2025版高中数学第3章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时不等关系与不等式的性质A级基础巩固一、选择题1．(2024·山东菏泽一中高二月考)假如a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(B)A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2[解析]∵a2＋a＜0，∴－1＜a＜0，取a＝－eq\f(1,2)，可知－a＞a2＞－a2＞a，解除A，C，D，故选B．2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满意的关系式是(D)A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200[解析]由题意可知500x＋400y≤20000.即5x＋4y≤200.3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(C)A．a>b B．a<bC．a≥b D．a≤b[解析]a－b＝3x2－x＋1－2x2－x＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.故a≥b.4．设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))a⊕b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≤b,a，a>b.))若m⊗n≥2，p⊗q≤2，则(A)A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4[解析]m⊗n≥2表示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2,m≤n))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≥2,m>n))∴mn≥4，p⊕q表示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≤2,p>q))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q≤2,p≤q))∴p＋q≤4，故选A．5．已知a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，那么下列各式正确的是(A)A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b[解析]∵a<0，b>0，∴a<b.又∵c－b＝7－3eq\r(5)＝eq\r(49)－eq\r(45)>0，∴c>b，∴a<b<c.6．已知P＝eq\f(1,a2＋a＋1)，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为(C)A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．无法确定[解析]P－Q＝eq\f(1,a2＋a＋1)－a2＋a－1＝eq\f(1－a4－a3－a2＋a3＋a2＋a－a2－a－1,a2＋a＋1)＝eq\f(－a2a2＋1,a2＋a＋1)，∵a2＋a＋1＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，－a2(a2＋1)≤0，∴eq\f(－a2a2＋1,a2＋a＋1)≤0，∴P≤Q.二、填空题7．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)__≤__g(x)．[解析]f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.∴f(x)≤g(x)．8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__x＜y__.[解析]x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：方式效果种类轮船运输量(t)飞机运输量(t)粮食300150石油250100现在要在一天内运输2000t粮食和1500t石油．写出支配轮船艘数和飞机架数所满意的全部不等关系的不等式．[解析]设需支配x艘轮船和y架飞机，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000,250x＋100y≥1500,x≥0,y≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40,5x＋2y≥30,x≥0,y≥0)).10．(2024·山东日照青山中学高二月考)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.[解析]x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．B级素养提升一、选择题1．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是(B)A．a<eq\f(a2＋b2,2)<b B．a<b<eq\f(a2＋b2,2)C．b<a<eq\f(a2＋b2,2) D．b<eq\f(a2＋b2,2)<a[解析]a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a<b，解除C、D两项．又∵a≠b，∴eq\f(a2＋b2,2)－ab＝eq\f(a－b2,2)>0，∴eq\f(a2＋b2,2)>ab＝eq\r(2)sin60°×eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°>eq\r(2)sin61°＝b，故a<b<eq\f(a2＋b2,2)成立．2．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，比较A、B、C的大小结果为(B)A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A[解析]不妨设a＝－eq\f(1,2)，则A＝eq\f(5,4)，B＝eq\f(3,4)，C＝2，由此得B<A<C，解除A、C、D，选B．详细比较过程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>BC－A＝eq\f(1,1＋a)－(1＋a2)＝－eq\f(aa2＋a＋1,1＋a)＝－eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1＋a)>0，得C>A，∴B<A<C.3．甲，乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，假如两人步行速度，跑步速度均相同，则(B)A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定[解析]设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝eq\f(\f(s,2),a)＋eq\f(\f(s,2),b)＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b)＝s×eq\f(a＋b,2ab)，ta＋tb＝s⇒2t＝eq\f(2s,a＋b)，∴T－2t＝eq\f(sa＋b,2ab)－eq\f(2s,a＋b)＝s×eq\f(a＋b2－4ab,2aba＋b)＝eq\f(sa－b2,2aba＋b)>0.故选B．4．若d>0，d≠1，m，n∈N*，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是(A)A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm＋n<dm＋dnC．1＋dm＋n≥dm＋dn D．不能确定[解析]1＋dm＋n－(dm＋dn)＝(1－dm)＋dn(dm－1)＝(1－dm)(1－dn)．∵m，n∈N*,1－dm与1－dn同号，∴(1－dm)(1－dn)>0.二、填空题5．若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为__p≤q__.[解析]p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·(eq\f(1,a)－eq\f(1,b))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.综上，p≤q.6．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为__M＞N[解析]∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N三、解答题7．已知a，b，c这三个实数中至少有一个不等于1，试比较a2＋b2＋c2与2a＋2b＋2[解析]a2＋b2＋c2－(2a＋2b＋2c－3)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2.∵a，b，c这三个数中至少有一个不等于1，∴a－1，b－1，c－1中至少有一个不为0，∴(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2>0.∴a2＋b2＋c2>2a＋2b＋28．某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦价格为a(元/kg)，二级小麦价格为b(元/kg)(b<a)，现有一级小麦m(kg)，二级小麦n(kg)，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？[解析]若以a(元/k