2025年北师版八年级数学寒假预习 第08讲 三角形的证明 单元综合检测

第08讲三角形的证明单元综合检测（重点）一、单选题1．两边长3和7的等腰三角形的周长是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．122．在中，，，，则的长是（

）A．6 B．4 C．3 D．23．如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（

）A． B． C． D．4．在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．5．如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（）A．10 B．6 C．5 D．36．如图，等边的周长为，则它的高为（

）A． B． C． D．7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．8．如图，对于，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于长为半径在的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于E、F两点；连接，恰好，已知于D，周长为16，，则长为（

）A．5 B．8 C．9 D．109．将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（）A． B． C．3 D．10．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接BM；下列结论：①；②；③BM平分；（4），其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图，在中，，，是的平分线，则．12．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的交点；到三角形三边距离相等的点是三角形的交点．13．如图，点在的平分线上，于点，且，如果是射线上一点，那么长度的最小值是．14．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为．15．如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为．

16．如图，在中，，点在上，作交于点，若，，则的长度为．17．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是．18．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则．三、解答题19．如图，在中，，且于点，是AB的延长线上一动点，是CB上的一动点（不与、重合），若，求证：．20．如图，已知．(1)求证：；(2)当时，求的度数．21．如图，是线段的垂直平分线，，是上的两点，求证：．

22．如图，中，，长为，点是上的一点，，(1)求证：；(2)求线段的长．23．如图，在中．(1)尺规作图：作的平分线BD，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）(2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得；(3)求点D到AB的距离．24．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）．(1)求海岛B到海岛C的距离；(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？25．如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点．(1)求证：是等边三角形；(2)试判断线段和的数量关系，并说明理由．26．如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，．(1)求证：；(2)求的大小；(3)求的长．27．如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点．(1)直接写出点A，B的坐标：A（，），B（，）；(2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标；(3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值．28．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）．②如图3，若点在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系．(2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由．第08讲三角形的证明单元综合检测（重点）一、单选题1．两边长3和7的等腰三角形的周长是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．12【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．分类讨论，运用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】解：当腰为7时，周长；当腰长为3时，，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为7，这个三角形的周长是17．故选：A．2．在中，，，，则的长是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】此题考查了含角直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据角所对的直角边等于斜边的一半即可得到的的长．【解析】解：在中，，，，∴，故选：A3．如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】解：还需要添加的条件是，理由是：∵，，，在和中，，∴，故选：C．4．在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判断四个选项即可．【解析】A、∵，∴最大角∴不是直角三角形，故选项不符合题意．B、∵，∴∴不是直角三角形，故选项不符合题意．C、∵，∴∴∴是直角三角形，故选项符合题意．D、∵，∴是等腰三角形，不一定是直角三角形，故选项不符合题意．故选C．5．如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案．熟知角平分线的性质是关键．【解析】解：如图，过点作于，平分，，，，，，故选：．6．如图，等边的周长为，则它的高为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等边三角形的性质可得，由三线合一可得，由垂线的性质可得，由等边的周长为可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是得解．【解析】解：是等边三角形，，又，，，，，，在中，根据勾股定理可得：，故选：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，垂线的性质，线段的和与差，等式的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键．7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．【解析】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意；B、∵，本选项结论正确，不符合题意；C、∵，本选项结论错误，符合题意；D、∵∴，∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意；故选：C．8．如图，对于，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于长为半径在的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于E、F两点；连接，恰好，已知于D，周长为16，，则长为（

）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．由作图痕迹知直线是线段的垂直平分线，推出，根据等腰三角形的性质求得，据此求解即可．【解析】解：由作图痕迹知直线是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，∵，，∴，∵周长为16，，∴，即，∴，故选：A．9．将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．【解析】解：如图，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故选：A．10．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接BM；下列结论：①；②；③BM平分；（4），其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，证明即可判断①，进而根据全等三角三角形的性质以及三角形内角和定理可得即可判断②，作于N，于F，进而证明，得出，根据角平分线的判定即可判断③，在上截取，连接．证明得出为等边三角形，则，进而判断④，即可求解．【解析】证明：①∵等边和等边，∴，，，在和中，，∴，∴，故①正确；②∵，∴，∵，则，故②正确；③作于N，于F，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，故③正确；④在上截取，连接．由②知，∴，由③知：平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴为等边三角形，则，故，故④正确；正确的有①②③④，共4个．故答案为：D．二、填空题11．如图，在中，，，是的平分线，则．【答案】5【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果．【解析】解：，的平分线交边于点，，．故答案为：512．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的交点；到三角形三边距离相等的点是三角形的交点．【答案】三边的中垂线三个内角的角平分线【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，利用线段的垂直平分线的性质与角平分线的性质可得答案．【解析】解：∵到线段两端点距离都相等的点在这条线段的中垂线上，∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边的中垂线的交点，∵角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，∴到三角形三边距离相等的点是三角形的三个内角平分线的交点，故答案为：三边的中垂线，三个内角的角平分线．13．如图，点在的平分线上，于点，且，如果是射线上一点，那么长度的最小值是．【答案】1【分析】过点C作CE⊥OB于点E，根据角平分线的性质解答即可．【解析】解：过点C作CE⊥OB于点E，∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝1，∴CE＝CD＝1，即CE长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为．【答案】或【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．【解析】解：①是等腰三角形的底角，②当是等腰三角形的顶角时，它的底角的度数为：，符合要求；故答案为：或．15．如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为．

【答案】/9厘米【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得，再利用的周长为，即可求出的长．【解析】解：∵是的垂直平分线，∴，∴的周长，∵，的周长为，∴，解得，故答案为：．16．如图，在中，，点在上，作交于点，若，，则的长度为．【答案】6【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，得出，得出，求出，设，则，，在中，，解得：，即可得出答案．【解析】解：连接，∵，，，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，设，则，，在中，，解得：，∴，故答案为：6．17．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是．【答案】【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可．本题考查了等边三角形的性质和对称性，垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．【解析】解：∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，∴，，∴直线为的一条对称轴，∴点B，点C关于直线对称，连接，交于点，则点为取最小值时的位置点，此时，点P与点M重合，∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，∴，∴直线是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．18．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．【解析】解：延长，交于点，，平分，，，，，，，，，，，由折叠的性质可知，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，,．故答案为：．三、解答题19．如图，在中，，且于点，是AB的延长线上一动点，是CB上的一动点（不与、重合），若，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过“”证明，即可作答．【解析】证明：∵，在和中，∴20．如图，已知．(1)求证：；(2)当时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定：（1）根据，，即可求得答案；（2）根据，可得，进而可求得．【解析】（1）∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴，．∴．∴．21．如图，是线段的垂直平分线，，是上的两点，求证：．

【答案】证明见解析【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，根据垂直平分线的性质得到，，再由等边对等角得到，，根据角的和差即可证明．【解析】证明：是线段的垂直平分线，，．，，∴，即．22．如图，中，，长为，点是上的一点，，(1)求证：；(2)求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理.（1）根据，可求得；（2）设，则，根据，可得关于的一元二次方程．【解析】（1）∵，，，∴．∴．∴．（2）设，则．∵，∴．∵，∴，解得：．∴．23．如图，在中．(1)尺规作图：作的平分线BD，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）(2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得；(3)求点D到AB的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．（1）以点为圆心，任意长为半径画弧与相交；再以两交点为圆心，同一半径画弧即可完成作图；（2）作出线段的垂直平分线即可；（3）作，证，得，；根据，即可求解；【解析】（1）解：如图所示：BD即为所求（2）解：如图所示：点即为所求（3）解：作，如图所示：∵BD平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴点D到AB的距离为．24．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）．(1)求海岛B到海岛C的距离；(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里(2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短(3)救援队先到【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定：（1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可；（2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答；（3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论．【解析】（1）解：由题意，得：海里；∵，∴，∴∴海里；答：海岛B到海岛C的距离为30海里；（2）解：过C作于点H，又，∴，∴（海里），∴从B处到H处需要小时，∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时；（3）解∶由题意：海里，由（1）知：海里，∴，∵，∴为等边三角形，∴海里，∴救援队所用时间为（小时），救援队所用时间为（小时），∵，∴救援队先到．25．如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点．(1)求证：是等边三角形；(2)试判断线段和的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）证明，得到，进而得到，推出，即可证明；（2）连接，由（1）知，得到，证明，得到，，推出，根据含角的直角三角形的性质即可求解．【解析】（1）证明：是等边三角形，，，在和中，，，，，，，，，，，是等边三角形；（2）解：如图，连接，由（1）知，，是等边三角形，，在与中，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．26．如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，．(1)求证：；(2)求的大小；(3)求的长．【答案】(1)见详解(2)(3)【分析】（1）运用证明解题即可；（2）利用勾股定理求出长，然后利用勾股定理的逆定理得到，解题即可；（3）过点作于点，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解题即可．【解析】（1）证明：∵和是等腰直角三角形，，，，．（2）解：在中，，，在中，，，，．（3）解：过点作于点，，，，，由勾股定理可得，即，解得：或（舍去），，，在中，．【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握勾股定理是解题的关键．27．如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点．(1)直接写出点A，B的坐标：A（，），B（，）；(2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标；(3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值．【答案】(1)，；(2)点P的坐标为或；(3)存在，或4或3【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，（1）把代入求得点A的坐标，把x=0代入求得点的坐标即可；（2）过点作轴，垂足为，由的面积为6，求的长度，从而得到点的坐标；（3）由条件分，，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值；熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．【解析】（1）解：把代入，解得，点的坐标为，把代入，解得，点的坐标为，故答案为：，；（2）解：如图，过点作轴，垂足为E，的面积为6，，即，解得，点，,点的坐标为或；（3）解：存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下，①当时，如图，过点C作轴，垂足为M，交直线l于点N，轴，直线轴，直线，，，，，，，，，，，，，②当时，如图，过点C作轴，垂足为M，过点Q作轴，垂足为N，同理可证，，，，，当时，如图，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，同理可证，，，设，，，，，，解得，，综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，或4或3．28．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等