2025年北师版七年级数学寒假预习 第01讲 幂的乘除（5个知识点+5大考点举一反三+过关测试）

第01讲幂的乘除模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握正整数幂的乘除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；2．运用同底数幂的乘除法法则解决一下实际问题；3．掌握用科学计数法表示较小的数。知识点1：幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)知识点2：幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。(m,n都为正整数)知识点3：积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（m,n为正整数）知识点4：幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)；a0=1(a≠0)知识点5：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于1的数，也能写成a10n的形式，其中n是正整数，1a10，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则10d的指数n=m+1．考点一：同底数幂的乘法运算例1.计算a2·a4(2)(4)−a2·−a【变式1-1】计算x⋅x4的值为（A．x5 B．x4 C．2x【变式1-2】计算a−2⋅a⋅ax=【变式1-3】计算：(1)−m⋅−m2⋅−m考点二：幂的乘方与积的乘方运算例2.计算：(1)−xy3⋅−xy4⋅【变式2-1】计算：−3xy3【变式2-2】计算：(1)(−xy)3⋅(−xy)4⋅【变式2-3】计算：−考点三：同底数幂的除法运算例3.计算x6÷x3A．x3 B．x2 C．2【变式3-1】计算：x8÷【变式3-2】计算：−a9÷【变式3-3】计算（结果用幂的形式表示）：a−b8÷考点四：幂的逆运算例4.已知5m=4，5n=6(1)求5m+n(2)求5m−2p(3)写出m，n，p之间的数量关系．【变式4-1】已知4m=5，8n(1)求22m+3n(2)求24m−6n(3)求122m【变式4-2】已知：5a=3，(1)求52a(2)求55a−2b【变式4-3】已知10x=3(1)求102x+3y(2)求103x−4y考点五：零指数的有关运算例5.计算：−32【变式5-1】如果m+20=1，那么m的取值范围是（A．m>−2 B．m<−2 C．m=−2 D．m≠−2【变式5-2】计算：1【变式5-3】计算：−13

考点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数例6.在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为0.000002m，则数据0.000002用科学记数法表示为（

）A．2×10−5 B．0.2×10−6 C．【变式6-1】2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米=1.0×10−9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（A．125×10−9米 B．1.25×10−8米 C．1.25×10【变式6-2】PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025mA．2.5×10−6 B．2.5×10−7 【变式6-3】芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为0.000000014米，数据0.000000014用科学记数法表示为米．一、单选题1．（22-23七年级下·四川达州·期中）x+2y=4，则2x−2⋅2A．4 B．8 C．16 D．322．（23-24七年级下·全国·单元测试）长度单位1nm=10−9m，新冠病毒的直径约为60--140nm，其中140nmA．1.4×10−7m B．1.4×10−8m3．22-23八年级上·福建漳州·期末）若2a=5,2b=3A．53 B．2 C．4 4．（23-24八年级上·重庆万州·期末）下列运算正确的是（

）A．x2⋅xC．x3+x5．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算(−m3n)A．−m6n2 B．m6n6．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算−322022A．23 B．32 C．−2二、填空题7．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知a2m=2，bm=58．（23-24七年级下·全国·单元测试）若1284÷839．（23-24七年级下·全国·期末）计算：−a210．（23-24七年级下·山东聊城·期末）比较大小277511．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知am=2,an三、解答题12．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算(1)x⋅x(2)−3x13．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知3×9m÷14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若5n=3，25m15．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若2×8x×（2）若ya=2，yb=4，

第01讲幂的乘除模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握正整数幂的乘除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；2．运用同底数幂的乘除法法则解决一下实际问题；3．掌握用科学计数法表示较小的数。知识点1：幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)知识点2：幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。(m,n都为正整数)知识点3：积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（m,n为正整数）知识点4：幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)；a0=1(a≠0)知识点5：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于1的数，也能写成a10n的形式，其中n是正整数，1a10，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则10d的指数n=m+1．考点一：同底数幂的乘法运算例1.计算a2·a4(2)(4)−a2·−a【答案】(1)a(2)2(3)2(4)−a(5)x−2y【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（3）将4=22，（4）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（5）根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：a2（2）解：22（3）解：4×2（4）解：−a2（5）解：x−2y2

【变式1-1】计算x⋅x4的值为（A．x5 B．x4 C．2x【答案】A【分析】此题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加,根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【详解】解：x⋅x故选：A．【变式1-2】计算a−2⋅a⋅ax=【答案】13【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、解一元一次方程等知识，理解并掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法运算法则可得关于x的一元一次方程，求解即可获得答案．【详解】解：∵a−2∴−2+1+x=12，解得x=13．故答案为：13．【变式1-3】计算：(1)−m⋅−m2⋅−m【答案】(1)m(2)−【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算；（2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解．【详解】（1）解：−m===m（2）解：m−n=−=−n−m考点二：幂的乘方与积的乘方运算例2.计算：(1)−xy3⋅−xy4⋅【答案】(1)x(2)a【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：（1）根据同底数幂的乘法和积的乘方法则进行计算即可；（2）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可。【详解】（1）解：原式=−xy（2）原式=−【变式2-1】计算：−3xy3【答案】9x2【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：−3xy故答案为：9x【变式2-2】计算：(1)(−xy)3⋅(−xy)4⋅【答案】(1)x(2)a【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘算，解题的关键是掌握相应的运算法则；（1）利用同底数幂的乘法及积的乘方即可计算；（2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方即可计算求解．【详解】（1）解：原式=(−xy)（2）解：原式=−【变式2-3】计算：−【答案】−【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算．【详解】解：−=−=−=−=−考点三：同底数幂的除法运算例3.计算x6÷x3A．x3 B．x2 C．2【答案】A【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，熟知同底数幂除法计算法则是解题的关键．【详解】解：x6故选：A．【变式3-1】计算：x8÷【答案】x【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算x8【详解】解：x8故答案为：x2【变式3-2】计算：−a9÷【答案】a【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解．【详解】解：−a9故答案为：a【变式3-3】计算（结果用幂的形式表示）：a−b8÷【答案】b−a【分析】本题主要考查同底数幂的除法，将a−b变形为−b−a【详解】解：a−b====b−a故答案为：b−a5考点四：幂的逆运算例4.已知5m=4，5n=6(1)求5m+n(2)求5m−2p(3)写出m，n，p之间的数量关系．【答案】(1)24(2)4(3)m+2p=2n【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．（1）根据5m+n（2）根据5m−2p=5（3）根据5m⋅25【详解】（1）解：∵5m=4，∴5m+n（2）解：∵25p∴5m−2p（3）解：∵5m又5n∴5m∴m+2p=2n．【变式4-1】已知4m=5，8n(1)求22m+3n(2)求24m−6n(3)求122m【答案】(1)15(2)25(3)400【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．（1）根据幂的乘方运算法则可得4m（2）由22m（3）根据积的乘方运算法则可得122m【详解】（1）解：4m=22m=522m+3n（2）解：24m−6n（3）解：122m【变式4-2】已知：5a=3，(1)求52a(2)求55a−2b【答案】(1)9(2)3【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键．（1）先逆用幂的乘方法则变形52a=5（2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形53a−2b=53a÷【详解】（1）解：∵5a∴52a（2）解：∵5a=3，∴55a−2b【变式4-3】已知10x=3(1)求102x+3y(2)求103x−4y【答案】(1)72(2)27【分析】（1）利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算对代数式进行转化即可求解；（2）利用同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方的逆运算对代数式进行转化即可求解；本题考查了幂的有关运算性质，掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方的逆运算是解题的关键．【详解】（1）解：102x+3y（2）解：103x−4y考点五：零指数的有关运算例5.计算：−32【答案】−4【分析】本题考查了零次幂，有理数的混合运算．先化简零次幂，计算括号内的减法以及运算乘方和乘除，然后进行加法运算，即可作答．【详解】解：−=−9+1+2×2=−9+1+4=−4．【变式5-1】如果m+20=1，那么m的取值范围是（A．m>−2 B．m<−2 C．m=−2 D．m≠−2【答案】D【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂：a0【详解】解：由任何非零数的零次幂为1，得m+2≠0，即m≠−2．故选：D．【变式5-2】计算：1【答案】1【分析】本题考查实数的运算．理解乘方、零指数幂的运算法则是关键．先算乘方、零指数幂，再算加减．【详解】解：1==1【变式5-3】计算：−13【答案】−2【分析】此题考查了乘方、零指数幂、绝对值的化简等知识，利用乘方、零指数幂、绝对值的化简计算后，进行加减运算即可．【详解】解：−1=−1+1−2=−2

考点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数例6.在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为0.000002m，则数据0.000002用科学记数法表示为（

）A．2×10−5 B．0.2×10−6 C．【答案】D【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：a×10n（1≤a<10，n为正整数），先确定a的值，再根据小数点移动的数位确定n的值即可解答，根据科学记数法确定【详解】解：0.000002=2×10故选：D．【变式6-1】2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米=1.0×10−9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（A．125×10−9米 B．1.25×10−8米 C．1.25×10【答案】C【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a根据科学记数法进行表示即可．【详解】解：125纳米=125×10−9米故选：C．【变式6-2】PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025mA．2.5×10−6 B．2.5×10−7 【答案】A【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：a×10n（1≤a<10，n为正整数），先确定a的值，再根据小数点移动的数位确定n的值即可解答，根据科学记数法确定【详解】解：0.0000025=2.5×10故选：A．【变式6-3】芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为0.000000014米，数据0.000000014用科学记数法表示为米．【答案】1.4×【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n（1≤|a|<10，【详解】解：0.000000014=1.4×10故答案为：1.4×10一、单选题1．（22-23七年级下·四川达州·期中）x+2y=4，则2x−2⋅2A．4 B．8 C．16 D．32【答案】A【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，根据同底数幂乘法计算法则得到原式=2x−2+2y，再由同底数幂除法的逆运算法则得到原式=2【详解】解：∵x+2y=4，∴2=====4，故选：A．2．（23-24七年级下·全国·单元测试）长度单位1nm=10−9m，新冠病毒的直径约为60--140nm，其中140nmA．1.4×10−7m B．1.4×10−8m【答案】A【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数，解题的关键是要正确确定先将140nm转化为140×10【详解】解：140nm故选：A．3．22-23八年级上·福建漳州·期末）若2a=5,2b=3A．53 B．2 C．4 【答案】A【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，利用同底数幂除法的逆运算将原式变形后代入数值计算即可，将原式进行正确的变形是解题的关键.【详解】∵2a∴2a−b故选：A.4．（23-24八年级上·重庆万州·期末）下列运算正确的是（

）A．x2⋅xC．x3+x【答案】A【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答．【详解】解：A、x2B、x2C、x3D、(−2x)3故选：A5．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算(−m3n)A．−m6n2 B．m6n【答案】B【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据积的乘方和幂的乘方法则计算，即可求解．【详解】解：(−m故选：B．6．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算−322022A．23 B．32 C．−2【答案】B【分析】本题考查积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是关键．利用积的乘方的逆用将am【详解】解：−====故选：B．二、填空题7．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知a2m=2，bm=5【答案】10【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则．先根据积的乘方运算法则将所求式子变形，然后把已知条件代入求值即可．【详解】解：∵a2m=2∴==2×5=10，故答案为：10．8．（23-24七年级下·全国·单元测试）若1284÷83【答案】19【分析】本题主要考查了幂的有关运算，幂的乘方以及同底数幂的除法法则．将1284÷83变形为【详解】解：∵1284÷8∴219∴n=19，故答案为：19．9．（23-24七年级下·全国·期末）计算：−a2【答案】−【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．【详解】−a故答案为：−10．（23-24七年级下·山东聊城·期末）比较大小2775【答案】＞【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，有理数大