2025版高考数学一轮复习核心考点精准研析2.8函数与方程文含解析北师大版

PAGE9-函数与方程核心考点·精准研析考点一推断函数零点所在区间

1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是 ()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)2.设函数f(x)=13x-lnx,则函数A.在区间1e,B.在区间1e,C.在区间1e,1内有零点,D.在区间1e,1内无零点,3.(2024·扬州模拟)设函数y=x2与y=12x-2的图像交点为(x0,y0),则A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)4.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 ()A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】1.选B.因为a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=1a-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点2.选D.令f(x)=0得13x=lnx.作出函数y=1明显y=f(x)在1e3.选B.因为函数y=x2与y=12x-2的图像交点为(x0,y0),则x0是方程x2=12因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝技】用特别值法可解T2.考点二确定函数零点的个数

【典例】1.函数f(x)=|x-2|-lnx零点的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.32.(2024·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是 世纪金榜导学号()A.9 B.10 C.11 D.18【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x-2|-lnx的零点,想到|x-2|=lnx.2由f(x)=2sinx-sin2x,想到化简,令f(x)=0求sinx与cosx的值.3由F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数,想到f(x)=|lgx|.【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=lnx的图像,如图所示.由图像可知两个函数的图像有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,则sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lgx|的大致图像如图,由图像可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是10.函数零点个数的推断方法(1)干脆求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图像的交点个数推断.1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连绵不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.2.(2024·上饶模拟)已知函数f(x)=2-|x|,x≤2A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选A.由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图像有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.3.已知f(x)=|lgx|,x>0,2|【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图像由图像知y=12因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用

命题精解读1.考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图像的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.3.新趋势:以函数图像与性质为载体,图像与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)干脆法:干脆依据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分别参数法:将参数分别,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)【解析】选C.画出函数f(x)的图像,y=ex在y轴右侧的图像去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发觉当直线过点(0,1)时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满意-a≤1,即a≥-1.已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图像交点的个数问题,再去求解.由函数有无零点求参数【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是. 世纪金榜导学号

【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=2x-1因为x∈[-1,1],所以2x∈12令2x=t,t∈12,2,a=t-122-14,0≤t-12≤32,0≤t所以a=t-122-所以实数a的取值范围是-1答案:-函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先分别参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最终得出结论.与函数零点有关的比较大小【典例】(2024·承德模拟)已知a是函数f(x)=2x-log12x的零点,若0<x0<a,则f(x0)世纪金榜导学号A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log12x的图像,由图像可知,当0<x0<a时,有2x0<log12x与函数零点有关的函数值如何比较大小?提示:在同一平面直角坐标系中画出图像,依据图像所处的上下位置确定.1.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为 ()A.(0,4) B.(0,+∞)C.(3,4) D.(3,+∞)【解析】选C.令g(x)=|2x-4|,其图像如图所示,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4).2.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小依次为 ()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c【解析】选B.在同始终角坐标系中画出y=2x,y=log2x,y=x3与y=-x的图像,前3个图像与y=-x交点的横坐标依次为a,b,c.如图,可知b>c>a.故选B.3.已知函数f(x)=2x,0≤x≤1,1x,x>1.A.54,9C.54,94∪{1} 【解析】选D.作出函数f(x)=2x,以及直线y=-14关于x的方程f(x)=-14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,即为y=f(x)和y=-14x+a(a两个交点,平移直线y=-14x,考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时,有两个交点,可得a=94或a=考虑直线y=-14x+a(a∈R)与y=1x在x>1时相切,ax-14x2=1,由Δ所以a的取值范围是54,91.(2024·包头模拟)已知函数f(x)=lnx+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b= ()A.0 B.2 C.5 D.7【解析】选C.因为f(2)=ln2+6-8=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,