2025年北师版八年级数学寒假复习 专题01 承上启下篇-全等三角形、平行线的证明

专题01承上启下篇-全等三角形、平行线的证明题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1AAS（主要）、SAS】【题型2SAS】【题型3全等三角形选择、填空综合】【题型4平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】【题型5平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】【题型6全等三角形、平行线的证明难点分析】1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.3.全等三角形其他知识点.4.平行线的三条判定定理；平行线的三条性质定理；平行线传递性定理.5.三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.6定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.题型归纳【题型1AAS（主要）、SAS】1．如图，，，求证：．2．如图，是的中线，过点C作，交的延长线于点E，求证：．3．如图，已知，．(1)求证：；(2)若，，求的长．4．如图，，，，，垂足分别为，，，.求的长.5．如图，的两条高交于点H，已知，．(1)求证：；(2)求．6．已知：如图，．求证：(1)；(2)．7．如图，已知，，，，，且点B在线段上．(1)求的长；(2)猜想与的位置关系，并说明理由．8．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．9．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，．(1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：；(2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明．【题型2SAS】10．如图，已知，，，求证：．11．已知：，，，求证：(1)；(2)．12．如图，已知连接．(1)求证：；(2)若求的度数．13．如图，中，，，，平分交于，点为边上一点，．(1)求证：；(2)的周长是________．14．如图，已知在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：．【题型3全等三角形选择、填空综合】15．如图，，点B，M，N，C在一条直线上，若，，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．816．如图，已知，只要再添加一个条件：，就能使．（填一个即可）

17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是18．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明的依据是（

）A． B． C． D．19．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（

）A．已知两边及夹角 B．已知三边C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角20．有一座小山，现要在小山的A，B两端开一条隧道，如图，施工队要知道A，B之间的距离，于是先在平地上取一可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，的长度分别为，则A，B之间的距离为m．21．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（

）A． B． C． D．22．根据下列已知条件，能画出唯一的是（

）A．，， B．，，C．， D．，，23．如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为．【题型4平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】24．如图，点N在线段上，与交于点．(1)判断与是否平行，并说明理由；(2)若，求的大小．25．如图，，点E在上，与交于点F，，．(1)求的长度；(2)求的度数．26．如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．

(1)求证：；(2)求的度数．27．如图，在中，，于点D．(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．28．如图，在和中，，，，，，，．(1)求的度数；(2)求的长．【题型5平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】29．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线30．如图，下列结论正确的是(

)A．与是对顶角 B．与是同位角C．与是同旁内角 D．与是内错角31．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．32．如图，，平分，，则的度数是（

）

A． B． C． D．33．如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（

）A． B． C． D．34．将一副三角板按如图所示摆放，若，则的度数是（

）A． B． C． D．35．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转度．36．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则．37．已知，点C为射线BD上一动点，平分交于点P，若为直角三角形，则．38．如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为°【题型6全等三角形、平行线的证明难点分析】39．如图，在中，是的中线，延长点，使，．

(1)求证：；(2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由．40．已知，四边形中，，连接，平分交于点E，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的平分线与的延长线交于F，且，求；(3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分交于N，交于G．当H在上运动时（不与B点重合）．，95°，求的度数．41．【探究发现】（）如图，在中，AD是的中线，作，边BM交AD延长线于点．求证：；【初步应用】（）如图，在中，，，AD是中线，则AD的取值范围；【探究提升】（）如图，AD是的中线，过点分别向外作、，使得，，连接，延长交于点，判断线段与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．42．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

43．【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．过关检测一、解答题1．如图，，，分别是，的对应边上的中线．(1)求证：；(2)把第（1）小题中的结论用文字叙述出来．2．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）(1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得；(2)作图依据______．3．如图，在四边形中，为上的一点求证：(1)平分；(2)4．如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．(1)求证：；(2)若，求证：．5．如图，，，，，垂足分别为．(1)求证：；(2)延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积．6．如图，，平分，平分，点在上，且，．(1)与垂直吗？说明你的理由；(2)若，，试求出四边形的面积．7．如图（1），已知中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点．(1)试说明：．(2)若直线绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请说明理由；(3)若直线绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变，问与，关系如何？请直接写出结果，不需说明．8．如图，已知和中，，，．(1)如图1，若和相交于点F，当时，请猜想和的关系是________；(2)若，与的位置如图2所示时，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如图3，和相交于点F，直接写出的度数为________．（用含α的式子表示）

专题01承上启下篇-全等三角形、平行线的证明题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1AAS（主要）、SAS】【题型2SAS】【题型3全等三角形选择、填空综合】【题型4平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】【题型5平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】【题型6全等三角形、平行线的证明难点分析】1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.3.全等三角形其他知识点.4.平行线的三条判定定理；平行线的三条性质定理；平行线传递性定理.5.三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.6定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.题型归纳【题型1AAS（主要）、SAS】1．如图，，，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；由可得，根据可证，即可得证．【解析】证明：∵，∴，，，，∴，∴．2．如图，是的中线，过点C作，交的延长线于点E，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先根据是的中线得，再由得，进而可证，再由三角形全等的的性质可证得结论．【解析】证明：是的中线，，.，，在和中，，，．3．如图，已知，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）根据证明即可；（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；【解析】（1）证明：，，在和中，，．（2）解：，，．4．如图，，，，，垂足分别为，，，.求的长.【答案】.【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键.根据，，利用同角的余角相等得出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差关系即可得答案.【解析】证明：∵，，，∴，∴．∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴.5．如图，的两条高交于点H，已知，．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积计算：（1）先由三角形高的定义得到，再导角证明，则可由证明；（2）根据全等三角形对应边相等得到，则，据此根据三角形面积计算公式求解即可．【解析】（1）证明：∵的两条高交于点H，∴，∴，∵∴，又∵，∴（2）解：∵，∴，∴，∴．6．已知：如图，．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．（1）根据即可证明；（2）根据全等三角形的性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的性质即可证明．【解析】（1）证明：在和中，，∴．（2）证明：∵，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴．7．如图，已知，，，，，且点B在线段上．(1)求的长；(2)猜想与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：（1）证明求出的长，进而求出的长即可；（2）根据三角形内角和定理证明，进而证明，据此可得结论．【解析】（1）解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：如图所示，延长交于H，∵，∴，∴，∴．8．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理．（1）先证明，再证明，得出结论即可；（2）由全等三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可求解．【解析】（1）证明：∵，∴，即：，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．9．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，．(1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：；(2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）由题可得，再由全等三角形的判定和性质得出，则，，即可得出．（2）同（1）可得，则，，再由即可得出．【解析】（1）在中，．，，．，．在和中，，，，．，．（2）．证明：，．在中，，．在和中，，，，，，．【题型2SAS】10．如图，已知，，，求证：．【答案】【解析】略11．已知：，，，求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．（1）根据平行线的性质可得，由可得．运用证明与全等；（2）根据两三角形全等得到，利用同位角相等，证明出两直线平行．【解析】（1）证明：∵，，，∴，，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴．12．如图，已知连接．(1)求证：；(2)若求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；（1）根据题意由，可得，即可求证；（2）由，可得，再由内角和为即可求解．【解析】（1）证明：∵，∴，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．13．如图，中，，，，平分交于，点为边上一点，．(1)求证：；(2)的周长是________．【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的和差计算．利用角平分线的定义来求出角相等，继而证明三角形全等是解答关键．（1）由角平分的定义得到，利用判定三角形全等即可求解；（2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的和差求出的长度，再利用三角形的周长公式求解．【解析】（1）证明：平分交于，．在和中．（2）解：，．，，，，，即的周长为：9．故答案为：9．14．如图，已知在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用等式的性质及已知条件可推出，然后利用即可得出结论．【解析】证明：，，即：，在和中，，．【题型3全等三角形选择、填空综合】15．如图，，点B，M，N，C在一条直线上，若，，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题关键．利用得到，从而得到，然后利用即可求解．【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴；故选：B．16．如图，已知，只要再添加一个条件：，就能使．（填一个即可）

【答案】或者（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可．【解析】解：所添加条件为：或；①∵，，为公共边，∴；②∵，，为公共边，∴；故答案为：或（答案不唯一）．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是【答案】（或或或）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【解析】∵，，∴，，①添加条件为：，在和中，，∴；②添加条件为：，在和中，，∴；③添加条件为：，∴，在和中，，∴；④添加条件为：，在和中，，∴；∴这个条件可以是（或或或）,故答案为：（或或或）．18．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明的依据是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，由作法易得，，，根据可得到三角形全等．【解析】解：解：由作法易得，，，依据可判定，则（全等三角形的对应角相等）．故选：A．19．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（

）A．已知两边及夹角 B．已知三边C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角【答案】C【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答．【解析】解：由图可知：已知线段，，，故选：C．20．有一座小山，现要在小山的A，B两端开一条隧道，如图，施工队要知道A，B之间的距离，于是先在平地上取一可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，的长度分别为，则A，B之间的距离为m．【答案】800【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得．【解析】解：在和中，，，，，故答案为：800．21．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；【解析】解：如图，，在和中，，，，，，故选：B．22．根据下列已知条件，能画出唯一的是（

）A．，， B．，，C．， D．，，【答案】D【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案．【解析】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意；∵，，，∴，故B不符合题意；，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意；当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意；故选D．23．如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为．【答案】6或8【分析】本题考查的是全等三角形与动点问题．先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论．【解析】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：，当，点在上，点在上，如图所示：此时，，，，，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，，，（不符合题意，舍去）；当，点在上，点在上，如图所示：要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，和重合，和重合，（不符合题意，舍去）；当，点在上，点在上，如图所示：，，，，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，，，（符合题意）；当，点在上，点与点重合，如图所示：，，，，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（符合题意）；要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或，故答案为：6或8.【题型4平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】24．如图，点N在线段上，与交于点．(1)判断与是否平行，并说明理由；(2)若，求的大小．【答案】(1)平行，见解析(2)【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．（1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证；（2）根据，可得，再由，可得，即可求解．【解析】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．25．如图，，点E在上，与交于点F，，．(1)求的长度；(2)求的度数．【答案】(1)3(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质：（1）根据全等三角形对应边相等可得，则；（2）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．26．如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．

(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义：（1）利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论；（2）先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解．【解析】（1）证明：∵，且平分，∴，又∵，∴，∴．（2）解：由（1）知，．在中，∵，∴．∴．27．如图，在中，，于点D．(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)，【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质进行求解即可；（2）先利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键．【解析】（1）解：∵在中，，，∴，∵，即，∴；（2）解：∵在中，，，，∴．设，则，在中，由勾股定理得：，∴．解得．∴．28．如图，在和中，，，，，，，．(1)求的度数；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质；（1）先根据全等三角形的判定“”得到，根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案；（2）根据全等三角形的对应边相等求出，根据图形计算即可．【解析】（1）解：∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴；（2）解：根据解析（1）可知：，∵，∴．【题型5平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】29．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线【答案】D【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断．【解析】解；A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意；B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”，正确，本选项不符合题意；C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意；D、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键．30．如图，下列结论正确的是(

)A．与是对顶角 B．与是同位角C．与是同旁内角 D．与是内错角【答案】B【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可．【解析】解：A、与不是对顶角，故此选项错误；B、与是同位角，故此选项正确；C、与不是同旁内角，故此选项错误；D、与不是内错角，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的特征是解题的关键．31．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据平行线的性质可得的度数，再根据邻补角的性质可得的度数．【解析】解：如下图，，，，，故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，邻补角的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．32．如图，，平分，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=130°，∴∠BDC=180°-∠ABD=50°，∴∠2=∠BDC=50°．故选C．【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线定义，解题的关键是求出∠ABD的度数．33．如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案．【解析】解：，，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．34．将一副三角板按如图所示摆放，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、三角形外角的定义与性质、对顶角相等，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质．根据三角板的特征先得出，再根据三角形外角的性质及对顶角相等逐步推得、及．【解析】解：如图，依题得：，是的外角，，，，，是的外角，．故选：．35．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转度．【答案】42【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转．【解析】解：如图：

∵，∴，∵，∴当时，，∴直线b绕点A逆时针旋转．故答案为：42．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．36．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则．【答案】30【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形外角的性质，先计算出，由折叠前后对应角相等可得，再由外角的性质可得，进而可得．【解析】解：中，，，，由折叠知，，，故答案为：30．37．已知，点C为射线BD上一动点，平分交于点P，若为直角三角形，则．【答案】或【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和和外角的性质，先根据角平分线得到，然后分和两种情况分别计算解题即可．【解析】解：∵平分，∴，当时，；当时，；故答案为：或．38．如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为°【答案】【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理等知识，证明，则，得到，则，利用三角形内角和定理即可求出答案.【解析】解：∵平分∴在和中，∴∴∴∵∴∴故答案为：【题型6全等三角形、平行线的证明难点分析】39．如图，在中，是的中线，延长点，使，．

(1)求证：；(2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明解析；(2)，理由见解析．【分析】()延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；()如图所示，作，可证，由全等三角形的性质对应角相等角从而得出，进而得出，故可证，得到，等量转化即可求得；本题考查了全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【解析】（1）如图所示，延长至点，使，

在与中，，∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵平分，，，∴，，∴，作，如图，

在与中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，∵，∴．40．已知，四边形中，，连接，平分交于点E，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的平分线与的延长线交于F，且，求；(3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分交于N，交于G．当H在上运动时（不与B点重合）．，95°，求的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由，平分，得，，得出；（2）先求出，由平分，平分，可求出，利用平行线性质得出，等量代换即可求解；（3）在中，根据角之间的关系，得，再根据角之间的关系得，则可得出，然后代入数值即可求解．【解析】（1）证明∶∵，∴，∵平分，∴又，∴，∴，即；（2）解∶∵，，∴，∵平分，平分，，，∴，又∵，∴，∴，即；（3）解：∵在中，，又∵，∴，∴，∴，又，，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递．41．【探究发现】（）如图，在中，AD是的中线，作，边BM交AD延长线于点．求证：；【初步应用】（）如图，在中，，，AD是中线，则AD的取值范围；【探究提升】（）如图，AD是的中线，过点分别向外作、，使得，，连接，延长交于点，判断线段与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．【答案】（）证明见解析；（）；（），，理由见解析【分析】（）利用证明即可；（）如图，延长AD至，使得，则，先证明，得到，再根据三角形三边关系得，据此即可求解；（）如图，延长AD到，使得，连接BM，则，证明得到，，即得，再根据得到，即可得到．【解析】（）证明：∵AD是的中线，∴，∵，，∴；（）如图，延长AD至，使得，则，∵AD是的中线，∴，∵，∴，∴，在中，由三角形三边关系得，，∴，∴，故答案为：；（）解：，，理由如下：如图，延长AD到，使得，连接BM，则，由（）可得，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．42．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．（1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论；（3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论．【解析】证明：延长到G，使，连接．

∵，∴．∴．∴．∴．又∵∴．∴．∵．∴（2）（1）中的结论仍然成立．，，在与中，，，，，即在与中，，即，；（3）结论不成立，应当是．证明：在上截取，使连接．

∵，∴．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴．43．【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；（2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论．【解析】解：（1），理由如下：如图1，延长到点G，使，连接，在和中，，≌，，，，，，在和中，，≌，故答案为：；（2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接，，，，在和中，，≌，，，在和中，，≌，；（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，，，，即，，，，【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．过关检测一、解答题1．如图，，，分别是，的对应边上的中线．(1)求证：；(2)把第（1）小题中的结论用文字叙述出来．【答案】(1)见详解(2)全等三角形对应边上的中线相等【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键；（1）根据全等三角形的性质得出，，，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．（2）根据（1）中结论可直接叙述即可【解析】（1）证明：∵，∴，，，∵，分别是，的对应边上的中线，，∴，∴，∴．（2）由（1）中结论可用文字叙述为：全等三角形对应边上的中线相等．2．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）(1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得；(2)作图依据______．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定及基