2019届江苏专用高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的运算讲义

高考数学

(江苏省专用)第九章导数及其应用§9.1导数的概念及几何意义、导数的运算(2014江苏,11,5分,0.77)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+

(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是

.A组自主命题·江苏卷题组五年高考答案-3解析∵y=ax2+

,∴y'=2ax-

,由题意可得

解得

∴a+b=-3.考点一导数的概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+

在点(1,2)处的切线方程为

.B组

统一命题·省(区、市)卷题组答案

x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+

,∴y'=2x-

,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.2.(2017天津文改编,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y

轴上的截距为

.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-

,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.3.(2016课标全国Ⅲ理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)

处的切线方程是

.答案

y=-2x-1解析令x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x>0),则f'(x)=

-3(x>0),∴f'(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x>0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式

求出切线方程.评析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义,求出x>0时f(x)的解析式是解题关键.4.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切

线方程是

.答案

y=2x解析当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.易错警示注意f'(1)的求解方法,易因忽略x的取值范围而直接求f(x)=e-x-1-x的导数致错.评析本题主要考查利用函数的性质求解析式,同时综合考查了导数的几何意义.属难题.5.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=

(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为

.答案(1,1)解析∵函数y=ex的导函数为y'=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=

的导函数为y'=-

,∴曲线y=

(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-

,则有k1k2=-1,即1·

=-1,解得

=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=

(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为

.答案3解析∵f'(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.2.(2014福建,20,14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切

线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.解析解法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.(3)①若c≥1,则ex≤cex.又由(2)知,当x>0时,x2<ex.所以当x>0时,x2<cex.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.②若0<c<1,令k=

>1,要使不等式x2<cex成立,只要ex>kx2成立.而要使ex>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2lnx+lnk成立.令h(x)=x-2lnx-lnk,则h'(x)=1-

=

,所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,易知k>lnk,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=

,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)对任意给定的正数c,取x0=

,由(2)知,当x>0时,ex>x2,所以ex=

·

>

,当x>x0时,ex>

>

=

x2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有

x3<ex.证明如下:令h(x)=

x3-ex,则h'(x)=x2-ex.由(2)知,当x>0时,x2<ex,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即

x3<ex.取x0=

,当x>x0时,有

x2<

x3<ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.注:对c的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.评析本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词

等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与

无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.3.(2013福建理,17,13分)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-

.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1-

(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x)=1-

=

,x>0知:①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.评析本题主要考查函数、函数的导数、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方

程思想、分类与整合思想、化归与转化思想.1.(2013广东理,10,5分)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=

.C组教师专用题组答案-1解析令f(x)=kx+lnx,则f'(x)=k+

,f'(1)=k+1,由题意可知f'(1)=0,即k+1=0,∴k=-1.2.(2013北京理,18,13分)设L为曲线C:y=

在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=

,则f'(x)=

.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足

g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=

.当0<x<1时,x2-1<0,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.一、填空题(每题5分,共25分)1.(2017南通、泰州高三第一次调研测试)已知两曲线f(x)=2sinx,g(x)=acosx,x∈

相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直,则实数a的值为

.三年模拟A组2015—2017年高考模拟·基础题组(时间：45分钟分值：50分)答案

解析

f'(x)=2cosx,g'(x)=-asinx,设P(x1,y1),由题设可得

解得sinx1=

,cosx1=

,a=

.2.(2017泰州中学第一次质量检测)若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线,则实数b=

.答案-1解析

y'=lnx+1,设切点为(x1,y1),则由题意可知lnx1+1=1,解得x1=1,所以y1=0=1+b,解得b=-1.3.(2016江苏扬州中学期中,11)若x轴是曲线f(x)=lnx-kx+3的一条切线,则k=

.答案

e2

解析由f(x)=lnx-kx+3得f'(x)=

-k,设点M(x0,y0)是曲线f(x)上一点,则曲线f(x)=lnx-kx+3在点M处的切线方程为y-(lnx0-kx0+3)=

(x-x0),∵x轴是曲线f(x)=lnx-kx+3的一条切线,∴

解得k=e2.4.(2016江苏南通一模,13)在平面直角坐标系xOy中,直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切,切

点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则

=

.答案

解析由题设知曲线y=x2在A(x1,y1)处的切线方程为y=2x1x-

,曲线y=x3在B(x2,y2)处的切线方程为y=3

x-2

.所以

解得x1=

,x2=

.所以

=

.5.(2015江苏常州一模,9)曲线y=x-cosx在点

处的切线方程为

.答案2x-y-

=0解析∵y=x-cosx,∴y'=1+sinx.∴y'

=2,∴切线方程为y-

=2

,即2x-y-

=0.二、解答题(共25分)6.(2016江苏扬州中学模拟,19)已知函数f(x)=x3+

x2+ax+b(a,b为常数),其图象是曲线C.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f'(x0)=0同时成立,求实数b的取值范围;(3)已知点A为曲线C上的动点,在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B,在点B处作曲线C

的切线l2,设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2.问:是否存在常数λ,使得k2=λk1?若存在,求出λ的值;若不存

在,请说明理由.解析(1)当a=-2时,f'(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2).令f'(x)<0,解得-2<x<

,所以f(x)的单调递减区间为

.(2)f'(x)=3x2+5x+a,由题意知

消去a,得2

+

+x0-b=0有唯一解.令g(x)=2x3+

x2+x,则g'(x)=6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1),所以g(x)在区间

,

上是增函数,在

上是减函数,又g

=-

,g

=-

,故实数b的取值范围是

∪

.(3)设A(x1,f(x1)),则曲线C在点A处的切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),与曲线C的方程y=f(x)联立,得f(x)-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即(x-x1)2

=0,所以B点的横坐标xB=-

.由题意知,k1=f'(x1)=3

+5x1+a,k2=f'

=12

+20x1+

+a,若存在常数λ,使得k2=λk1,则12

+20x1+

+a=λ(3

+5x1+a),即存在常数λ,使得(4-λ)(3

+5x1)=(λ-1)a-

,所以

解得λ=4,a=

.故当a=

时,存在常数λ=4,使k2=4k1;当a≠

时,不存在常数λ,使k2=λk1.7.(2015南京、盐城二模,19)已知函数f(x)=1+lnx-

,其中k为常数.(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.解析(1)当k=0时,f(x)=1+lnx.f'(x)=

,从而f'(1)=1.又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.(2)证明:当k=5时,f(x)=lnx+

-4(x>0).f'(x)=

,从而当x∈(0,10)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=10时,f(x)取得最小值.因为f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)上有一个零点.因为f(e4)=4+

-4>0,所以f(x)在(10,e4)上有一个零点.结合函数的单调性可知f(x)有且仅有两个零点.(3)由题意知,1+lnx-

>0对x∈(2,+∞)恒成立,即k<

对x∈(2,+∞)恒成立.令h(x)=

(x>2),则h'(x)=

.设v(x)=x-2lnx-4,则v'(x)=

.当x∈(2,+∞)时,v'(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)上为增函数.因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,所以存在x0∈(8,9),使得v(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.所以当x∈(2,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=x0时,h(x)有最小值h(x0)=

.因为lnx0=

,所以h(x0)=

∈(4,4.5).所以k≤4,故整数k的最大值为4.一、填空题(每题5分,共15分)1.(2017南京、盐城第二次模拟考试,14)已知函数f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若

不等式f(x)≤0恒成立,则

的最小值为

.B组2015—2017年高考模拟·综合题组(时间：30分钟分值：30分)答案-

解析因为f(x)=lnx+(e-a)x-b,所以f(x)≤0恒成立等价于lnx≤(a-e)x+b恒成立,可以转化为y=lnx

的图象恒在直线y=(a-e)x+b下方,设y=lnx的图象在(0,+∞)上与直线y=(a-e)x+b平行的切线的切点为(x0,y0),由y=lnx得y'=

,则由导数几何意义可得切线方程为y=

x+lnx0-1,要使lnx≤(a-e)x+b恒成立,则

从而

≥

=

,令h(x)=

,则h'(x)=

,令g(x)=ex+lnx,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g

=0,从而h(x)在

上单调递增,在

上单调递减,所以h(x)max=h

=-

,从而

≥-

.思路分析因为f(x)=lnx+(e-a)x-b,所以f(x)≤0恒成立等价于lnx≤(a-e)x+b恒成立,可以转化为y=

lnx的图象恒在直线y=(a-e)x+b下方,再利用切线和导数求解.2.(2017江苏镇江期末,14)已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2对任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,则实

数λ的取值范围为

.答案

λ≥2

-1或λ≤-2

-1解析不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2对任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,可看作(m,m+λ),(n,lnn)两点

的距离的平方恒大于或等于2,从而转化为曲线y=lnx上的点到直线y=x+λ的距离的最小值大于或等于2,当y=lnx的切线斜率为1时,y'=

=1,点(1,0)处的切线与y=x+λ平行,所以距离的最小值为

≥2,解得λ≥2

-1或λ≤-2

-1.解后反思本题考查了曲线的切线方程,考查平行线间的距离,将问题转化为求曲线y=lnx上的

点到直线y=x+λ的距离的最小值是解题的关键,本题是一道中档题.3.(2016江苏镇江联考,11)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,则当a>0时,

实数b的最小值是

.答案-1解析由y=alnx得y'=

,设切点为M(x0,y0),则曲线y=alnx在点M(x0,y0)处的切线方程为y-alnx0=

(x-x0),即y=

x+alnx0-a,则

∴b=alna-a(a>0),b'=lna,当0<a≤1时,b'≤0,当a>1时,b'>0,∴当a=1时,b取得最小值-1.二、解答题(共15分)4.(2016江苏扬州中学质检,19)对于函数f(x),g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线

相同,则称函数f(x)和g(x)在点P处相切,称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)