2025年沪科版九年级数学寒假预习 专题24.15 圆全章专项复习【6大考点21种题型】

专题24.15圆全章专项复习【6大考点21种题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1图形的旋转】 1【题型1利用旋转的性质求角的度数】 2【题型2利用旋转的性质求线段长度】 3【题型3利用旋转的性质求面积】 4【题型4平面直角坐标系中的旋转变换】 5【题型5与旋转有关的探究性问题】 7【考点2中心对称】 10【题型6识别中心对称图形】 11【题型7中心对称的性质运用】 11【题型8与中心对有关的探究问题】 12【考点3圆的有关性质】 15【题型9垂径定理的应用】 16【题型10弧、弦、圆心角的关系】 17【题型11圆周角定理及其推论的应用】 18【题型12巧用圆内接四边形的性质求解】 20【考点4点和圆、直线和圆的位置关系】 21【题型13切线的判定】 23【题型14切线的性质】 24【题型15切线长定理】 25【题型16三角形的外接圆与内切圆】 27【考点5正多边形和圆】 28【题型17正多边形和圆的有关计算】 29【题型18正多边形中的规律探究性问题】 30【考点6弧长和扇形面积】 32【题型19圆锥侧面展开图的有关计算】 32【题型20不规则图形面积的计算】 34【题型21利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 35【考点1图形的旋转】知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。【题型1利用旋转的性质求角的度数】【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形ABCD的边BC绕点C顺时针旋转得到CE，连接AE，再将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接FE,FB，若∠BCE=α0<α<90°，则∠ABF的大小为（

A．α2 B．α−30° C．45°−α2【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为三角形内一点．PA=32，PB=8，PC=10，则【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB1C1．若点B1恰好落在BC边上，且AA．14° B．16° C．18° D．20°【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含30°角的直角三角板，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°<α<90°）得到△A1B1C1，若C1B1交AB于点【题型2利用旋转的性质求线段长度】【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=62，点D、点E在边AC上，且∠DBE=45°，若AE=9，则CD=

【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=23，BC=3，将△ABC绕点C逆时针旋转60∘，得到△CDE，连接AD，

【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，将△ABC绕点A旋转，得到△AB′C′，其中B、C的对应点分别是点B′、C′．如果点B′在正方形ABCD内，且到点B【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上的动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形，则【题型3利用旋转的性质求面积】【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′A．2−2 B．2−1 C．22【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，BC=23，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，D、E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD=3，则△OFC的面积是（）A．923 B．2723 C．【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△A′B′C，若△ABC【题型4平面直角坐标系中的旋转变换】【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O0,0，A3,4，B8,4(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；(2)在线段AB上画点E，使∠BCE=45°（保留画图过程的痕迹）；(3)连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A3,4，B1,1，(1)△ABC先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1（点A1、B1、C1(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2（点A2、C2分别与点A【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A1,0(1)平移△ABC，若点C的对应点C1的坐标为7,4，画出平移后的△(2)将△ABC以点0,0为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A(3)已知将△A1B【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A(3)在x轴上找一点P使得PC+PB最小，则P点坐标(4)请直接写出以A1，B2，【题型5与旋转有关的探究性问题】【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角的计算.【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：如图1，已知点D是等边三角形△ABC边BC上的一点（不与点B，C重合）．动手操作：第一步：连接AD，以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE；第二步：以D为旋转中心，将线段DC逆时针旋转120°，得到线段DF，连接BF，交DE于点M．特例探究：（1）如图2，当点D为BC中点时，点F恰好在AB上，请写出线段EM与DM的数量关系，并说明理由；探索发现：（2）如图1，当点D不是BC中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当BC=6，CD=2时，请直接写出AM的长．【变式5-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5，求∠APB的度数．解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP′A的位置，连接．P∴PP又∵AP=4，A∴P∴△PAP∴∠APB的度数为______．（2）【类比延伸】如图2，在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形ABCDEF内部有一点P，若PA=4，PB=2，PF=213，请直接写出∠APB【变式5-2】（23-24九年级·湖北孝感·期末）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．

(1)探究发现如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若(2)类比延伸如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若(3)迁移应用如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC=60°，则存在实数λ使得【变式5-3】（2024·吉林长春·二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．观察猜想：（1）如图1，在△DEF旋转过程中，求证：AE=CF；探究发现：（2）如图2，当点F在△ABC内且A、E、F三点共线时，试探究线段CF、AF与DE之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）若△ABC中，AB=5，在△DEF旋转过程中，当AE=3且A、E、F三点共线时，直接写出【考点2中心对称】知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。知识点三中心对称的性质有以下几点：关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。【题型6识别中心对称图形】【例6】（23-24九年级·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【变式6-1】（2024·四川自贡·模拟预测）在图形“线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形”中是轴对称不是中心对称的图形有．【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式6-3】（23-24九年级·湖北黄冈·期中）下列四种图案中，是中心对称图形的有个，

【题型7中心对称的性质运用】【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，交于点O．若△BOC与△B′O′C关于点C成中心对称，连接AA．15 B．14 C．13 D．12【变式7-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD+BC，AD∥BC，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．求证：【变式7-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于点A成中心对称的△AB′C′，其中点B对应点为B′，点C对应点为CA．128 B．643 C．64 D．【变式7-3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线y=−83x+4与坐标轴的交点，点B(−2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF

【题型8与中心对有关的探究问题】【例8】（2024·山西晋中·模拟预测）综合与实践[动手操作]任意一个四边形ABCD通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EH，P是线段EH的中点，连接PF，PG，沿线段EH，PF，PG剪开，将四边形ABCD分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的△P关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（

）A．①→①是轴对称B．②→②是平移C．③→③是中心对称D．④→④是中心对称[性质探究]如图3，连接EF′，F′C′[综合运用]若△P′MN是一个边长为4的等边三角形，则四边形E【变式8-1】（23-24九年级·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？

问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．

问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点O的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·期中）如图，△ABC是等边三角形，BC边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．操作探究1：在图中作出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，连接操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），△ABC与△A1B1C1关于O成中心对称，当C1操作探究3：若△ABC是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出△ABC关于点O的中心对称图形．△A1B1C1的一个参考图形，连接AB【变式8-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A2,0，点B0,6，点D−6,0，以AB、AD为边作▱ABCD，点E为BC中点，连接DE

(1)分别求出线段AE和线段DE所在直线解析式；(2)点P为线段AE上的一个动点，作点B关于点P的中心对称点F，设点P横坐标为a，用含a的代数式表示点F的坐标（不用写出a的取值范围）；(3)在（2）的条件下，①当点F移动到△ADE的边上时，求点P坐标；②M为PE中点，N为PA中点，连接MF、NF．请利用备用图探究，直接写出在点P的运动过程中，△MFN周长的最小值和此时点P的坐标．【考点3圆的有关性质】知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二圆的相关概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。知识点三圆的对称性圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。知识点四垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。知识点五弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。知识点六圆周角定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点七圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。【题型9垂径定理的应用】【例9】（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面AB的宽度为8米，拱高CD（AB的中点C到水面的距离）为2米．(1)求主桥拱所在圆的半径．(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为EF，检测仪观测点E的仰角为25.6°，求此时水面的宽度．（参考数据：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，【变式9-1】（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？【变式9-2】（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为2寸，锯道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求该圆材的直径为多少寸?【变式9-3】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=40cm，GH为桌面截线，水面截线MN∥GH，直径一端点B刚好与点N(1)计算MN的长度，并比较直径AB与MN长度的大小；(2)请在图中画出线段CD，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．【题型10弧、弦、圆心角的关系】【例10】（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB=CD．(1)求证：AC=BD；(2)连接BC，作直线EO，求证：【变式10-1】（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，AC=CB，D，E分别是半径OA，OB的中点．求证：CD=CE【变式10-2】（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，如图，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求证：AC=DF．【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）已知AB，CD是圆O的内接四边形ACBD的两条对角线，AB，CD相交于点(1)如图1，求证：BM=DM．(2)在图1中找出一组全等的三角形，并给出证明．(3)如图2，圆O的半径为5，弦CD⊥AB于点P，当△CBP的面积为3.5时，求AB的长．【题型11圆周角定理及其推论的应用】【例11】（2024·贵州遵义·三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，连接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于点E．(1)写出图中一个与∠ACD相等的角______；(2)试判断△CDE的形状，并说明理由；(3)若⊙O的半径为23，∠ABC=60°，求AC【变式11-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，弦AB的弦心距为OF．（1）若AF=OF，则∠ADB的度数为；（2）若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长为．【变式11-2】（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥问题：景区计划在半径为1km的人工湖⊙O“X型”（1）如图①，若点A，B，C，D在⊙O上，则AC+BD的最大值为km；“L型”（2）如图②，若点A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；“T型”（3）如图③，若点A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足为D，则AC+BD的最大值为km．【变式11-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，弦CD，CE分别交AB于点F，G，且∠DCE=1(1)设∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度数；(2)求证：FG(3)若⊙O的半径为1，记△ACF，△BCG，△CFG的面积分别为S1，S2，S，设AF=a，BG=b，且满足【题型12巧用圆内接四边形的性质求解】【例12】（2024·福建泉州·模拟预测）已知AB，CD为⊙O的位于圆心两侧的两条弦，且AD=(1)如图1，连接AC，BD．求证：AB∥CD．(2)如图2，过点A作CD的垂线交⊙O于点E．若在AC上取一点F，使得AF=CE．求证：D，O，【变式12-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，A,B,C,D,E均是⊙O上的点，且BE是⊙O的直径，若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【变式12-2】（2024·吉林白城·模拟预测）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边AB上，若∠ABC=70°，则∠AEC=°．【变式12-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，试求四边形ABCD的面积和此圆半径的长．【考点4点和圆、直线和圆的位置关系】知识点一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。（2）用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点p在圆上d=r；点p在圆内d＜r。知识点二过已知点作圆（1）经过一个点的圆（如点A）以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。·O1A·O2·O3（2）经过两点的圆（如点A、B）以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。AB（3）经过三点的圆①经过在同一条直线上的三个点不能作圆②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d＜r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d＞r。知识点五切线的判定与性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线的其她性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点六切线长定理（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。（3）注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。知识点七三角形的内切圆与内心（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。（3）注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。【题型13切线的判定】【方法总结】因为切线与圆有且只有一个公共点,所以题中信息是否明确给出公共点可以作为判定切线方法选择的一个标准.【例13】（2024·广东广州·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，与AB相交于点E．(1)在CA的延长线上找一点F，使CF=CD，连接FD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：FD是⊙O的切线．【变式13-1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【变式13-2】（2024·山东青岛·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为BC的中点，∠ABE=∠C，E在CA的延长线上．(1)EB是⊙O的切线吗？为什么？(2)若DB=12AC【变式13-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线与过点A的直线相交于点E，且∠ABE=∠EAC．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)点F是弧AD的中点，点B在弧DF上，过点F作FG⊥AB于点G，是否存在常数k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【题型14切线的性质】【方法总结】已知圆的切线时,常连接圆心和切点,得到半径垂直于切线,通过构造直角三角形解决问题,即“见切线,连半径,得垂线”.【例14】（2024·湖南·二模）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，△ABC是等边三角形，AE是⊙O的切线，D是AC的中点，CD的延长线交AE于点E．(1)求证：AE∥(2)若DE=2，求△ADE的面积．【变式14-1】（2024·天津滨海新·模拟预测）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB=2AC．(1)如图①，点P是弧BC上一点，求∠APC的大小；(2)如图②，过点C作⊙O的切线MC，过点B作BD⊥MC于点D，BD与⊙O交于点E，若AB=4，求CE的长．【变式14-2】（2024·安徽合肥·三模）如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作⊙O与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AE=DE=8，求AF的长．【变式14-3】（2024·山东·模拟预测）如图，AD是⊙O的直径，B、C都是⊙O上的点，连接AB、BC、OC、AC，E是(1)证明：DE是⊙O的切线；(2)连接OE，交⊙O于点F．当CD=AO时，若CE=2，求EF的长．【题型15切线长定理】【例15】（23-24九年级·河南商丘·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA，且OA=OB．连接CE交OA于点F．(1)求证：AB=2AC．(2)若AC=3，求线段OC，CF【变式15-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若CD∥AB，AB=10，AD=6，则CB长（

）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【变式15-2】（2024·山东聊城·二模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是．【变式15-3】（23-24九年级·江苏扬州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．成果一：制作了三分角仪．图(1)是示意图，点B在半径OC的延长线上，CD⊥OC，BC=OC，CD足够长．若要将∠GAH三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在CD上，点B落在AG上，当AH与半⊙O相切时，AC、AO就将∠GAH三等分了．成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图(2)，具体步骤为：①将⊙O六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，OG长为半径作弧，交⊙O于点M、N，则点A、M、D、N将⊙O四等分．(1)请你说明三分角仪的正确性；(2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点．【题型16三角形的外接圆与内切圆】【方法总结】三角形内切圆的常用结论：【例16】（2024·上海·模拟预测）如图，AB是圆O直径，弦CE⊥AB，垂足为D，圆O周长为4π，AC=2(1)AE，求△AEC内切圆的面积；(2)BC，OE，求证：【变式16-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．(1)求证：∠BAD=∠CBD；(2)求证：BD=ID；(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．【变式16-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(1)求证：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．【变式16-3】（23-24九年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；(2)求证：DE=DB．【考点5正多边形和圆】知识点一正多边形的外接圆与圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二正多边形的性质（1）正n边形的半径与边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。（2）所有的正多边形都就是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也就是中心对称图形，正n边形的中心就就是对称中心。正n边形的每一个内角等于，中心角与外角相等，等于。【题型17正多边形和圆的有关计算】【方法总结】利用正多边形和圆的性质,已知正多边形的边长,求解与正多边形有关的量时,通常做法是作出正多边形的边心距,构造由半径、边心距、边长的一半围成的直角三角形,然后利用勾股定理解决.【例17】（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G．

(1)如图①，求证：点H，G三等分BD．(2)如图②，操作并证明．①尺规作图：过点O作AC的垂线，垂足为K，以点O为圆心，OK的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）②求证：CE是①所作圆的切线．【变式17-1】（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形ABCEF内接于⊙O，点D在⊙O上，则∠D的度数为（

）

A．45° B．50° C．60° D．72°【变式17-2】（2024·广东广州·三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN=1，则（1）⊙O的直径长为；（2）△AMN周长的最小值是．【变式17-3】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P．若⊙O的半径为1，(1)求AC的长；(2)求∠APD的度数．【题型18正多边形中的规律探究性问题】【方法总结】正多边形中规律探究性问题是重要的考点之一,解答这类问题的关键是灵活运用特殊与一般的思想.这类问题需要从简单的情形入手,由浅入深、由简单到复杂、由特殊到一般逐步分析探索,发现变化规律,再根据变化规律归纳出最后的结果.【例18】（2024·湖南湘西·中考真题）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB,BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=60°；（2）如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB,BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB,BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；……根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4⋯⋯An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是【变式18-1】（2015·山东威海·中考真题）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．24329 B．81329 【变式18-2】（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，图1中∠MON=120°，图2中∠MON=90°，图3中∠MON=72°…，根据这样的规律，图n中【变式18-3】（23-24九年级·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4(3)[总结]随着n的增大，kn【考点6弧长和扇形面积】知识点一弧长公式在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=。知识点二扇形面积公式在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。比较扇形的弧长公式与面积公式发现：S扇形=知识点三圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积就是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易的到圆锥的侧面展开图就是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。【题型19圆锥侧面展开图的有关计算】【例19】（2024·江苏盐城·三模）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；(2)将劣弧AC所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为．(3)求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．【变式19-1】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90°的扇形CAB．

(1)求阴影部分面积；(2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．【变式19-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为点D，E．

(1)若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；(2)在△DOE中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．【变式19-3】（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．【题型20不规则图形面积的计算】【例20】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图，扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转90°，得到扇形O′A′A．4π3+5C．4π3+7【变式20-1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=22，∠ACB=90°，D是AB的中点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在EF上（点E，F不与点C重合），半径DE，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为【变式20-2】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、EA．32 B．22 C．2 【变式20-3】（2024·广东惠州·三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．(1)填空：∠BCD=°；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．【题型21利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】【例21】（23-24九年级·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1，若把BP绕着点B逆时针旋转60°得到BP′，连接P(1)求∠BPC的度数；(2)求PP(3)求点P划过的路径长；(4)当BC=52时，如果△BP′A【变式21-1】（2024·江苏南通·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为22cm，将正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，则点A所经过的路径长为(

A．4πcm B．2+22πcm C．22πcm D．【变式21-2】（16-17九年级·山东济南·期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时针旋砖至A1B1C1D，使其停靠在矩形

A．5π6 B．5π3 C．5π2【变式21-3】（2024·山东淄博·二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是21+102

专题24.15圆全章专项复习【6大考点21种题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1图形的旋转】 2【题型1利用旋转的性质求角的度数】 3【题型2利用旋转的性质求线段长度】 7【题型3利用旋转的性质求面积】 13【题型4平面直角坐标系中的旋转变换】 18【题型5与旋转有关的探究性问题】 25【考点2中心对称】 36【题型6识别中心对称图形】 37【题型7中心对称的性质运用】 39【题型8与中心对有关的探究问题】 42【考点3圆的有关性质】 54【题型9垂径定理的应用】 55【题型10弧、弦、圆心角的关系】 60【题型11圆周角定理及其推论的应用】 64【题型12巧用圆内接四边形的性质求解】 73【考点4点和圆、直线和圆的位置关系】 78【题型13切线的判定】 80【题型14切线的性质】 86【题型15切线长定理】 92【题型16三角形的外接圆与内切圆】 98【考点5正多边形和圆】 104【题型17正多边形和圆的有关计算】 104【题型18正多边形中的规律探究性问题】 109【考点6弧长和扇形面积】 114【题型19圆锥侧面展开图的有关计算】 115【题型20不规则图形面积的计算】 121【题型21利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 128【考点1图形的旋转】知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。【题型1利用旋转的性质求角的度数】【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形ABCD的边BC绕点C顺时针旋转得到CE，连接AE，再将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接FE,FB，若∠BCE=α0<α<90°，则∠ABF的大小为（

A．α2 B．α−30° C．45°−α2【答案】C【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．连接DE，根据正方形的性质求得∠ECD=∠BCD−∠BCE=90°−α，∠CDE+∠CED=180°−∠ECD=90°+α，由CD=CE=CB得到∠CDE=∠CED=45°+12α，通过“SAS【详解】解：连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∵∠BCE=α，∴∠ECD=∠BCD−∠BCE=90°−α，∴∠CDE+∠CED=180°−∠ECD=180°−∵由旋转得CE=BC，∴CE=CD，∴∠CDE=∠CED=45°+1∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=90°−45°+由旋转可得∠EAF=90°，即∠EAB+∠FAB=90°，∵∠DAE+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠BAF，∵AD=AB，AE=AF，∴△ADE≌△ABFSAS∴∠ABF=∠ADE=45°−1故选：C．【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为三角形内一点．PA=32，PB=8，PC=10，则【答案】135°或135度【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形APC绕点A顺时针旋转90°，点C的对应点为点E，连接EP，根据勾股定理得EP=6，根据勾股逆定理判断，△BPE是直角三角形，即可作答．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，故把三角形APC绕点A顺时针旋转90°，点C的对应点为点E，连接EP，如图所示：由旋转性质得AE=AP=3则∠APE=45°，∴EP=A∵EB=CP=10，∴EB故∠EPB=90°，即∠APB=45°+90°=135°，故答案为：135°．【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB1C1．若点B1恰好落在BC边上，且AA．14° B．16° C．18° D．20°【答案】C【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设∠C=α,利用方程思想可以直接算出∠C的度数．【详解】解：设∠C=α；∵AB∴∠B∴∠AB∵AB∴∠B=2α；∵∠BAC=126°；∴∠B+∠C=2α+α=3α=180°−126°；∴3α=54°；即，α=18°；由旋转的性质可知，∠C∴∠C故选：C．【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含30°角的直角三角板，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°<α<90°）得到△A1B1C1，若C1B1交AB于点【答案】20°或40°【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是表示出各个内角，再分三种情况，根据等边对等角列方程求解．【详解】解：由旋转可知：BC=B∴∠DB∴∠DBB而∠BDB当BD=B∠DB1B=∠DB当B1∠B1DB=∠解得：α=20°；当BD=BB∠BDB1=∠B解得：α=40°；综上：当α=20°或40°时，△BB故答案为：20°或40°．【题型2利用旋转的性质求线段长度】【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=62，点D、点E在边AC上，且∠DBE=45°，若AE=9，则CD=

【答案】8【分析】首先根据题意可得∠A=∠C=45°，AC=AB2+BC2=12，CE=3，将△BCE绕点B逆时针旋转至△BAF，点E的对应点为点F，连接DF，易知△BCE≌△BAF，再证明△DBF≌△DBE，由全等三角形的性质可得DF=DE，设AD=x，则DF=DE=9−x，在Rt【详解】解：∵∠ABC=90°，BA=BC=62∴∠A=∠C=12×90°=45°∵AE=9，∴CE=AC−AE=12−9=3，如下图，将△BCE绕点B逆时针旋转至△BAF，点E的对应点为点F，连接DF，

则△BCE≌△BAF，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AF=CE=3，∠BAF=∠C=45°，∴∠DAF=∠BAC+∠BAF=90°，∵∠DBE=45°，∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABD=∠ABC−∠DBE=45°，∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=∠ABD+∠CBE=45°，∴∠DBF=∠DBE，在△DBF和△DBE中，BF=BE∠DBF=∠DBE∴△DBF≌△DBESAS∴DF=DE，设AD=x，则DF=DE=AE−AD=9−x，∴在Rt△ADF中，可有A即32+x∴AD=4，∴CD=AC−AD=12−4=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=23，BC=3，将△ABC绕点C逆时针旋转60∘，得到△CDE，连接AD，

【答案】39【分析】连接BD，过D作DF⊥AB交AB的延长线点F，则∠DBF=30°，利用勾股定理求出BF，即得到AF，解题即可．【详解】∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，∴BC=DC=3,∠BCD=60°，连接BD,则△BCD为等边三角形，

∴BD=BC=3,∠CBD=60°∵∠ABC=90°，∴∠ABD=150°，∴过D作DF⊥AB交AB的延长线点F，∴∠DBF=30°

∴在Rt△BDFDF=1∴BF=BD2∴AF=AB+BF=23∴在Rt△ADFAD=AF故答案为:39．【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，将△ABC绕点A旋转，得到△AB′C′，其中B、C的对应点分别是点B′、C′．如果点B′在正方形ABCD内，且到点B【答案】3−1/【分析】作BC的垂直平分线EF，交BC于E，交AD于F，作B′H⊥AB，交AB于点H，连接BB′、B′C、C′D，由题意可知当B′在EF上时满足到点B、C的距离相等，得到B′B=B′C，根据正方形性质可证明△B′AC≌△DA【详解】作BC的垂直平分线EF，交BC于E，交AD于F，作B′H⊥AB，交AB于点H，连接BB′由题意可知，当B′旋转到EF上时，到点B、C的距离相等，且∵四边形ABCD是正方形∴∠DAC=∠B′AC∵∠B′∴∠在△B′ACA∴△∴C∴∵B′H⊥AB，∴四边形HBEB∴又∵EF垂直平分BC，AB=BC=A∴B∴AH=∴BH=AB−AH=∴∴故答案为：3−1【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到B′【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上的动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形，则【答案】3或7+【分析】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，分∠PDC=90°和∠DPC=90°两种情况进行解答即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．【详解】解：分两种情况讨论：①如图1中，当∠PDC=90°时，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共线，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，∵∠B=90°，∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3；②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x，∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，在△ABE和△EFP中，∠BAE=∠PEF∠B=∠F=90°∴△ABE≌△EFPAAS∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3−(5−x)=x−2，∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH∴(x−2)∴x=7+174∴BE=7+综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或7+17【题型3利用旋转的性质求面积】【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′A．2−2 B．2−1 C．22【答案】D【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接A′C，证明A′,B,C三点共线，勾股定理求出【详解】解：连接A′∵边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′∴BC=1,∠BCD=90°,∠DCD∴∠BCD′=∠BCD−∠DC∵∠BCD∴A′∴A′B=A∵∠D∴BE=A∴S四边形∴S阴故选D．【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，BC=23，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′【答案】3【分析】先证明△ACA′是等边三角形，再证明△CDA′是直角三角形，求出【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°∴AB=2AC=4，∠A=90°−∠B=60°由旋转可得：CA=CA′，∴△ACA∴AA∴A∴∠A∴∠CDA∴△A∴A′由勾股定理，得，CD=C∴S【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，证明△A【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，D、E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD=3，则△OFC的面积是（）A．923 B．2723 C．【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可得∠AOC=90°，∠OAC=30°．根据旋转的性质可得OA=OD，OC=OF，则可得△AOD和△COF都是等边三角形，则AO=OD=AD=3，则可得CD=3，由此得DF垂直平分OC，，在Rt△AOC中求出OC的长，则可知CF、HC的长，进而可得HF的长，从而可求得△COF【详解】连接OA，OD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∵O为BC的中点，∴∠AOC=90°，∠OAC=1∴AO=1∵将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，∴OA=OD，OC=OF，∴△AOD是等边三角形，∴AO=OD=AD=3，∴AC=2AO=6，∴CD=3，∴OD=CD，∴D点在OC的垂直平分线上，∵△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，即旋转角为60°，∴∠COF=60°，∴△COF是等边三角形，∴OF=CF，∴F点在OC的垂直平分线上，∴DF垂直平分OC，设垂足为H，∵OC=A∴CF=OF=33，HC=∴HF=C∴S故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、线段垂直平分线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△A′B′C，若△ABC【答案】9【分析】先利用旋转的性质得到∠BCB′=∠ACB′=∠ACA′=30°，再解直角三角形可计算出CD、AD、【详解】解：如图所示：∵△ABC是等边三角形，AB=3，∴AB=BC=AC=3，∠B=∠ACB=∠A=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△A∴∠BCB在△BCD中，∠B=60°，∠BCB′=30°同理，可得CA⊥A′B′；∴AD=BD=12BC=∴CE=CD=3∴AE=AC−CE=3在△AEF中，∠A=60°，则∠AFE=30°，从而得到AF=2AE=23∴图中阴影部分的面积====9故答案为：92【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含30°的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键．【题型4平面直角坐标系中的旋转变换】【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O0,0，A3,4，B8,4(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；(2)在线段AB上画点E，使∠BCE=45°（保留画图过程的痕迹）；(3)连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题意，将线段CD是将线段CB绕点C逆时针旋转90°即可；（2）连接BD，MN交于点G，连接CG并延长交AB于点E，即为所求；（3）连接5,0和0,5点与AC的交点F即为所求．【详解】（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图所示：∠BCE即为所求；由（1）可得，△BCD是等腰直角三角形∴BC=CD，∠BCD=90°由网格得，四边形MDNB是矩形，BD，MN交于点G，∴点G是BD中点∴CG平分∠BCD∴∠BCE=1（3）连接5,0，0,5，与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：∵AB∥OC，AB=OC=5∴四边形AOCB是平行四边形∵OA=32∴OA=OC∴四边形AOCB是菱形∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA由作图可得，∠OCM=45°=∠BCE∴∠OCA−∠OCM=∠BCA−∠BCE∴∠ACM=∠ACE又∵AC=AC∴△ACF≌△ACE∴AF=AE，CF=CE∴AC垂直平分EF∴点E和点F关于直线AC对称．【点睛】本题考查了作图−旋转变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定以及等腰三角形三线合一性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A3,4，B1,1，(1)△ABC先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1（点A1、B1、C1(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2（点A2、C2分别与点A【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，C2【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点A1、B1、（2）线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BA2，线段BC绕点B顺时针旋转90°得到BC2，依次连接A2本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键．【详解】（1）解：点A3,4，B1,1，C4,1向下平移2个单位，再向左平移5个单位得A13−5,4−2，B11−5,1−2，C14−5,1−2，即A1−2,2，B（2）解：线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BA2，线段BC绕点B顺时针旋转90°得到BC2，依次连接由图可知，点C2的坐标为：1【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A1,0(1)平移△ABC，若点C的对应点C1的坐标为7,4，画出平移后的△(2)将△ABC以点0,0为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A(3)已知将△A1B【答案】(1)见详解(2)见详解(3)1,2．【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）因为点C的对应点C1的坐标为7,4，所以找出点A（2）因为将△ABC以点0,0为旋转中心旋转180°，所以找出点A2（3）运用数形结合思想，直接得△A1B【详解】（1）解：△A（2）解：△A（3）解：由图得将△A1B1C【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A(3)在x轴上找一点P使得PC+PB最小，则P点坐标(4)请直接写出以A1，B2，【答案】(1)见解析(2)见解析(3)−(4)(5，3)或(3【分析】本题主要考查作图旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识（1）作出A,B,C的对应点A、B（2）作出A,B,C的对应点A1（3）作点C关于x轴在对称点M(−4，1)，连接BM交x轴于点P，求出直线BM的解析式，求出与（4）画出点D的位置，写出坐标即可【详解】（1）解：如图，△AB（2）解：△A（3）解：作点C关于x轴在对称点M(−4，1)，连接BM交x轴于点设直线BM的解析式为y=kx+b，把M(−4，−4k+b=1−2k+b=−2解得，k=−3所以，直线BM的解析式为y=−3令y=0，得x=−10∴P−故答案为：−10（4）解：如图，由图得，第四个顶点D的坐标为(5，3)或(3，故答案为：(5，3)或(3【题型5与旋转有关的探究性问题】【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角的计算.【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：如图1，已知点D是等边三角形△ABC边BC上的一点（不与点B，C重合）．动手操作：第一