理论力学教程哈工大

绪论 2第一章静力学公理和物体的受力分析 3§1-1刚体和力的概念 3§1-2静力学公理 4§1-3约束和约束反力 8§1-4物体的受力分析和受力图 13第二章平面汇交力系与平面力偶系 20§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法 20§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法 25§2-3平面力对点之矩的概念及计算 30§2-4平面力偶理论 34第三章平面任意力系 41§3-1平面任意力系向作用面内一点简化 41§3-2平面任意力系的简化结果分析 45§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程 48§3-4平面平行力系的平衡方程 54§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题 56§3-6平面简单桁架的内力计算 63第四章空间力系 69§4-1空间汇交力系 69§4-2力对点的矩和力对轴的矩 75§4-3空间力偶 81§4-4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 85§4-5空间任意力系的简化结果分析 87§4-6空间任意力系的平衡方程 89§4-7空间约束的类型举例 90§4-8空间力系平衡问题举例 92§4-9重心 98第五章摩擦 109§5-1滑动摩擦 109§5-2考虑摩擦时物体的平衡问题 111§5-3摩擦角和自锁现象 120§5-4滚动摩阻的概念 124小结 128绪论一、理论力学的研究对象和内容理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。物体在空间的位置随时间的改变，称为机械运动。机械运动是人们生活和生产实践中最常见的一种运动。平衡是机械运动的特殊情况。在客观世界中，存在各种各样的物质运动，例如发热、发光和发生电磁场等物理现象，化合和分解等化学变化，以及人的思维活动等。在物质的各种运动形式中，机械运动是最简单的一种。物质的各种运动形式在一定的条件下可以相互转化，而且在高级和复杂的运动中，往往存在着简单的机械运动。本课程研究的内容是速度远小于光速的宏观物体的机械运动，它以伽利略和牛顿总结的基本定律为基础，属于古典力学的范畴。至于速度接近于光速的物体和基本粒子的运动，则必须用相对论和量子力学的观点才能完善地予以解释。宏观物体远小于光速的运动是日常生活及一般工程中最常遇到的，古典力学有着最广泛的应用。理论力学所研究的则是这种运动中最一般、最普遍的规律，是各门力学分支的基础。本课程的内容包括以下三个部分:静力学——主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件;同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法等。运动学——只从几何的角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物理原因。动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。二、理论力学的研究方法研究科学的过程，就是认识客观世界的过程，任何正确的科学研究方法，一定要符合辩证唯物主义的认识论。理论力学也必须遵循这个正确的认识规律进行研究和发展。1·通过观察生活和生产实践中的各种现象，进行多次的科学实验，经过分析、综合和归纳，总结出力学的最基本的规律。远在古代，人们为了提水，制造了掳轩;为了搬运重物，使用了杠杆、斜面和滑轮;为了利用风力和水力，制造了风车和水车，等等。制造和使用这些生活和生产工具，使人类对于机械运动有了初步的认识，并积累了大量的经验，经过分析、综合和归纳，逐渐形成了如"力"和"力矩"等基本概念，以及如"二力平衡"、"杠杆原理"、"力的平行四边形规则"和"万有引力定律"等力学的基本规律，并总结于科学著作中。我国的墨翟(公元前468一前382年)所著的《墨经大是一部最早记述有关力学理论的著作。人们为了认识客观规律，不仅在生活和生产实践中进行观察和分析，还要主动地进行实验，定量地测定机械运动中各因素之间的关系，找出其内在规律性。例如枷利略(公元1564一1642年)对自由落体和物体在斜面上的运动作了多次实验，从而推翻了统治多年的错误观点，并引出"加速度"的概念。此外，如摩擦定律、动力学三定律等，都是建立在大量实验基础之上的。实验是形成理论的重要基础。2·在对事物观察和实验的基础上，经过抽象化建立力学模型，形成概念，在基本规律的基础上，经过逻辑推理和数学演绎，建立理论体系。客观事物都是具体的、复杂的，为找出其共同规律性，必须抓住主要因素，舍弃次要因素，建立抽象化的力学模型。例如，忽略一般物体的微小变形，建立受力不变形状的刚体模型;抓住不同物体间机械运动的相互限制的主要方面，建立一些典型的理想约束模型;为分析复杂的振动现象，建立了弹簧质点的力学模型等。这种抽象化、理想化的方法，一方面简化了所研究的问题，另一方面也更深刻地反映出事物的本质。当然，任何抽象化的模型都是相对的。当条件改变时，必须再考虑到影响事物的新的因素，建立新的模型。例如:在研究物体受外力作用而平衡时，可以忽略物体形状的改变，采用刚体模型;但要分析物体内部的受力状态或解决一些复杂物体系的平衡问题时，必须考虑到物体的变形，建立弹性体的模型。生产实践中的问题是复杂的，不是一些零散的感性知识所能解决的。理论力学成功地运用逻辑推理和数学演绎的方法，由少量最基本的规律出发，得到了从多方面揭示机械运动规律的定理、定律和公式，建立了严密而完整的理论体系。这对于理解、掌握以及应用理论力学都是极为有利的。数学方法在理论力学的发展中起了重大的作用。近代计算机的发展和普及，不仅能完成力学问题中大量的繁杂的数值计算，而且在逻辑推演、公式推导等方面也是极有效的工具。3.将理论力学的理论用于实践，在解释世界、改造世界中不断得到验证和发展。实践是检验真理的唯一标准，实践中所遇到的新问题又是促进理论发展的源泉。古典力学理论在现实生活和工程中，被大量实践验证为正确，并在不同领域的实践中得到发展，形成了许多分支，如刚体力学、弹塑性力学、流体力学、生物力学等。大到天体运动，小到基本粒子的运动，古典力学理论在实践中又都出现了矛盾，表现出真理的相对性。在新条件下，必须修正原有的理论，建立新的概念，d能正确指导实践，改造世界，并进一步地发展力学理论，形成新的力学分支。三、学习理论力学的目的理论力学是一门理论性较强的技术基础课。学习理论力学的目的是:1.工程专业一般都耍接触机械运动的问题。有些工程问题可以直接应用理论力学的基本理论去解决，有些比较复杂的问题，则需要用理论力学和其它专门知识共同来解决。所以学习理论力学是为解决工程问题打下一定的基础。2.理论力学是研究力学中最普遍、最基本的规律。很多工程专业的课程，例如材料力学、机械原理、机械设计、结构力学、弹塑性力学、流体力学、飞行力学、振动理论、断裂力学以及许多专业课程等，都要以理论力学为基础，所以理论力学是学习一系列后续课程的重要基础。随着现代科学技术的发展，力学的研究内容己渗人到其它科学领域，例如固体力学和流体力学的理论被用来研究人体内骨铬的强度，血液流动的规律，以及植物中营养的输送问题等，形成了生物力学;流体力学的理论被用来研究等离子体在磁场中的运动，形成电磁流体力学;还有爆炸力学、物理力学等都是力学和其它学科结合而形成的边缘科学。这些新兴学科的建立郡必须以坚实的理论力学知识为基础。3.理论力学的研究方法，与其它学科的研究方法有不少相同之处，因此充分理解理论力学的研究方法，不仅可以深人地掌握这门学科，而且有助于学习其它科学技术理论，有助于培养辩证唯物主义世界观，培养正确的分析问题和解决问题的能力，为今后解决生产实际问题，从事科学研究工作打下基础。第一章静力学公理和物体的受力分析静力学的基本概念、公理及物体的受力分析是研究静力学的基础。本章将介绍刚体与力的概念及静力学公理，并阐述工程中常见的约束和约束反力的分析。最后介绍物体的受力分析及受力图，它是解决力学问题的重要环节。§1-1刚体和力的概念1．刚体的概念所谓刚体是指这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。这是一个理想化的力学模型。实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略去不计，这样可使问题的研究大为简化。但是不应该把刚体的概念绝对化。例如，在研究飞机的平衡问题或飞行规律时，我们可以把飞机看作刚体;可是在研究飞机的颤振问题时，机翼等的变形虽然非常微小，但必须把飞机看作弹性体。还有，在计算某些工程结构时，如果不考虑它们的变形，而仍使用刚体的概念，则问题将成为不可解的。理论力学中，静力学研究的物体只限于刚体，故又称刚体静力学，它是研究变形体力学的基础。2．力的概念力的概念是从劳动中产生的。人们在生活和生产中，由于肌肉紧张收缩的感觉，逐渐产生了对力的感性认识。随着生产的发展，又逐渐认识到:物体的机械运动状态的改变(包括变形)，都是由于其它物体对该物体施加力的结果。这样，逐步由感性到理性，建立了抽象的力的概念。力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化。物体之间的机械作用，大致可分为两类，一类是接触作用，例如:机车牵引车厢的拉力，物体之间的挤压力等。另一类是"场"对物体的作用，例如:地球引力场对物体的引力，电场对电荷的引力或斥力等。尽管各种物体间相互作用力的来源和性质不同，但在力学中将撇开力的物理本质，只研究各种力的共同表现，即力对物体产生的效应。力对物体产生的效应一般可分为两个方面:一是物体运动状态的改变，另一个是物体形状的改变。通常把前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。理论力学中把物体都视为刚体，因而只研究力的运动效应，即研究力使刚体的移动或转动状态发生改变这两方面的效应。实践表明，力对物体的作用效果应决定于三个要素:(1)力的大小;(2)力的方向，(3)力的作用点。我们可用一个矢量来表示力的三个要素，如图1-1所示。这矢量的长度(AB)按一定的比例尺表示力的大小;矢量的方向表

示力的方向;矢量的始端(点A)表示力的作用点;矢量所沿着的直线(图1-1上的虚线)表示力的作用线。我们常用黑体字母表示力的矢量，而用普通宇母表示力的大小。若以表示沿矢量方向的单位矢(图1-2)，则力矢可写成=即力的矢量可以用它的模（即力的矢量大小）和单位矢量的乘积表示。在国际单位制（SI）中，以“N”作为力的单位符号，称作牛[顿]。有时也以“kN”作为力的单位符号，称作千牛[顿]。§1-2静力学公理公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。公理1力的平行四边形规则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图1-3a所示。或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和，即=+(1-1)应用此公理求两汇交力合力的大小和方向(即合力矢)时，可由任一点0起，另作一力三角形，如图1-3b、c所示。力三角形的两个边分别为力矢和，第三边，即代表合力矢，而合力的作用点仍在汇交点A。这个公理表明了最简单力系的简化规律，它是复杂力系简化的基础。公理2二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上，如图1-4所示，即=-(1-2)这个公理表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。公理3加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，则它们对刚体的作用是相同的，因此可以等效替换。这个公理是研究力系等效变换的重要依据。根据上述公理可以导出下列推理:推理1力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。证明:设有力作用在刚体上的点A，如图1-5a所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，并加上两个相互平衡的力和，使==-，如图1-5b所示。由于力和也是一个平衡力系，故可除去;这样只剩下一个力，如图1-5c所示。于是，原来的这个力与力系(、、)以及力均等效，即原来的力沿其作用线移到了点B。由此可见，对于刚体来说，力的作用点己不是决定力的作用效应的要素，它已为作用线所代替。因此，作用于刚体上的力的三要素是:力的大小、方向和作用线。作用于刚体上的力可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。推理2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。证明:如图1-6所示，在刚体的A、B、C三点上，分别作用三个相互平衡的力、、。根据力的可传性，将力和移到汇交点0，然后根据力的平行四边形规则，得合力。则力应与平衡。由于两个力平衡必需共线，所以力必定与力和共面，且通过力与的交点O。于是定理得证。公理4作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。这个公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的。下面举一个实例来说明。如图1-7a所示，放置在基座上的电动机，受重力和基座的两个反力和的作用(图1-7b)。重力是地球对电动机的吸引力，作用在电动机上;同时，电动机对地球也有一个吸引力＇作用在地球上(图1-7c)，这两个力是作用力和反作用力，两者等值、反向共线，即=-＇。此外，电动机对基座也作用两个压力＇，和＇，其中力与＇、力与＇是作用力与反作用力关系，即=-＇、=-＇。今后，作用力和反作用力用同一字母表示，但其中之一，在字母的上方加一“＇”。必须强调指出，由于作用力与反作用力分别作用在两个物体上，因此，不能认为作用力与反作用力相互平衡。公理5刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。这个公理提供了把变形体看作为刚体模型的条件。如图1-8所示，绳索在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，如将绳索刚化成刚体，其平衡状态保持不变。若绳索在两个等值、反向、共线的压力作用下并不能平衡，这时绳索就不能刚化为刚体。但刚体在上述两种力系的作用下都是平衡的。由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。静力学全部理论都可以由上述五个公理推证而得到，如前述的推理1和推理2。本篇基本上采用这种逻辑推演的方法，建立静力学的理论体系。这一方面能保证理论体系的完整和严密性，另一方面也可以培养读者的逻辑思维能力。然而，对于某些易于理解而推证过程又比较繁琐的个别结论，本书将省略其证明过程，直接给出结论，以便于应用。读者也可自行推证。§1-3约束和约束反力有些物体，例如：飞行的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制。位移不受限制的物体称为自由体。相反有些物体在空间的位移却要受到一定的限制。如机车受铁轨的限制，只能沿轨道运动;电机转子受轴承的限制，只能绕轴线转动;重物由钢索吊住，不能下落等。位移受到限制的物体称为非自由体。对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。例如，铁轨对于机车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等，都是约束。既然约束阻碍着物体的位移，也就是约束能够起到改变物体运动状态的作用，所以约束对物体的作用，实际上就是力，这种力称为约束反力，简称反力。因此，约束反力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反。应用这个准则，可以确定约束反力的方向或作用线的位置。至于约束反力的大小则是未知的。在静力学问题中，约束反力和物体受的其它已知力(称主动力)组成平衡力系，因此可用平衡条件求出未知的约束反力。下面介绍儿种在工程中常遇到的简单的约束类型和确定约束反力方向的方法。1．具有光滑接触表面的约束例如，支持物体的固定面(图1-9a、b)、啮合齿轮的齿面(图1-10)、机床中的导轨等，当摩擦忽略不计时，都属于这类约束。这类约束不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线并向约束内部的位移。因此，光滑支撑面对物体的约束反力，作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体。这种约束反力称为法向反力，通常用表示，如图1-9中的、和图1-10中的，等。2．由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束细绳吊往重物，如图1-lla所示。由于柔软的绳索本身只能承受拉力(图1-llb)，所以它给物体的约束反力也只可能是拉力(图1-Ilc)。因此，绳索对物体的约束反力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。通常用或表示这类约束反力。链条或胶带也都只能承受拉力。当它们绕在轮子上，对轮子的约束反力沿轮缘的切线方向(图1-12)。

3．光滑铰链约束这类约束有向心轴承、圆柱形铰链和固定铰链支座等。(1)向心轴承(径向轴承)图1-13a、b所示为轴承装置，可画成如图1-13c所示的简图。轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动;但是，轴承阻碍着轴沿径向向外的位移。忽略摩擦，当轴和轴承在某点A光滑接触时，轴承对轴的约束反力作用在接触点A，且沿公法线指向轴心(图1-13a)。但是，随着轴所受的主动力不同，轴和孔的接触点的位置也随之不同。所以，当主动力尚未确定时，约束反力的方向预先不能确定。然而，无论约束反力朝向何方，它的作用线必垂直于轴线并通过轴心。这样一个方向不能预先确定的约束反力，通常可用通过轴心的两个大小未知的正交分力、来表示，如图1-13b或c所示，、的指向暂可任意假定。(2)圆柱铰链和固定铰链支座图1-14a所示的拱形桥，它是由两个拱形构件通过圆柱铰链C以及固定铰链支座A和B连接而成。圆柱铰链简称铰链，它是由销钉C将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成(图1-14c)，其简图如图1-14a的铰链C。如果铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座，则这种约束称为固定铰链支座，简称固定铰支，如图1-14c中所示的支座B。其简图如图1-14a所示的固定铰链支座A和B。在分析铰链C处的约束反力时，通常把销钉C固连在其中任意一个构件上，如构件II;则构件I、II互为约束。显然，当忽略摩擦时，构件II上的销钉与构件I的结合，实际上是轴与光滑孔的配合问题。因此，它与轴承具有同样的约束性质，即约束反力的作用线不能预先定出，但约束反力垂直轴线并通过铰链中心，故也可用两个大小未知的正交分力、和、来表示，如图1-14b所示。其中=-，=-，表明它们互为作用与反作用关系。同理，把销钉固连在A飞B支座上，则固定铰支A、B对构件I、II的约束反力分别为、与、，如图1-14b所示。当需要分析销钉C的受力时，才把销钉分离出来单独研究。这时，销钉C将同时受到构件I、II上的孔对它的反作用力。其中=-，=-，为构件I与销钉C的作用与反作用力;又=-，=-，则为构件II与销钉C的作用与反作用力。销钉C所受到的约束反力如图1-14d所示。当将销钉C与构件II固连为一体时，与，与为作用在同一刚体上的成对的平衡力，可以消去不画。此时，力的下角不必再区分为Cl和C2，铰链C处的约束反力仍如图1-14b所示。请读者思考，若将销钉C与构件I固连，铰链C处的约束反力将如何表达?上述三种约束(向心轴承、铰链和固定铰链支座)，它们的具体结构虽然不同，但构成约束的性质是相同的，都可表示为光滑铰链此类约束的特点是只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体绕铰链中心的相对转动及沿轴向的位移。4．其它约束(1)滚动支座在桥梁、屋架等结构中经常采用滚动支座约束。这种支座是在铰链支座与光滑支承面之间，装有几个辊轴而构成的，又称辊轴支座，如图1-l5a所示，其简图如图1-l5b所示。它可以沿支承面移动，允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短。显然，滚动支座的约束性质与光滑面约束相同，其约束反力必垂直于支承面，且通过铰链中心。通常用表示其法向约束反力，如图1-l5c所示。(2)球铰链通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链，如图1-16a所示。它使构件的球心不能有任何位移，但构件可绕球心任意转动。若忽略摩擦，与圆柱铰链分析相似，其约束力应是通过球心但方向不能预先确定的一个空间力，可用三个正交分力、、表示，其简图及约束反力如图1-16b所示。(3)止推轴承止推轴承与径向轴承不同，它除了能限制轴的径向位移以外，还能限制轴沿轴向的位移。因此，它比径向轴承多一个沿轴向的约束力，即其约束反力有三个正交分量、、。止推轴承的简图及其约束反力如图1-17所示。以上只介绍了几种简单约束，在工程中，约束的类型远不止这些，有的约束比较复杂，分析时需要加以简化或抽象化，在以后的某些章节中，我们将再作介绍。

§1-4物体的受力分析和受力图在工程实际中，为了求出未知的约束反力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向，这种分析过程称为物体的受力分析。作用在物体上的力可分为两类:一类是主动力，例如:物体的重力、风力、气体压力等，一般是已知的;另一类是约束对于物体的约束反力，为未知的被动力。为了清晰地表示物体的受力情况，我们把需要研究的物体(称为受力体)从周围的物体(称为施力体)中分离出来，单独画出它的简图，这个步骤叫做取研究对象或取分离体。然后把施力物体对研究对象的作用力(包括主动力和约束反力)全部画出来。这种表示物体受力的简明图形，称为受力图。画物体受力图是解决静力学问题的一个重要步骤。下面举例说明。例1-1用力拉动碾子以压平路面，重为的碾子受到一石块的阻碍，如图1-18a所示。试画出碾子的受力图。解:(1)取碾子为研究对象(即取分离体)，并单独画出其简图。(2)画主动力。有地球的引力和杆对碾子中心的拉力。(3)画约束反力。因碾子在A和B两处受到石块和地面的约束，如不计摩擦，均为光滑表面接触，故在A处受石块的法向反力的作用，在B处受地面的法向反力的作用，它们都沿着碾子上接触点的公法线而指向圆心。碾子的受力图如图1-18b所示。例1-2屋架如图1-19a所示。A处为固定铰链支座，B处为滚动支座，搁在光滑的水平面上。已知屋架自重在屋架的AC边上承受了垂直于它的均匀分布的风力，单位长度上承受的力为q。试画出屋架的受力图。解:(1)取屋架为研究对象，除去约束并画出其简图。(2)画主动力。有屋架的重力和均布的风力q。(3)画约束反力。因A处为固定铰文，其约束反力通过铰链中心A，但方向不能确定，可用两个大小未知的正交分力和表示。B处为滚动支座，约束反力垂直向上，用表示。屋架的受力图如图1-19b所示。例1-3如图1-20a所示，水平梁AB用斜杆CD支撑，A、C、D三处均为光滑铰链连接。均质梁重其上放置一重为的电动机。如不计杆CD的自重，试分别画出杆CD和梁AB（包括电动机）的受力图。解:(1)先分析斜杆CD的受力。由于斜杆的自重不计，因此杆只在铰链C、D处受有两个约束反力和。根据光滑铰链的特性，这两个约束反力必定通过铰链C、D的中心，方向暂不确定。考虑到杆CD只在、二力作用下平衡，根据二力平衡公理，这两个力必定沿同一直线，且等值、反向。由此可确定和的作用线应沿铰链中心C与D的连线，由经验判断，此处杆CD受压力，其受力图如图1-2Ob所示。一般情况下，与的指向不能预先判定，可先任意假设杆受拉力或压力。若根据平衡方程求得的力为正值，说明原假设力的指向正确;若为负值，则说明实际杆受力与原假设指向相反。只在两个力作用下平衡的构件，称为二力构件，简称二力杆。它所受的两个力必定沿两力作用点的连线，且等值、反向。二力杆在工程实际中经常遇到，有时也把它作为一种约束，如图1-l5b。(2)取梁AB(包括电动机)为研究对象。它受有、两个主动力的作用。梁在铰链D处受有二力杆CD给它的约束反力的作用。根据作用和反作用定律，=-。梁在A处受固定铰支给它的约束反力的作用，由于方向未知，可用两个大小未定的正交分力和表示。梁AB的受力图如图1-2Oc所示。例1-4如图1-2la所示的三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱AC上作用有载荷。试分别画出拱AC和CB的受力图。解:(1)先分析拱BC受力。由于拱BC自重不计，且只在B、C两处受到铰链约束，因此拱BC为二力构件。在铰链中心B、C处分别受、两力的作用，且=-，这两个力的方向如图1-2lb所示。(2)取拱AC为研究对象。由于自重不计，因此主动力只有载荷P。拱在铰链C处受有拱BC给它的约束反力的作用，根据作用和反作用定律，=-。拱在A处受有固定铰支给它的约束反力的作用，由于方向未定，可用两个大小末知的正交分力和代替。拱AC的受力图如图1-2lc所示。再进一步分析可知，由于拱AC在、和三个力作用下平衡，故可根据三力平衡汇交定理，确定铰链A处约束反力的方向。点D为力和作用线的交点，当拱AC平衡时，反力的作用线必通过点D(图1-2ld);至于的指向，暂且假定如图，以后由平衡条件确定。请读者考虑:若左右两拱都计入自重时，各受力图有何不同?例1-5如图1-22a所示，梯子的两部分AB和AC在点A铰接，又在D、E两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在AB的中点H处作用一铅直载荷。试分别画出绳子DE和梯子的AB、AC部分以及整个系统的受力图。解:(1)绳子DE的受力分析。绳子两端D、E分别受到梯子对它的拉力、的作用(图1-22b)。(2)梯子AB部分的受力分析。它在H处受载荷P的作用，在铰链A处受AC部分给它的约束反力和的作用。在点D受绳子对它的拉力(与互为作用力和反作用力)。在点B受光滑地面对它的法向反力的作用。梯子AB部分的受力图如图1-22c所示。(3)梯子AC部分的受力分析。在铰链A处受AB部分对它的作用力和(分别与和互为作用力和反作用力)。在点E受绳子对它的拉力(与互为作用力和反作用力)。在C处受光滑地面对它的法向反力。梯子AC部分的受力图如图1-22d所示。(4)整个系统的受力分析。当选整个系统为研究对象时，可把平衡的整个结构刚化为刚体。由于铰链A处所受的力互为作用力与反作用力关系，即=-，=-;绳子与梯子连接点D和E所受的力也分别互为作用力与反作用力关系，即=-，=-，这些力都成对地作用在整个系统内，称为内力。内力对系统的作用效应相互抵消，因此可以除去，并不影响整个系统的平衡。故内力在受力图上不必画出。在受力图上只需画出系统以外的物体给系统的作用力，这种力称为外力。这里，载荷和约束反力、都是作用于整个系统的外力。整个系统的受力图如图1-22e所示。应该指出，内力与外力的区分不是绝对的。例如，当我们把梯子的AC部分作为研究对象时，、和均属外力，但取整体为研究对象时，、和又成为内力。可见，内力与外力的区分，只有相对于某一确定的研究对象才有意义。例1-6图1-23a所示的平面构架，由杆AB、DE及DB铰接而成。A为滚动支座，E为固定铰链。钢绳一端拴在K处，另一端绕过定滑轮I和动滑轮II后拴在销钉B上。物重为，各杆及滑轮的自重不计。(1)试分别画出各杆、各滑轮、销钉B以及整个系统的受力图;(2)画出销钉B与滑轮I一起的受力图;(3)画出杆AB、滑轮I、II、钢绳和重物作为一个系统时的受力图。解:(1)取杆BD为研究对象(B处为没有销钉的孔)。由于杆BD为二力杆，故在铰链中心D、B处分别受、两力的作用，其中为销钉给孔B的约束反力，其受力图如图1-23b所示。(2)取杆AB为研究对象(B处仍为没有销钉的孔)。A处受有滚动支座的约束反力的作用;C为铰链约束，其约束反力可用两个正交分力、表示；B处受有销钉给孔B的约束反力，亦可用两个正交分力、表示，方向暂先假设如图。杆AB的受力图如图1-23c所示。(3)取杆DE为研究对象。其上共有D、K、C、E四处受力，D处受二力杆给它的约束反力(=-);K处受钢绳的拉力，铰链C受到反作用力与(=-，=-);E为固定铰链，其约束反力可用两个正交分力与表示。杆D也的受力图如图1-23d所示。(4)取轮I为研究对象(B处为没有销钉的孔)。其上受有两段钢绳的拉力、(=-)外，还有销钉B对孔B的约束反力,及，其受力图如图1-23e所示(亦可根据三力平衡汇交定理，确定铰链B处约束反力的方向，如图中虚线所示)。(5)取轮II为研究对象，其上受三段钢绳拉力、及，其中=-。轮II的受力图如图1-23f所示。(6)单独取销钉B为研究对象，它与杆DB、AB、轮I及钢绳等四个物体连接，因此这四个物体对销钉都有力作用。二力杆DB对它的约束反力为(=-);杆AB对它的约束反力为、(=-、=-);轮I给销钉B的约束反力为与(=-、=-);另外还受到钢绳对销钉B的拉力(=-)。其受力图如图1-23g所示。(7)当取整体为研究对象时，可把整个系统刚化为刚体;其上铰链B、C、D及钢绳各处均受到成对的内力，故可不画。系统的外力除主动力P外，还有约束反力与、。其受力图如图1-23h所示。(8)当取销钉B与滑轮I一起为研究对象时，销钉B与滑轮I之间的作用与反作用力为内力，可不画。其上除受三绳拉力、及外，还受到二力杆BD及杆AB在B处对它的约束反力及、。其受力图如图1-2i所示。(9)当取杆AB、滑轮I、II以及重物、钢绳(包括销钉B)一起为研究对象时，此时可将此系统刚化为一个刚体。这样，销钉B与轮I、杆AB、钢绳之间的作用与反作用力，都是作用在同一刚体上的成对内力，可不画。系统上的外力有主动力，约束反力、及、外，还有K处的钢绳拉力。其受力图如图1-2引所示。此题较难，是由于销钉B与四个物体连接，销钉B与每个连接物体之间都有作用与反作用关系，故销钉B上受到的力较多，因此必须明确其上每一个力的施力物体。必须注意:当分析各物体在B处的受力时，应根据求解需要，将销钉单独画出或将它属于某一个物体。因为各研究对象在B处是否包括销钉，其受力图是不同的，如图1-23e与图1-23i。以后凡遇到销钉与三个以上物体连接时，都应注意上述问题。读者还可以分析当杆DB包括销钉B或杆AB包括销钉B为研究对象时的受力图，并与图1-23b或图1-23c比较，且说明各力之间的作用力与反作用力关系。正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意如下几点:1．必须明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。2．正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体之间相互的机械作用，因此，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。同时，也不可漏掉一个力。一般可先画已知的主动力，再画约束反力;凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束反力。3.正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。4．当分析两物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系，因此不必画出，只需画出全部外力。

小结1．静力学研究作用于物体上力系的平衡。具体研究以下三个问题。(1)物体的受力分析;(2)力系的等效替换;(3)力系的平衡条件。2．力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化(包括变形)。力的作用效应由力的大小、方向和作用点决定，称为力的三要素。力是矢量。作用在刚体上的力可以沿着作用线移动，这种力矢量是滑动矢量。3．静力学公理是力学的最基本、最普遍的客观规律。公理1力的平行四边形规则。公理2二力平衡条件。以上两个公理，阐明了作用在一个物体上最简单的力系的合成规则及其平衡条件。公理3加减平衡力系原理。这个公理是研究力系等效变换的依据。公理4作用和反作用定律。这个公理阐明了两个物体相互作用的关系。公理5刚化原理。这个公理阐明了变形体抽象成刚体模型的条件，并指出刚体平衡的必要和充分条件只是变形体平衡的必要条件。4．约束和约束反力限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束，如:绳索、光滑铰链、滚动支座、二力构件、球铰链及止推轴承等。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。画约束反力时，应分别根据每个约束本身的特性确定其约束反力的方向。5．物体的受力分析和受力图是研究物体平衡和运动的前提。画物体受力图时，首先要明确研究对象(即取分离体)。物体受的力分为主动力和约束反力。当分析多个物体组成的系统受力时，要注意分清内力与外力，内力成对可不画;还要注意作用力与反作用力之间的相互关系。第二章平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系，，，的作用，各力作用线汇交于点A，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A，如图2-la所示。为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A的合力;还可以用更简便的方法求此合力的大小与方向。任取一点a，先作力三角形求出与的合力大小与方向，再作力三角形合成与得，最后合成与得，如图2-lb所示。多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量称此力多边形的封闭边。封闭边矢量即表示此平面汇交力系合力的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A，如图2-la所示的。必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc所示。总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含n个力，以表示它们的合力矢，则有=++…+=(2-1)合力对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即=（2-2）2·平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系可用其合力来代替，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系的合力等于零。如用矢量等式表示，即=０(2-3)在平衡情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，可得如下结论:平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系的力多边形自行封闭，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后，用尺和量角器在图上量得所要求的本知量;也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量，这种解题方法称为几何法。例2-1如图2-2a所示的压路碾子，自重=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力。试求:(1)当水平拉力=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力;(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大;(3)力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力为多大。解:(1)选碾子为研究对象，其受力图如图2-2b所示，各力组成平面汇交力系。根据平衡的几何条件，力、、与应组成封闭的力多边形。按比例先画已知力矢与如图2-2c，再从a、c两点分别作平行于、的平行线，相交于点d。将各力矢首尾相接，组成封闭的力多边形，则图2-2c中的矢量和即为A、B两点约束反力、的大小与方向。从图2-2c中按比例量得=l1.4kN，=lOkN由图2-2c的几何关系，也可以计算、的数值。由图2-2a，按已知条件可求得

cosα==0.886故α≈30°

再由图2-2c中各矢量的几何关系，可得sinα=F+cosα=解得==10kN=-cosα=l1.34kN根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分别等于11.34kN和10kN。(2)碾子能越过障碍物的力学条件是=O，因此，碾子刚刚离开地面时，其封闭的力三角形如图2-2d所示。由几何关系，此时水平拉力=tanα=11.55kN此时B处的约束反力==23.09kN(3)从图2-2d中可以清楚地看到，当拉力与垂直时，拉动碾子的力为最小，即=sinα=l0kN由此例题可以看出，用几何法解题时，各力之间的关系很清楚，一目了然。例2-2支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图2-3a所示。已知AC=CB;杆DC与水平线成45°角;载荷F=l0kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。解:选取横梁AB为研究对象。横梁在B处受载荷作用。DC为二力杆，它对横梁C处的约束反力的作用线必沿两铰链D、C中心的连线。铰链A的约束反力的作用线可根据三力平衡汇交定理确定，即通过另两力的交点E，如图2-3b所示。根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力三角形。按照图中力的比例尺，先画出已知力=,再由点a作直线平行于AE，由点b作直线平行CE，这两直线相交于点d,如图2-3c。由力三角形abd封闭，可确定和的指向。在力三角形中，线段bd和da分别表示力和的大小，量出它们的长度，按比例换算得:=28.3kN=22.4kN根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC的C端的力与的大小相等，方向相反。由此可知杆DC受压力，如图2-3b所示。应该指出，封闭力三角形也可以如图2-3d所示，同样可求得力和，且结果相同。通过以上例题，可总结几何法解题的主要步骤如下:1．选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。2．分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受三个力作用，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。３.作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定末知力的指向。4．求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用三角公式计算出来。

§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法解析法是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件。1.力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式如图2-4所示，已知力F与平面内正交轴x、y的夹角为α、β，则力在x、y轴上的投影分别为X=cosαY=cosβ=Fsinα(2-4)即力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力在轴上的投影为代数量，当力与轴间夹角为锐角时，其值为正;当夹角为钝角时，其值为负。由图2-4可知，力F沿正交轴Ox、Oy可分解为两个分力和时，其分力与力的投影之间有下列关系=Xi,=Yj由此，力的解析表达式为=Xi+Yj(2-5)其中i、j分别为x、y轴的单位矢量。显然，己知力在平面内两个正交轴上的投影X和Y时，该力矢的大小和方向余弦分别为=(2一6)cos(,i)=,cos(,j)=必须注意，力在轴上的投影X、Y为代数量，而力沿轴的分量=Xi和=Yj为矢量，二者不可混淆。当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力、在数值上也不等于力在两轴上的投影X、Y，如图2-5所示。2．平面汇交力系合成的解析法设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点0作为坐标原点，建立直角坐标系0xy，如图2-6a所示。根据式(2-5)，此汇交力系的合力的解析表达式为=i+j式中，、为合力在x、y轴上的投影。图2-6根据合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和，将式（2-1）向x、y轴投影，可得=++…+==++…+=（2-7）其中和，和，…，和分别为各分力在x和y轴上的投影。根据式(2-6)可求得合力失的大小和方向余弦为==，cos(,i)=,cos(,j)=（2-8）例2-3求图2-7所示平面共点力系的合力。解:用式(2-7)和(2-8)计算。==cos30°-cos60°-cos45°+cos45°=200cos30°-300cos60°_100cos45°+250cos45°=129.3N==cos60°+cos30°-cos45°-cos45°=200cos60°+300cos30°-100cos45°-250cos45°=112.3N===171.3Ncosα===0.7548,cosβ===0.6556则合力与x、y轴夹角分别为α=40.99°,β=49.01°合力的作用线通过汇交点0。3．平面汇交力系的平衡方程由§2-1知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。由式(2-8)应有==0欲使上式成立，必须同时满足:=0=0于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式(2-9)称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。下面举例说明平面汇交力系平衡方程的实际应用。例2-4如图2-8a所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。解:(1)取研究对象。由于AB、BC两杆都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC受压力，如图2-8b所示。为了求出这两个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来解决。因此选取滑轮B为研究对象。(2)画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力和(已知==P)。此外杆AB和BC对滑轮的约束反力为和。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系，如图2-8c所示。(3)列平衡方程。选取坐标轴如图所示。为使每个未知力只在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在一个平衡方程中只有一个未知数，不必解联立方程，即=0，-+cos60°-cos30°=0(a)=0,-cos30°-cos60°=0(b)(4)求解方程。由式(a)得=-0.366P=-7.321kN由式(b)得=1.366P=27.32kN所求结果，为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力。例2-5图2-9a所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重忽略不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力为=3kN,h=2OOmm,l=15OOmmn。试求压块C对工件与地面的压力，以及，AB杆所受的力。

解:根据作用力和反作用力的关系，压块对工件的压力与工件对压块的约束反力等值、反向。而已知油缸的总压力作用在活塞上，因此要分别研究活塞杆DB和压块C的平衡才能解决问题。先选活塞杆DB为研究对象。设二力杆AB、BC均受压力。因此活塞杆的受力图如图2-9b所示。按图示坐标轴列出平衡方程=0,cosα-cosα=0解得==0,sinα+sinα-F=0解得===11.35kN再选压块C为研究对象，其受力图如图2-9c所示。通过二力杆BC的平衡，可知=。按图示坐标轴列出平衡方程=O，-+cosα=0=0，-sinα+=0解得==cotα==11.25kN=sinα==1.5kN压块C对地面的压力与等值而方向相反。§2-3平面力对点之矩的概念及计算力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变(包括移动与转动)，其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量;而力对刚体的转动效应可用力对点的矩(简称力矩)来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。1．力对点之矩(力矩)如图2-10所示，平面上作用一力F，在同平面内任取一点0，点0称为矩心，点0到力的作用线的垂直距离h称为力臂，则在平面问题中力对点的矩的定义如下:力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定:力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。力对于点O的矩以记号Mo()表示，于是,计算公式为Mo()=±h(2-10)由图2-10容易看出，力对点0的矩的大小也可用三角形OAB面积的两倍表示，即Mo()=±2△OAB(2-lOa)显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。力矩的单位常用N·m或kN·m。如以r表示由点O到A的矢径(图2-10)，由矢量积定义,r×的大小就是三角形OAB面积的两倍。由此可见，此矢积的模就等于力F对点0的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。2．合力矩定理定理:平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。证明:如图2-11所示，r为矩心0到汇交点A的矢径，为平面汇交力系,，…的合力，即=++…以r对上式两端作矢积，有r×R=r×+r×+…+r×由于力,，…与点0共面，上式各矢积平行，因此上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点0之矩，于是证得合力矩定理，即Mo()=Mo()+Mo()+…+Mo()=(2-11)按力系等效概念，上式易于理解，且式(2-11)应适用于任何有合力存在的力系。顺便指出，当平面汇交力系平衡时，合力为零;由式(2-11)可知，各力对任一点0之矩的代数和皆为零。即=0上式说明:可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡问题。3．力矩与合力矩的解析表达式如图2-12所示，已知力，作用点A(x,y)及其夹角α。欲求力对坐标原点0之矩，可按式(2-11)，通过其分力与对点0之矩而得到，即Mo()=Mo()+Mo()=xsinα-ycosα或Mo(F)=xY-yX（2-12）式(2-12)为平面内力矩的解析表达式。其中x、y为力作用点的坐标;X、Y为力在x、y轴的投影。计算时应注意它们的代数量代入。若将式(2-12)代入式(2-11)，即可得合力对坐标原点之矩的解析表达式，即Mo()=（-）(2一12)'例2-6如图2-13a所示圆柱直齿轮，受到啮合力的作用。设=1400N。压力角α=20°，齿轮的节圆(啮合圆)的半径r=6Omm,试计算力对于轴心0的力矩。

解:计算力R对点0的矩，可直接按力矩的定义求得(图2-13a)，即Mo()=.h其中力臂h=rcosα,故Mo()=rcosα=1400×6O×cos20°=78.93N·m我们也可以根据合力矩定理，将力见分解为圆周力F和径向力(图2-13b)，由于径向力通过矩心0，则Mo()=Mo(F)+Mo()=Mo(F)=cosα·r由此可见，似上两种方法的计算结果是相同的。例2-7图2-14a所示的踏板，各杆自重不计。已知:力F及其与x轴的夹角α,力作用点B坐标(，)，距离l。试求平衡时水平杆CD的拉力。解:取整体为研究对象，其上受三力作用，且F、与汇交于点E(其中为二力杆的拉力)，受力图如图2-14b所示。平衡时应满足=0。设力F对点A的力臂为h则有h-l=O上式就是熟知的杠杆平衡条件。由于力臂A未知，可用合力矩定理求得力对点A之矩。得cosα·-sinα·-l=0求得拉力为=

例2-8水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图2-15所示。载荷的最大值为q,梁长l。试求合力作用线的位置。解:在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为q'dx，其中q'为该处的载荷强度。由图可知,q'=q。因此分布载荷的合力的大小为==ql设合力的作用线距A端的距离为h,在微段dx上的作用力对点A的矩为q'dx·x，全部载荷对点A的矩的代数和可用积分求出，根据合力矩定理可写成h=l计算结果说明:合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角形的几何中心。§2-4平面力偶理论1．力偶与力偶矩实践中，我们常常见到汽车司机用双手转动驾驶盘(图2-16a)、电动机的定子磁场对转子作用电磁力使之旋转(图2-16b)、钳工用丝锥攻螺纹等。在驾驶盘、电机转子、丝锥等物体上，都作用了成对的等值、反向且不共线的平行力。等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，如图2-17所示，记作(，)。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换;力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素。力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。因此，力偶对物体的转动效应，可用力偶矩来度量，即用力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和来度量。设有力偶(，)，其力偶臂为d，如图2-18所示。力偶对点0的矩为Mo(，)，则Mo(，)=Mo()+Mo()=·aO-·b0=F(aO-b0)=d矩心0是任意选取的，由此可知，力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作M(，)，简记为M。力偶在平面内的转向不同，其作用效应也不相同。因此，平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定:(1)力偶矩的大小;(2)力偶在作用平面内的转向。因此力偶矩可视为代数量，即M=±d(2-13)于是可得结论:力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位与力矩相同，也是N·m。由图2-18可见，力偶矩也可用三角形面积表示，即M=±2△ABC(2-13)’2．同平面内力偶的等效定理定理:在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。证明:如图2-19所示，设在同平面内有两个力偶(，)和(，)作用，它们的力偶矩相等，且力的作用线分别交于点A和B，现证明这两个力偶是等效的。将力和分别沿它们的作用线移到点A和B;然后分别沿连线AB和力偶(，)的两力的作用线方向分解，得到、和'、'四个力，显然，这四个力与原力偶(，)等效。由于两个力平行四边形全等，于是力'与大小相等，方向相反，并且共线，是一对平衡力，可以除去;剩下的两个力与'大小相等，方向相反，组成一个新力偶(，')，并与原力偶(Fo，Fo')等效。连接CB和DB。根据式(2-13)计算力偶矩，有:M(，)=-2△ACBM(，')=-2△ADB因为CD平行AB，△ACB和△ADB同底等高，面积相等，于是得M(,)=M(，')即力偶(Fo，Fo')与(，')等效时，它们的力偶矩相等。由假设知M(,)=M(,)因此有M(,')=M(,)由图可见，力偶(，')和(，)有相等的力偶臂d和相同的转向，于是得=，'=可见力偶(,')与(，)完全相等。又因为力偶(，')与(，)等效,所以力偶(，)与(，)等效。于是定理得到证明。上述定理给出了在同一平面内力偶等效的条件。由此可得推论(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。由此可见，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩是力偶作用的唯一量度。今后常用图2-20所示的符号表示力偶。M为力偶的矩。3．平面力偶系的合成和平衡条件(1)平面力偶系的合成设在同一平面内有两个力偶(，')和(，')，它们的力偶臂各为和，如图2-2la所示。这两个力偶的矩分别为和，求它们的合成结果。为此，在保持力偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶的力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长d，并将它们在平面内移转，使力的作用线重合，如图2-2lb所示。于是得到与原力偶等效的两个新力偶(，')和(，')。和的大小为:=，=分别将作用在点A和B的力合成(设>)，得=-=-由于与是相等的，所以构成了与原力偶系等效的合力偶(，)，如图2-2lc所示，以M表示合力偶的矩，得M==(-)d=d-d=-如果有两个以上的力偶，可以按照上述方法合成。这就是说:在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，可写为M=(2-14)(2)平面力偶系的平衡条件由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是:所有各力偶矩的代数和等于零，即=0(2-15)例2-9如图2-22所示的工件上作用有三个力偶。已知:三个力偶的矩分别为:==lON·m，=2ON·m;固定螺柱A和B的矩离=2OOmm。求两个光滑螺柱所受的水平力。解:选工件为研究对象。工件在水平面内受三个力偶和两个螺柱的水平反力的作用。根据力偶系的合成定理，三个力偶合成后仍为一力偶，如果工件平衡，必有一反力偶与它相平衡。因此螺柱A和B的水平反力，和必组成一力偶，它们的方向假设如图所示，则=。由力偶系的平衡条件知=0，l=0得=

代人己给数值后，得=2OON因为是正值，故所假设的方向是正确的，而螺柱A、B所受的力则应与、大小相等，方向相反。例2-10图2-23a所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为=21kN·m，OA=r=O.5m。图示位置时OA与OB垂直,α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩，及铰链O、B处的约束反力。解:先取圆轮为研究对象，其上受有矩为，的力偶及光滑导槽对销子A的作用力心和铰链O处约束反力Fo的作用。由于力偶必须由力偶来平衡，因而与必定组成一力偶;力偶矩方向与相反，由此定出指向如图2-23b。而与等值且反向。由力偶平衡条件=0，-rsinα=0解得=(a)再以摇杆BC为研究对象，其上作用有矩为的力偶及力'与，如图2-23c所示。同理，'与必组成力偶，由平衡条件=0,-+'=0其中'=。将式(a)代人式(b)，得=4=8kN·m与组成力偶，与'组成力偶，则有====8kN方向如图2-23b、c所示。

小结1．力在坐标轴上的投影为X=cosα式中α为力与x轴间的夹角，投影值为代数量。2．平面内力的解析表达式为=Xi+Yj3．求平面汇交力系的合力(1)几何法求合力。根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为=合力作用线通过各力的汇交点。(2)解析法求合力。根据合力投影定理。利用各分力在两个正交轴上的投影的代数和，求得合力的大小和方向余弦为:=cos(,i)=cos(,j)=合力作用线通过各力的汇交点。4．平面汇交力系的平衡条件(1)平衡的必要和充分条件:平面汇交力系的合力为零。即==O(2)平衡的几何条件:平面汇交力系的力多边形自行封闭。(3)平衡的解析条件:平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即:=0=O由两个独立的平衡方程，可求得两个未知量。5．平面内的力对点0之矩是代数量，记为Mo()Mo()=±h=±2△ABO其中为力的大小,h为力臂，△ABO为力矢AB与矩心0组成三角形的面积。一般以逆时针转向为正，反之为负。6．力矩的解析表达式为Mo()=xY-yX其中x、y为力作用点的坐标，X、Y为力的投影。7．合力矩定理:平面汇交力系的合力从对于平面内任一点的矩等于所有各力对该点的矩的代数和，即Mo()==8．力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即M=±d式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。力偶在任一轴上的投影等于零，它对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。9．同平面内力偶的等效定理:在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一度量。10．平面力偶系的合成与平衡同平面内几个力偶可以合成为一个合力偶。合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即M=,平面力偶系的平衡条件为=0第三章平面任意力系工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内(或近似地分布在同一平面内)，并呈任意分布的力系。当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视作平面任意力系问题。本章将在前面两章的基础上，详述平面任意力系的简化和平衡问题，并介绍平面简单桁架的内力计算。§3-1平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。1．力的平移定理定理:可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。证明:图3-1a中的力作用于刚体的点A。在刚体上任取一点B，并在点B加上两个等值反向的力'和〃，使它们与力平行，且'=〃，如图3-1b所示。显然，三个力、'、〃组成的新力系与原来的一个力等效。但是，这三个力可看作是一个作用在点B的力'和一个力偶(,〃)。这样，就把作用于点A的力平移到另一点B，但同时附加上一个相应的力偶，这个力偶称为附加力偶(图3-1c)。显然，附加力偶的矩为M=d其中d为附加力偶的臂，也就是点B到力的作用线的垂距，因此d也等于力对点B的矩()由此证得M=()反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。力的平移定理不仅是力系向一点简化的依据，而且可用来解释一些实际问题。例如，攻丝时，必须用两手握扳手，而且用力要相等。为什么不允许用一只手扳动扳手呢(图3-2a)?因为作用在扳手AB一端的力，与作用在点C的一个力'和一个矩为M的力偶(图3-2b)等效。这个力偶使丝锥转动，而这个力'却往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。2．平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩为了具体说明力系向一点简化的方法和结果，设想物体上只作用有三个力、、组成的平面任意力系，如图3-3a所示。在平面内任取一点0，称为简化中心;应用力的平移定理，把各力都平移到点0。这样，得到作用于点0的力'、'、'，以及相应的附加力偶，其矩分别为、和，如图3-3b所示。这些力偶作用在同一平面内，它们的矩分别等于力、、对点0的矩，即:=Mo()=Mo()=Mo()

这样，平面任意力系分解成了两个简单力系:平面汇交力系和平面力偶系。然后，再分别合成这两个力系。平面汇交力系'、'、'均可合成为作用线通过点0的一个力'，如图3-3c所示。因为各力矢'、'、'分别与原力矢、、相等，所以'='+'+'=++即力矢'等于原来各力的矢量和。矩为、、的平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代数和。由于附加力偶矩等于力对简化中心的矩，所以Mo=++=Mo()+Mo()+Mo()即这力偶的矩等于原来各力对点0的矩的代数和。对于力的数目为n的平面任意力系，不难推广为'=（3-1）

Mo=(3-2)平面任意力系中所有各力的矢量和'，称为该力系的主矢;而这些力对于任选简化中心0的矩的代数和Mo，称为该力系对于简化中心的主矩。上面所得结果可陈述如下:在一般情形下，平面任意力系向作用面内任选一点0简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点0的主矩。由于主矢等于各力的矢量和，所以，它与简化中心的选择无关。而主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，当取不同的点为简化中心时，各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也有改变，所以在一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。取坐标系0xy，如图3-3所示，i,j为沿x、y轴的单位矢量，则力系主矢的解桁表达式为'='+'=i+j(3-3)于是主矢'的大小和方向余弦为:'=cos(',i)=,cos(',j)=力系对点0的主矩的解桁表达式为Mo=(Fi)=(-)(3-4)其中、为力作用点的坐标。现利用力系向一点简化的方法，分桁固定端(插人端)支座的约束反力。如图3-4a和b所示，车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘上固定不动，这种约束称为固定端或插人端支座，其简图如图3-4c所示。固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束反力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系，如图3-5a所示。将这群力向作用平面内点A简化得到一个力和一个力偶，如图3-5b所示。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。可用两个未知分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端A处的约束反作用可简化为两个约束反力、，和一个矩为的约束反力偶，如图3-5c所示。比较固定端支座与固定铰链支座的约束性质可见，固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动。因此，除了约束反力、外，还有矩为的约束反力偶。而固定铰链支座没有约束反力偶，因为它不能限制物体在平面内转动。工程中，固定端支座是一种常见的约束，除前面讲到的刀架、卡盘外，还有插人地基中的电线杆以及悬臂梁等。§3-2平面任意力系的简化结果分析平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况，即:(l)'=O,Mo≠0;(2)'≠0,Mo=0;(3)'≠0，Mo≠0;(4)'=0,Mo=0。下面对这几种情况作进一步的分析讨论。1.平面任意力系简化为一个力偶的情形如果力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩Mo不等于零，即'=O,Mo≠0在这种情形下，作用于简化中心0的力'，'，…，'相互平衡。但是，附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，即与原力系等效的合力偶。合力偶矩为Mo=因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。2．平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理如果平面力系向点0简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零，即'≠0，Mo=0此时附加力偶系互相平衡，只有一个与原力系等效的力'。显然，'就是原力系的合力，而合力的作用线恰好通过选定的简化中心O。如果平面力系向点O简化的结果是主矢和主矩都不等于零，如图3-6a所示，即'≠0，Mo≠0现将矩为Mo的力