2019届江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用讲义文苏教版

§5.4平面向量的综合应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：知识梳理问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理a∥b⇔

⇔

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔

⇔

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0夹角问题数量积的定义cos

θ＝

(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝

＝

，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题

向量问题

解决向量问题

解决几何问题.2.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展2.若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行.几何画板展示思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若

，则A，B，C三点共线.(

)(2)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(

)(3)在△ABC中，若<0，则△ABC为钝角三角形.(

)√××√考点自测1.已知向量a＝(cos

θ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为____.答案解析4设a与b夹角为α，∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos

α＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cos

α∈[－1，1]，∴8－8cosα∈[0，16]，即|2a－b|2∈[0，16]，∴|2a－b|∈[0，4].∴|2a－b|的最大值为4.1∶2答案解析设D为AC的中点，如图所示，连结OD，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.3.(2016·泰州模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足

＝4，则点P的轨迹方程是______________(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”).x＋2y－4＝0答案解析即x＋2y＝4.答案解析几何画板展示1答案解析取AB的中点D，连结CD、CP(图略).题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1

(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若

＝1，则AB＝____.答案解析在平行四边形ABCD中，重心答案解析所以点P的轨迹必过△ABC的重心.引申探究内心答案解析所以点P的轨迹必过△ABC的内心.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.思维升华答案解析等边5答案解析以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.则D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.2x＋y－3＝0答案解析∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案解析∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.思维升华答案解析∵圆心O是直径AB的中点，题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用答案解析令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，命题点2向量在解三角形中的应用答案解析∴△ABC最小角为角A，利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.思维升华解析答案方法一以直线n为x轴，过A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(0，3)，B(x1，2)，C(x2，0)，

三审图形抓特点审题路线图系列审题路线图答案解析返回由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图.返回课时作业12345678910111213141.(教材改编)已知平面向量a，b，满足|a|＝

，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝_____.答案解析2.(教材改编)已知|a|＝1，|b|＝

，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为_____.答案解析∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，又∵〈a，b〉∈[0，π]，12345678910111213143.(2016·南京模拟)已知向量a＝(cos

α，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，则sin2α＝_____.答案解析由a∥b得cos

α＋2sinα＝0，∴cos

α＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，1234567891011121314答案解析12345678910111213145.已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足

＝x2，则点P的轨迹是________.抛物线答案解析∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线.1234567891011121314答案解析则锐角θ＝_____.1234567891011121314方法一由向量的几何意义可知，于是对角线相等的平行四边形为矩形，故OA⊥OB.所以cos

θ－sinθ＝0，即sinθ＝cos

θ，12345678910111213141234567891011121314－8答案解析设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acosθ，∴acos

θ＝2，12345678910111213148.(2016·南京模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______.答案解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，12345678910111213142答案解析1234567891011121314答案解析1234567891011121314方法一建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，C(1，4).又点P在直线BC上，即3n＋4m＝4，123456789101112131412345678910111213141234567891011121314解答(1)若a⊥b，求tanα的值；因为a⊥b，1234567891011121314(2)若a∥b，求α的值.解答1234567891011121314123456789101112131412.已知向量a＝(cos

α，sinα)，b＝(cos

β，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝

，求证：a⊥b；证明由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.解答(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值.因为a＋b＝(cos

α＋cos

β，sinα＋sinβ)＝(0，1)，由此得，cos

α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.1234567891011121314(1)求内角A的大小；解答1234567891011121314解答1234567891011121314由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，14.设向量a＝(cos

ωx－sinωx，－1)，b＝(2sinωx，－1)，其中ω>0