

.答案解析2.(2016·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为

.答案解析3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0，0<c<1，则logca与logcb的大小关系为

.∵0<c<1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴logca<logcb.答案解析logca<logcb4.(2017·徐州月考)函数y＝

的定义域为

.答案解析5.(教材改编)若loga

<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是

.答案解析题型分类深度剖析题型一对数的运算例1计算下列各式：原式＝lg

＝lg(5×2××102)＝lg

＝.解答(2)2log32－log3＋log38－3log55.原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.解答对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.思维升华跟踪训练1(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝

.答案解析∴2a＋2－a＝

1答案解析题型二对数函数的图象及应用例2

(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是

.①a>1，c>1；

②a>1，0<c<1；③0<a<1，c>1；

④0<a<1，0<c<1.答案解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1.④(2)(2016·宿迁模拟)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是

.答案解析构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，]上的图象，(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.思维升华跟踪训练2(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是

.答案解析②由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.①中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；②中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.(2)已知f(x)＝|lg

x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是

.答案解析f(c)>f(a)>f(b)几何画板展示先作出函数y＝lg

x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|lg

x|的图象，如图.由图可知，f(x)＝|lg

x|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f()＞f(a)＞f(b)，所以f(c)＞f(a)＞f(b).题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3

(2015·天津改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为

.答案解析c＜a＜b由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝

－1＝2，b＝f(log25)＝

－1＝

－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.几何画板展示命题点2解对数不等式例4

(1)若loga

<1，则a的取值范围是

.答案解析当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga

<logaa总成立.当0<a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，(2)设函数f(x)＝

若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是

.答案解析(－1，0)∪(1，＋∞)解得a>1或－1<a<0.几何画板展示命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；解答∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解答t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数.∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.(1)对数值大小比较的主要方法①化同底数后利用函数的单调性；②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.思维升华跟踪训练3(1)设函数f(x)＝

则满足f(x)≤2的x的取值范围是

.答案解析[0，＋∞)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.几何画板展示(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为

.答案解析[1，2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，解得1≤a<2，即a∈[1，2).考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例(1)(2016·全国乙卷改编)若a>b>0，0<c<1，则下列不等式正确的是

.①logac<logbc；

②logca<logcb；

③ac<bc；

④ca>cb.

比较指数式、对数式的大小高频小考点3答案解析②因为0<c<1，所以lg

c<0，而a>b>0，所以lg

a>lg

b，但不能确定lg

a、lg

b的正负，所以它们的大小不能确定，所以①错；而lg

a>lg

b，两边同乘以一个负数

改变不等号方向，所以②正确；对③：由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以③错；对④：由y＝cx在R上为减函数，得ca<cb，所以④错.答案解析(2)(2016·南京模拟)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos100，则a，b，c的大小关系为

.a>b>c因为20.3>20＝1，0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos100<log41＝0，所以a>b>c.由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.对照所给不等式可知①中关系不可能成立.答案解析(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是

.①a<b<c；

②b<a<c；

③c<b<a；

④a<c<b.①课时作业12345678910111213141.(教材改编)给出下列4个等式：①log253＝3log25；②log253＝5log23；③log84＝

；④＝4.其中正确的等式是

.(写出所有正确的序号)答案解析②中

＝log23，故②不正确，①③④都正确.①③④2.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系为

.∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b.答案解析c<a<b12345678910111213143.函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是

.答案解析①函数f(x)＝ln(x2＋1)是偶函数，排除③；当x＝0时，f(x)＝0，排除②、④.12345678910111213144.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝

则f(2018)＝

.由已知f(2018)＝f(2017)＋1＝f(2016)＋2＝f(2015)＋3＝…＝f(1)＋2017＝log2(5－1)＋2017＝2019.答案解析201912345678910111213145.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋

，则f(log220)＝

.答案解析－1由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝

＝－1.12345678910111213146.若函数f(x)＝loga(x2＋

x)(a>0，a≠1)在区间(，

＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为

.答案解析所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).(0，＋∞)1234567891011121314答案解析－112345678910111213148.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab＋logba＝

，ab＝ba，则a＝

，b＝

.答案解析42令logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，解得a＝4，∴b＝2.12345678910111213149.已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是

.答案解析1234567891011121314所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解.1234567891011121314*10.(2016·南通模拟)关于函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数.其中是真命题的序号为

.答案解析①③④1234567891011121314即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；可知当x∈(0，1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.1234567891011121314由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.123456789101112131411.(2016·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是

.答案解析(－2，0)∪(2，＋∞)当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1，

f(x)<0，即log2(－x)－1<0，解得－2<x<0；当x>0时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0，即1－log2x<0，解得x>2，综上，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).123456789101112131412.(2016·江苏运河中学一诊)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是

.答案解析7由f(m)＋f(2n)＝3，得log2[(m－2)(2n－2)]＝3⇒(m－2)(2n－2)＝23，即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，由基本不等式得()2≥4(当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时等号成立)，从而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.1234567891011121314*13.已知函数f(x)＝3－2log