2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数y=sin2xcos2x是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数2、【题文】集合P={x|x2=1}，Q={x|mx=1}，若QP，则m等于（）A.1B.-1C.1或-1D.0,1或-13、当时，幂函数y=xα的图象不可能经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog2（x+1），设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到（）A.300只B.400只C.500只D.600只5、在△ABC中，已知c=b=1，B=30°，则A等于（）A.30°B.90°C.30°或90°D.60°或120°6、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.y=1，y=B.y=×y=C.y=2x+1-2x，y=2xD.y=2lgx，y=lgx27、设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]=2，[-2.5]=-3，令{x}=x-[x]，则{}，[]，三个数构成的数列（）A.是等比数列但不是等差数列B.是等差数列但不是等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列8、下列算式中不正确的是(

)

A.AB鈫�+BC鈫�+CA鈫�=0鈫�

B.AB鈫�鈭�AC鈫�=BC鈫�

C.0鈫�鈰�AB鈫�=0

D.娄脣(娄脤a鈫�)=(娄脣娄脤)a鈫�

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、把-150°化成弧度为____．10、【题文】已知函数令

则____．11、【题文】已知集合∪=﹛1，2，3，4，5﹜，A＝﹛2，3，4﹜B＝﹛4，5﹜，则A∩（CUB）=""12、【题文】用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是____cm3．13、已知函数f（x）=5x+b的图象经过第一、三、四象限，则实数b的取值范围是____．14、以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______．15、已知向量OA鈫�=(k,12)OB鈫�=(4,5)OC鈫�=(鈭�k,10)

且ABC

三点共线，则k=

______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)16、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、作出函数y=的图象．19、画出计算1++++的程序框图．20、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

21、请画出如图几何体的三视图．

22、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．23、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．24、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、计算题(共4题，共12分)25、规定两数a、b通过”*”运算得到4ab，即a*b=4ab．例如，2*6=4×2×6=48．若不论x是什么数时，总有a*x=x，则a=____．26、如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是____．27、已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=____．28、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．评卷人得分五、证明题(共1题，共4分)29、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)30、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．31、已知：甲；乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行；其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．

（1）试求线段AB所对应的函数关系式；并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地距离相等时，用了（h）；求乙车的速度；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．32、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．33、（2012•镇海区校级自主招生）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】【解析】

因为函数y=sin2xcos2x=是奇函数，周期为故选A【解析】【答案】A2、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D3、D【分析】解答：当α=1、2、3时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，当α=﹣1时，幂函数即y=图象在第一；第三象限；

故图象一定不在第四象限．

∴答案选D．

分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．4、A【分析】【解答】解：由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog2（x+1）；这种动物第1年有100只。

∴100=alog2（1+1）；

∴a=100；

∴y=100log2（x+1）；

∴当x=7时，y=100log2（7+1）=100×3=300．

故选A．

【分析】根据这种动物第1年有100只，先确定函数解析式，再计算第7年的繁殖数量．5、C【分析】【解答】解：在△ABC中，∵c=b=1；B=30°；

∴利用正弦定理可得：sinC===

∵c＞b；可得：C∈（30°，180°）；

∴C=60°或120°；

∴A=180°﹣B﹣C=30°或90°．

故选：C．

【分析】由已知利用正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求角C，根据三角形内角和定理即可得解A的值．6、C【分析】解：对于A，y=1（x∈R），与y==1（x≠0）的定义域不同；∴不是同一函数；

对于B，y=×=（x≥1）；

与y=（x≥1或x≤-1）的定义域不同；∴不是同一函数；

对于C，y=2x+1-2x=2x（x∈R），与y=2x（x∈R）的定义域相同；

对应关系也相同；∴是同一函数；

对于D，y=2lgx（x＞0），与y=lgx2=2lg|x|（x≠0）的定义域不同；

对应关系也不同；∴不是同一函数．

故选：C．

根据函数的定义域相同；对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数进行判断即可．

本题考查了判断两个是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．【解析】【答案】C7、A【分析】解：由题意得[]=1，{}=-[]=-1=

∵×==12；

∴1，成等比数列；不成等差数列；

故选：A

根据定义分别求出[]=1，{}=然后结合等比数列的定义进行判断即可得到结论．

本题主要考查等比数列的判断，根据定义将条件进行化简是解决本题的关键．【解析】【答案】A8、B【分析】解：对于A

由向量加法的三角形法则，AB鈫�+BC鈫�+CA鈫�=AC鈫�+CA鈫�=0鈫�

故垄脵

正确；

对于B

由向量减法的三角形法则AB鈫�鈭�AC鈫�=CB鈫�

故垄脷

错误；

对于C

数量积的结果应为实数，0鈫�鈰�AB鈫�=0

正确；

对于D

由数乘向量的运算法则娄脣(娄脤a鈫�)=(娄脣娄脤)a鈫�

正确．

故选B．

由向量加法的三角形法则判断A

的正误；

向量减法的三角形法则B

的正误；

零向量和任何向量的数量积为0

判断C

的正误；

利用数乘向量的运算法则；判断D

的正误．

本题考查向量的加法、减法、数乘向量的运算及运算法则，属基础知识的考查．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

1°=

所以-150°=-×150°=-π

故答案为：-π．

【解析】【答案】根据弧度与角度之间的转化关系进行变化．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于

故答案为

考点：导数的计算。

点评：解决的关键是发现导数的规律性结果，属于基础题。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】{2,3}12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】713、b＜﹣1【分析】【解答】解：∵y=5x的图象过（0；1）点，且在第一；第二象限；

∴要使函数f（x）=5x+b的图象经过第一、三、四象限，则b＜﹣1．

故答案为：b＜﹣1．

【分析】由指数函数y=5x的图象过（0，1）点，且在第一、第二象限，结合函数的图象平移得答案．14、略

【分析】解：∵对直线3x-4y+12=0令x=0；得y=3；令y=0，得x=-4

∴直线3x-4y+12=0交x轴于A（-4；0），交y轴于B（0，3）

∵所求的圆以AB为直径。

∴该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|

∵AB中点C坐标为（），即C（-2，）

|AB|==

∴圆C的方程为（x+2）2+（y-）2=即（x+2）2+（y-）2=

故答案为：（x+2）2+（y-）2=

根据直线3x-4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（-2，），即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．

本题给出已知直线，求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程，着重考查了中点坐标公式、圆的标准方程和两点间的距离公式等知识，属于基础题．【解析】（x+2）2+（y-）2=15、略

【分析】解：向量OA鈫�=(k,12),OB鈫�=(4,5),OC鈫�=(鈭�k,10)

隆脿AB鈫�=(4鈭�k,鈭�7),AC鈫�=(鈭�2k,鈭�2)

又ABC

三点共线。

故(4鈭�k,鈭�7)=娄脣(鈭�2k,鈭�2)

隆脿k=鈭�23

故答案为鈭�23

利用三点共线得到以三点中的一点为起点；另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k

．

本题考查向量平行的坐标形式的充要条件、向量平行解决三点共线．【解析】鈭�23

三、作图题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．21、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．22、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．24、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、计算题(共4题，共12分)25、略

【分析】【分析】根据a*b=4ab得到4ax=x，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：∵a*x=x；

∴4ax=x；

当x≠0时；

∴a=．

故答案为：．26、略

【分析】【分析】列表列举出所有情况，看两位数是偶数的情况数占总情况数的多少即可解答．【解析】【解答】解：列表如下。12341121314221232433132344414243共有12种等可能的结果，其中是奇数的有6种，概率为=．

故答案为．27、略

【分析】【分析】本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．【解析】【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=66；

设xy=m；x+y=n；

由xy+x+y=17；得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66；

∴m=6；n=11或m=11，n=6（舍去）；

∴xy=m=6；x+y=n=11；

x2+y2=112-2×6=109，x2y2=36

x4+y4=1092-36×2=11809

x4+x3y+x2y2+xy3+y4

=11809+6×109+36

=12499．

故答案为：1249928、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．【解析】【解答】（1）证明：连接OD；

∵ED为⊙O切线；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O为AB中点；

∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF；

∵AB为⊙O直径；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D为BC中点；

∴E为CF中点；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；

∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

连接DA；可知△OAD为等边三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．五、证明题(共1题，共4分)29、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．六、综合题(共4题，共28分)30、略

【分析】【分析】先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．【解析】【解答】解：∵A；B是直线与y轴、x轴的交点；

令y=0，解得；

∴；

令x=0；解得y=-3；

∴A（0；-3）；

由勾股定理得，；

（1）若D点在C点上方时；则∠BCD为钝角；

∵∠BCD=∠ABD；又∠CDB=∠ADB；

∴△BCD∽△ABD；

∴；

设D（0；y），则y＞1；

∵；

∴；

∴8y2-22y+5=0；

解得或（舍去）；

∴点D的坐标为（0，）；

（2）若D点在AC之间时；则∠BCD为锐角；

∵∠ABD=∠BCD；又∠BAD=∠CAB；

∴△ABD∽△ACB，∴；

设D（0，y），则-3＜y＜1，又；

∴；

整理得8y2-18y-5=0；

解得或（舍去）；

∴D点坐标为（0，-）；

（3）若D点在A点下方时；有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD；

又显然∠BAC＜∠BCD；

∴D点在A点下方是不可能的．

综上所述，D点的坐标为（0，）或（0，-）．31、略

【分析】【分析】（1）首先设线段AB所表示的函数的解析式为y=kx+b，根据题意知道函数经过（3，300），（；0）两点，利用待定系数法即可确定函数的解析式和自变量的取值范围；

（2）首先可以判定x=在3＜x≤中，然后把x=代入（1）的函数解析式y=-80x+540中可以求出甲所走的路程；同时也知道了乙的路程，最后利用速度公式即可求解；

（3）首先确定依有两次相遇，①当0≤x≤3时，100x+40x=300，②当3＜x≤时，（540-80x）+40x=300，分别解这两个方程即可求解．【解析】【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数的解析式为y=kx+b；

把（3，300），（，0）代入其中得；

解之得；

∴线段AB所表示的函数解析式为y=-80x+540；

自变量的取值范围为3＜x≤；

（2）∵x=在3＜x≤中；

∴把x=代入（1）的函数解析式y=-80x+540中；

得y甲=180；

∴乙车的速度为180÷=40km/h；

（3）依题意有两次相遇；

①当0≤x≤3时；100x+40x=300；

∴x=；

②当3＜x≤时；（540-80x）+40x=300；

∴x=6；

∴当它们行驶了小时和6小时时两车相遇．32、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•b