第六章平面向量及其应用综合检测卷【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精-品课件+分层练习人教A版2019必修第二册（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第六章平面向量及其应用综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，若，则实数m等于（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故选：A2．已知=(1，2)，=(-1，1)，则=（

）A．5 B．3 C． D．2【答案】C【分析】根据向量坐标运算求得，进而可求得模长.【详解】

故选：3．在中，角的对边分别为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.【详解】由题知，的面积为，所以，即所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以．故选：D4．已知，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.【详解】由题知，，所以，设与夹角为，所以在上的投影向量是，故选：B5．在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A6．已知中，，，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为坐标原点，以两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，设点的坐标，由|CP|＝1得，令，代入的表达式，利用三角函数的性质求出最小值．【详解】以A为坐标原点，以两条直角边为坐标轴建立直角坐标系如图所示，∵，∴，设点的坐标为，则，，∵|CP|＝1，∴，令，∴，其中，故当时，取最小值为7．故选：A．7．已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面积的最大值.【详解】，由正弦定理得：∵，∴，∵，∴，为直角三角形且外接圆半径为，∴，∴，设内切圆半径为，则．其中，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时等号成立，故选：A8．已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】由题设条件得到，从而判断出点P在的平分线上，由此得到点的轨迹一定通过的内心.【详解】分别表示方向的单位向量，令，，则，即，又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上，所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心.故选：B..选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD，再由向量数量积公式可判断C.【详解】根据向量加法法则可知，，故A正确；根据向量减法法则可得，故B错误；由向量数量积公式得，故C正确；根据向量加法法则可知，，所以D正确.故选：ACD.10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是【答案】AD【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.【详解】设，，，，则，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，若，则，，，所以，所以，所以的面积是，故C不正确；对于D，若，则，则，则，，，所以，，所以外接圆半径为.故D正确.故选：AD11．已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为C．与共线的单位向量只有一个为D．存在，使得【答案】BD【分析】根据向量垂直、向量投影、向量夹角、共线向量、单位向量以及模的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，则，，A选项错误.B选项，在上的投影向量为，所以，，由于，所以，B选项正确.C选项，与共线的单位向量可以是，即和，所以C选项错误.D选项，若，则，，，，其中，所以，由于，，则当时，，所以存在，使得，D选项正确.故选：BD12．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（

）A．，有唯一解B．，无解C．，有两解D．，有唯一解【答案】AD【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.【详解】解：选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．若，则__．【答案】1【分析】由，得到，又，代入后即可求解.【详解】，，又，，，解得，，，故答案为：1．14．为提高执法效能，国家决定组建国家海洋局，国家海洋局以中国海警局名义开展海上维权执法.某海警船从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.如果海警船直接从海岛出发到海岛，则航行的路程为__________海里.【答案】【分析】根据题设条件求得，再利用余弦定理，即可解出答案.【详解】根据题意作出图形，由图得，海里，海里，根据余弦定理得，代入数据得即，解得，则航行的路程为海里.故答案为：.15．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.【答案】【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，利用余弦定理得到，代入公式计算得到答案.【详解】由于，所以，故，即，因为，，故.由余弦定理得，整理得，所以.故答案为：16．在梯形中，，，，，、分别为线段和线段上的动点，且，，则的取值范围为______．【答案】【分析】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的函数关系式，求出的取值范围，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，则，由题意可得，解得，，所以，，由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，当时，.因此，的取值范围是.故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知平面向量，，(1)若，求实数x的值；(2)若，求实数x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】（1）解：因为，且，所以，解得；（2）解：因为，所以，又且，所以，解得．18．在中，角A，，所对的边分别是，，，且，(1)若，求，(2)若，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化简得，即可由余弦定理求值；（2）由条件得，结合三角形面积公式即可求.【详解】（1），由正弦定理可得，故.由余弦定理得.（2），则，故.19．如图，若，，，点分别在线段上，且满足.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据定比分点坐标可求得的坐标，根据向量模长的坐标表示即可求得结果；（2）同理可求得点的坐标，利用向量夹角的坐标公式即可求得余弦值.【详解】（1）设的坐标为；由可得分点可得即，得所以，则（2）设点的坐标为，由得所以，即，20．在三角形ABC中，若.(1)求角A的大小；(2)如图所示，若，，求长度的最大值.【答案】(1)(2)6【分析】(1)由正弦定理可得，再利用余弦定理、基本不等式和辅助角公式即可求解；(2)结合（1）可知：三角形ABC是正三角形，设，，利用余弦定理、正弦定理和两角和的余弦公式即可求解.【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，再由余弦定理可得：，即：，整理可得：，可知左边，当且仅当时等号成立，右边，当且仅当时等号成立，所以左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以.（2）由（1）可知：，所以三角形ABC是正三角形.设，，那么由余弦定理可得：，即：，所以.在三角形BDC中，由正弦定理可得：，整理得：，因为，所以为锐角，那么，则，在中，由余弦定理可得：，即，当且仅当时取得等号，所以最大值为6.21．随䍰六安市经济发展的需要，工业园区越来越受到重视，成为推动地方经济发展的重要工具，工业园区可以有效创造和聚集力量，共享资源，克服外部负面影响，带动相关产业发展，从而有效促进产业集群的形成．已知工业园区内某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成．设矩形的两边长分别为，（单位：），要求，部件的面积是．(1)求y关于x的函数解析式，并求出定义域；(2)为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．【答案】(1)，定义域；(2)当时，面积最小值.【分析】(1)用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；(2)用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.【详解】（1），故．

，即，又，所以．故，（2）如图所示：作交于，交于，连接．故，又故，

当，即时等号成立．故当时，面积最小值．22．如图，梯形，，，，为中点，．(1)当时，用向量表示的向量；(2)若为大于零的常数），求的最小值