培优专题 十三类函数选填常考压轴题专项训练（等高线对称性与周期双变量恒成立等）（原卷版）

培优专题十三类函数选填常考压轴题专项训练一、高斯函数（取整函数问题）安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴 5重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴 5广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴 5广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴 6福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴 6二、抽象函数问题湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴 7重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 7福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 7三、函数对称性与周期性类型一：对称性和周期性的判断福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴 9类型二：利用对称性和周期性求值重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴 9广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 9类型三：利用对称性和周期性求交点个数广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 10江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴 10广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴 10类型四：利用周期性求若干个函数值的和华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴 10广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴 类型五：两个函数混合型重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴 11广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴 11类型六：对称性的探究问题广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴 四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴 12广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴 12武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴 12安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 13湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴 13湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴 13五、构造新函数解不等式江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴 14广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴 14江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 14湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴 15重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题 15江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 15广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴 15六、等高线问题安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴 16重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴 16安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 16重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴 17浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴 武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 17福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴 17湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴 17七、函数新定义问题江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴 18湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 18江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴 广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 19八、比较大小类型一：结合函数图像比大小浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴 20湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴 20类型二：结合换底公式比大小江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴 21重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴 21广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴 21类型三：利用中间数比大小广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴 21广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题 21类型四：同构再利用单调性比大小广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴 22九、嵌套函数类型一：自(互)嵌套型f(g(x))或f(f(x))湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴 22广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴 22类型二：二次嵌套型g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末 23广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴 23广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴 23重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴 23十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选）重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 23广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴 24广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 24广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴 24广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴 25广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴 25十一、双变量恒（能）成立问题类型一：双变量能成立问题广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴 26江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴 26类型二：双变量恒成立问题重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴 26十二、反函数，指对数运算及其函数性质类型一：反函数的应用湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴 26江苏省南京市2023-2024高一上期末填空压轴 27类型二：指对数运算及其函数性质广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末单选次压轴 27湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末压轴 27广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末填空压轴 27广东省佛山市2023-2024高一上期末填空压轴 27广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末填空次压轴 27江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 27十三、函数零点问题类型一：零点个数探究安徽省部分学校2023-2024高一上期末填空压轴 28广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末填空压轴 28湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 28类型二：由零点个数求参数范围江苏省苏州市2023-2024高一上期末单选次压轴 29福建省厦门市2023-2024高一上期末单选压轴 29湖南省长沙市省示范学校2023-2024高一上期末单选次压轴 29广东省中山市2023-2024高一上期末填空压轴 29类型三：零点相关的运算重庆市第一中学校2023-2024高一上期末单选次压轴 29湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上期末填空压轴 30一、高斯函数（取整函数问题）设[x]表示不超过实数x的最大整数,则称f(x)=[x]为取整函数（又叫高斯函数）,由于取整函数的定义域是连续的,值域却是离散的,因而有其独特的性质和广泛的应用,再加上取整函数的新颖背景及处理取整函数问题时常常要分段讨论,使得与取整函数有关的试题能有效的考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想,因而备受命题者的青睐.由取整函数定义可得取整函数具有如下性质：⑴函数f(x)=[x]的定义域为R,值域Z；⑶当x1⑸f(x)=[x]是周期函数且最小正周期为1；安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴1多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y=[x]为高斯函数．例如[-3.5]=-4,[2.1]=2，则下列说法正确的是()A．=sin是周期函数B．函数f=x2-在区间[,)(k∈N*)上单调递增C．关于x的不等式[x]2-4[x]-12≤0的解集为[-2,6]D．若函数则函数y=[f(x)]的值域是{-1,0}重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴2．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，如[1.2]=1，[-1.2]=-2，令f(x)=x-[x]，则下列选项正确的是()C．f(x+1)=f(x)+1D．函数f(x)的值域为[0,1)广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴3多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴4多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-1.2]=-2，[1.3]=1.下列说法正确的是()1至x之间的整数中，有个是n的倍数D．方程lg2x-[lgx]-2=0共有2个不等的实数根福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴5多选）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.定义在(0,+∞)上的函数满足f，且当x∈=-sinπx，则()A．f(3)=2C．f(x)在区间2k,2k+k)(k∈N*)上单调递增D．关于x的方程f(x)=x-[x]在区间(0,2048]上恰有23个实根二、抽象函数问题赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般带入-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到f(-x)与f(x)的关系判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…，判断符号时要变形为：f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2);②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…，判断符号时要变形为：湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴6多选）已知函数f(x)(x∈R)满足当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，则下列说法正确的是()A．函数f(x)在R上单调递增B．f(0)=0或1C．函数f(x)为非奇非偶函数D．对任意实数x1,x2满足重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴7多选）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且f(3)=，则下列说法正确的是()A．若对任意x，y∈R，总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，则f(x)是奇函数B．若对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是偶函数C．若对任意x，y∈R；总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，则f(|(-),=D．若对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(|(-),=-福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴8多选）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，满足对任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x).f(y)-f(x)-f(y)+2，且x>1时，f(x)>2．则下列说法正确的是()C．f(x)在(0,1)是减函数D．存在实数k使得函数y=f(x)+k在(0,1)是减函数三、函数对称性与周期性一、对称性若f，且=b三f关于x=b对称（2）f(mx+a)+b是偶函数三f(x)关于x=a对称（4）f(mx+a)+b是奇函数三f(x)关于(a,b)对称对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同二、周期函数的常见条件一、若f(x)+f(x+a)=c（c为常数则f(x)周期为2a.证明：令x=x+a→f(x+a)+f(x+2a)=c，两式相减得f(x+2a)-f(x)=0即f(x+2a)=f(x)，故T=2a二，则T=2相对少见）三、其它周期条件设函数y=f(x)，x∈R，a>0，a≠b.（1）若f(x+a)=f(x-a)，则函数f(x)的周期为2a；（2）若f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)的周期为2a；若f则函数f(x)的周期为2a；若f则函数f(x)的周期为2a；（5）若f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)的周期为a-b；（6）若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数f(x)的周期为2b-a；（7）若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为2b-a；（8）若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为4b-a；（9）若函数f(x)是偶函数，且其图象关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2a；（10）若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x=a对称，则f(x)的周期为4a.三、周期与对称性的区分1.若f(x+a)=±fx+b,则f(x)具有周期性；2.若f(x+a)=±f(b−x),则f(x)具有对称性：口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”类型一：对称性和周期性的判断福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴923-24高一上·福建泉州·期末多选）定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x)，则下列结论一定成立的是()A．f(0)=0B．2是f(x)的一个周期C．(2,0)是f(x)的一个对称中心D．f(3x+1)为偶函数类型二：利用对称性和周期性求值重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴若=6，则f）广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 11．已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x+b，则f） 类型三：利用对称性和周期性求交点个数广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴12多选）设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是()A．B．f(x+7)为奇函数C．f(x)在(6,8)上为减函数D．方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴13多选）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=-f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1).下列命题正确的是()A．f(2023)+f(-2024)=0B．f(x)是周期为2的周期函数C．直线y=x与f(x)的图象有且仅有2个交点D．f(x)的值域为(-1,1)广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴14多选）已知定义在R上的函数f(x)满足，且当-1≤x<0时，f=2x，A．f(x)是周期为2的周期函数B．当4≤x<5时，f(x)=-24-xC．f(x)的图象与g(x)=log0.5x的图象有两个公共点D．f(x)在(2022,2024)上单调递增类型四：利用周期性求若干个函数值的和华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴15．定义在R上的函数f(x)满足f(1+3x)=f(1-3x)，且f(2x+4)关于(-2,0)对称，当0≤x≤1时，x-a，则广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴16多选）已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，都存f且A．y=f(x+1)是奇函数B．f(4-x)=-f(x)C．f(x)的值域为[-2,2]D.类型五：两个函数混合型重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴17多选）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)=f(4+x)，f(x+y)+f(x-y)=g(x-4)f(y)，g(-3)=1，则下列说法正确的有()A．f(1)=1B．f(x)为奇函数C．f(x)的周期为广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴18多选）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)+f(-x+2)=1，f(x)-g(x+1)=1，若y=fx的图象关于直线x=1对称，则以下说法正确的是()C．x∈R，f(x)=f(x+2)D．若f(x)的值域为[m,M]，则g(x)+f(x)=m+M类型六：对称性的探究问题广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴19．已知a>0且a≠1，若函数中至少存在两点A,B，使A,B关于y轴对称，则a的取值范围是.四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和1、函数对称性函数y=f(x)的定义域为D，x∈D，①存在常数a，b使得f(x)+f(2a-x)=2bf(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)图象关于点(a,b)对称.②存在常数a使得f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=a对称.2、若两个函数有相同的对称轴或对称中心，则它们的交点也关于该对称轴或对称中心对称（1）若f(x)与g(x)关于x=a对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和am（2）若f(x)与g(x)关于(a,b)对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和am，纵坐标之和为bm安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴20．已知函数则f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=()A．4047B．4048C．4049D．4050广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴21．定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)是奇函数，且函数y=f(x)的图象与函数的交武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴22安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴23．函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3-3x2图象成中心对称，则：f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)=.湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴24多选）定义在R上的函数f(x)满足f(4-x)=-f(x),f(2x+1)为偶函数，f(1)=2，函数g(x)(x∈R)满足g(x)=g(2-x)，若y=f(x)与y=g(x)恰有2023个交点，从左至右依次为(x2023,y2023)，则下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．2为y=f(x)的一个周期22023湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴25多选）定义在R上的奇函数f(x)，满足f(1+x)=f(3-x)且f(x)在[0,2]上单调递减，A．函数f(x)图象关于直线x=2对称B．函数f(x)的周期为4C．f(2024)+f(2022)=1D．设g和g的图象所有交点横坐标之和为-2五、构造新函数解不等式常见模型江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴26．已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2，若对于x1，x2∈(0,+∞)，当x1>x2时，都有广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴若f(2)=4，则不等式f(x)-2x≤0的解集为.江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴28．已知函数f(x)=x2-x，若对于任意的x1、x2∈[1,+∞)，x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，则a的取值范围是()湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴29．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若a,b∈,且a≠b，都有成立，则不等式的解集为()u重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题30．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若a，b∈,且a≠b，都有成立，则不等式的解集为()江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴31．已知函数f(x)=x2-x，若对于任意的x1、x2∈[1,+∞)，且xx2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，则a的取值范围是()广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴32多选）设偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)u(0,+∞)，且满足f(2)=0，对于任意xx2D．不等式>0的解集为(-2,0)(0,2)六、等高线问题等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义。对于函数f(x)，若存在互不相等的实数a,b,c使f(a)=f(b)=f(c)=t，则称直线y=t为函数f(x)的等高线．解决等高线问题时，要注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘函数的性质，如对称性、不变性(如定和、定积)等，从而有效地、快速地解决问题。安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴33．已知数,若m<n且f，则n+m的取值范围是()重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴34多选）已知函数若存在四个不同的值x1,x2,x3,x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1<x2<x3<x4)，则下列结论正确的是()A．-2≤x1<-1B．0≤x1x2<1C．x3x4=e安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴35．已知函数若关于x的方程f(x)=0有四个不等的实数根，从小到大依次为x1,x2,x3,x4，则3x3的取值范围为()重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴的取值范围是.浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴37．函数f(x)=x4-24x+16，g(x)=6x3+ax2，方程f(x)=g(x)恰有三个根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，则的值为.武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴38多选）已知函数f(x)={|((,)x-1,x≤1，若函数y=f(x)-k有四个零点，从小到大依次为x1,x2,x3,x4，则下列说法正确的是()234的最小值为424≤4D．方程ff(x)-t=0最多有10个不同的实根福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴39多选）已知函数若关于x的方程f(x)=m有3个实数解x1,x2,x3(x12223C．-1<x1x2x3<-D．关于x的方程f(x)=f(m)恰有3个实数解湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴取值范围是.七、函数新定义问题一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。二、新定义问题的方法和技巧1．可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；2．可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3．发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；4．如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念。江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴41．在等式ab=N中，如果只给定a,b,N三个数中的一个数，那么ab=N就成为另两个数之间的“函数关系”.如果N为常数10，将a视为自变量x(x>0且x≠1)，则b现将y关于x的函数记为y=f(x).若f(m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是()湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴42．函数f(x)的定义域为D，若对于任意的x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①=0；②f=1-f等于()江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴43．若闭区间[a,b]满足：①函数f(x)在[a,b]上单调；②函数f(x)在[a,b]上的值域为an,bn，*，则称区间[a,b]为函数f(x)的n次方膨胀区间.函数f的2次方膨胀区间为；若函数f(x)=kx2+1-k(k>0)存在4次方膨胀区间，则k的取值范围广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴44．已知x为实数，用[x]表示不大于x的最大整数．对于函数y=f(x)，若存在m∈R且m∈Z，使得f(m)=f([m])，则称y=f(x)是“Ω函数”．若函数y=x+是“Ω函数”，则正实数a的取值范围是八、比较大小函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。比较大小的常用方法介绍（1）单调性再搭桥具体操作步骤如下：①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；②指数相同，底数不同，如x1α和x2α,利用幂函数y=xα单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y=logax单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.⑤换底公式要记牢！（2）临界值法比较大小结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较,通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系.（3）作差、作商构造法构造不同函数，比较相同函数值.通过作差、作商构造函数，研究单调性，比较函数值与0或1的大小关系.①一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；②作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法（4）构造函数利用单调性比较大小构造相同函数，比较不同函数值（5）结构一致性同构单调性比大小移项构造函数：已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量x和y，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题.（6）利用换底公式比较大小对数式通过使用换底公式进行比较大小（7）分离常数再比较大小借助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小.（8）利用两图象交点转化后比较大小涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图象与性质来确根的大小关系，进而比较大小.（9）利用恒等式产生不等关系举个例子，如果x+3=y+4→x>y，于是在一些等式中，如果我们能够发现其中一部分的大小关系，就可以利用等式得到另一部分的大小关系，所以在遇到这类问题时，关键是先发现等式中蕴含的较为明显的不等式结构.类型一：结合函数图像比大小浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴45．设a=4lg3，b=3，c=log23湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴46．设方程log2x-x=0，log的根分别为x1，x2，则()x2x2x2类型二：结合换底公式比大小江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴bc，则以下关于a,b,c的大小关系正确的是()广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴类型三：利用中间数比大小广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题类型四：同构再利用单调性比大小广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴2九、嵌套函数在高中数学中，处理嵌套函数（复合函数）的关键在于理解内外函数的关系。首先，明确每个单独函数的定义域和值域；其次，从内到外逐步求解，先计算内层函数的结果，再将该结果作为外层函数的输入。利用图形或表格辅助理解变换过程也很有帮助。掌握链式法则对于求导尤其重要，它允许我们通过逐层求导来找到复合函数的导数。此外，注意识别模式，如周期性、对称性等，这有助于简化问题。最后，练习是提高解决这类问题能力的关键。1、型如：f(g(x))或f(f(x))的问题可以通过换元来简化成t=g(x)的零点问题2、型如：g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c的问题一般先进行因式分解再换元分析类型一：自(互)嵌套型f(g(x))或f(f(x))湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴53．已知定义在(0,+∞)上的f(x)是单调函数，且对任意x∈(0,+∞)恒有则函数f(x)的零点为()279广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴)成立，则a的最小值是()2类型二：二次嵌套型g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末55．已知函数若关于x的方程f2(x)-(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为()广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴56．已知函数若方程f2(x)+af(x)+b=0有九个不同实根，则ab的取值A．(-∞,-2)U(-2,0)B．(-∞,-1)U(-1,+∞)C．D．(-2,+∞)广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴57．定义域为R的函数,x≠2，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f(x1+x2+x3+x4+x5)等于()A．1B．2lg2C．3lg2D．0重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴58．已知f(x)=3x-1+2，若关于x的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0有三个实根，则实数a的取值范围是.十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选）重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴59多选）已知函数=log2则下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(0,3)对称B.C．函数f(x)在定义域上单调递增D．若实数a，b满足f(a)+f(b)>6，则a+b<0广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴60多选）已知函数+x+1.则下列说法正确的是()B．函数f(x)的图象关于点(0,1)对称C．函数f(x)在定义域上单调递减D．若实数a，b满足f(a)+f(b)>2，则a+b>0广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴61多选）已知函数则()A．f(x)的定义域为RD．对定义域内的任意两个不相等的实数x1，x2，恒成立.广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴设f则下列选项中正确的有()广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴63多选）已知函数,x<m（m∈R,e为自然对数的底数则()A．函数f(x)至少有1个零点B．函数f(x)至多有1个零点D．当m=0时，方程ff(x)=0恰有4个不同实数根广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴值范围是.十一、双变量恒（能）成立问题,x2∈(a,b)，f(x1)>g(x2)成立f(x)max>g(x)min,x2∈(a,b)，f(x1)<g(x2)成立f(x)min<g(x)max∈(a,b)，f(x1)<g(x2)恒成立f(x)max<g(x)min∈(a,b)，f(x1)>g(x2)恒成立f(x)min>g(x)max（5）x12∈(a,b),f(x1)>g(x2)成立f(x)min>g(x)min2∈(a,b),f(x1)>g(x2)成立f(x)max>g(x)max（7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则AB；1∈D，2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则A∩B≠⑦.类型一：双变量能成立问题广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是.江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴f(x1)=g(x2)，则实数m的取值范围.类型二：双变量恒成立问题672023·永州一中高一期末）已知函数f(x)=ax-2，g(x)=log2，若对任意的x1∈[-2,1]，1,3]，使得f(x1)<g(x2)成立，则实数a的取值范围为.重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴68．已知函数对任意实数x1,x2,x3∈使得以f(x1)，f(x2)，f(x3)数值为边长可构成三角形，则实数a的取值范围为.十二、反函数，指对数运算及其函数性质类型一：反函数的应用湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴69