高中数学第三章指数函数和对数函数3.6指数函数幂函数对数函数增长的比较课件北师大版必修

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较当a>1时,指数函数y=ax是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快.当a>1时,对数函数y=logax是增函数,并且当a越小时,其函数值的增长就越快.当x>0,n>1时,幂函数y=xn显然也是增函数,并且当x>1时,n越大,其函数值的增长就越快.做一做

四个函数在第一象限中的图像如图所示,a,b,c,d所表示的函数可能是(

)

解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图像的特点,a,c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数.b,d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.答案:C思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函数,且它们的增长速度是一样的.(

)(2)函数y=2x与函数y=x3的图像有且只有两个交点.(

)(3)指数函数一定比对数函数增长的快.(

)×

√×

探究一探究二探究三思想方法探究一函数增长快慢的比较

【例1】导学号91000139已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图,设两个函数的图像相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.分析:(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线所对应的函数;(2)通过计算比较函数值的大小关系,求出a,b的值.探究一探究二探究三思想方法解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当x<x1时,2x>x3,即f(x)>g(x);当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x).因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练1

(1)下列所给函数,增长最快的是(

)

A.y=5x

B.y=x5C.y=log5x

D.y=5x(2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:其中关于x成指数函数变化的函数是

.

探究一探究二探究三思想方法解析:(1)在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数y=5x,故选D.(2)指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为6,18,54,162,486,1

458,4

374,…,是成倍增加的,因而y1呈指数变化.答案:(1)D

(2)y1探究一探究二探究三思想方法探究二根据函数的不同增长特点比较大小

【例2】

比较下列各组数的大小:分析:先观察各组数值的特点,然后考虑构造适当的函数,利用函数的性质或图像进行求解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法(2)令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图像相交.由图像知log20.3<0.32<20.3.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练2

设,b=log23,

,则

(

)

A.a<b<c

B.a<c<bC.b<c<a

D.b<a<c解析:由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到a<0,0<c<1,而b=log23>1,因此选B.答案:B探究一探究二探究三思想方法探究三函数不同增长特点在实际问题中的应用

【例3】

导学号91000140某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求?解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图像如图所示:探究一探究二探究三思想方法观察图像发现,在区间[10,1

000]上模型y=0.25x,y=1.002x的图像都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1

000]上是单调递增的,当x∈(20,1

000]时,y>5,因此该模型不符合要求.对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1

000]时,y>5,因此,也不符合要求.对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1

000]上是增加的,且当x=1

000时,y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.探究一探究二探究三思想方法再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当x∈[10,1

000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图像(图略),由图像可知f(x)在[10,1

000]上是减函数,因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1

000]时,y<0.25x.这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练3

某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势.现有三种函数模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q为正常数,且q>2).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系,应选

作为模拟函数;若f(1)=4,f(3)=6,则所选函数f(x)的解析式为

.

解析:由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)(x-q)2+p,当x=1时,y=4且x=3时,y=6,答案:③

f(x)=(x-1)(x-4)2+4探究一探究二探究三思想方法数形结合思想在比较大小中的正确应用典例已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图像,结合图像比较f(6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.解:列表:描点连线,如图:探究一探究二探究三思想方法结合图像及运算可知f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2

016>x2,从图像上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2

016)>g(2

016).又g(2

016)>g(6),所以f(2

016)>g(2

016)>g(6)>f(6).探究一探究二探究三思想方法1234561.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是

(

)A.y=100x

B.y=log100xC.y=x100

D.y=100x解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.答案:D1234562.下面对函数

在区间(0,+∞)上的增减情况的说法中正确的是(

)A.f(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越快B.f(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越慢C.f(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越慢D.f(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越快解析:由图像可知两个函数的增减速度都是越来越慢的.答案:C1234563.(2016河北石家庄高中模拟)为了治理沙尘暴,A市政府大力加强环境保护,其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%,那么经过x年绿色植被的面积为y,则y=f(x)的图像大致为(

)123456解析:由已知条件可得函数关系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a为草场绿色植被的初始面积