数列通项公式求法(16种类型)

PAGE1数列通项公式求法类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1：已知数列满足，，求例1解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式：已知数列满足，求类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，，求例2解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，变式:已知，，求。类型3或或解法（待定系数法/构造法）：把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列；令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列；……；把原递推公式转化为，再转化为等比数列。例3:已知数列满足且，求.例3解：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例4:已知数列满足，求.例4解：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例5:已知数列满足，求.例5解：设 ⑥将代入⑥式，得整理得。令，则，代入⑥式得 ⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。例6:已知数列满足，求.例6解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。例7:已知数列中，,,，求。例7解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。变式:1.已知，，求2.已知数列中，,，求3.已知数列满足求4.设数列：，求.类型4递推公式为与的关系式。(或)解法：（公式法）这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例8：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求.例8解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型3（（其中p，q均为常数））待定系数法得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:已知在正整数数列中，前项和满足，求类型5解法：这种类型一般是等式两边取倒数（法）后换元转化为。例9：已知，，求。例9解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。变式：已知数列｛an｝满足：，求 已知数列{}满足时，，求3.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求类型8解法：这种类型一般是等式两边取对数（法）后转化为，再利用待定系数法求解。例10：已知数列｛｝中，，求数列例10解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。变式：已知，，，求通项类型9或解法：这种类型一般利用等差或等比的性质转化为与是等差或等比数列求解。例11：在数列中，，求例11解：变式：在数列中，，求类型9含根号递推公式解法：换元法例12：已知数列满足，求数列的通项公式。例12解：令，则故，代入得，即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型10归纳猜想法解法：数学归纳法（理科）例13已知数列满足，求数列的通项公式。例13解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例14：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.例14解：因所以即…（1）又因为所以…….即…（2）由（1）、（2）得：，类型14解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例15：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.例15解:数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即变式：已知，（），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为