第二章电路的暂态分析

第2章电路的暂态分析第2章目录2.1暂态分析的基本概念2.3RC电路的暂态分析2.2储能元件和换路定律2.4RL电路的暂态分析2.5一阶电路暂态分析的三要素法2.1暂态分析的基本概念稳定状态（稳态）电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流不变，电路的这种工作状态称为稳态。换路引起电路工作状态变化的各种因素。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。暂态电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态有一个过渡过程，这个过渡过程所处的状态称为过渡状态，简称暂态。第2章2

1

产生过渡过程的电路及原因?无过渡过程I

电阻电路t=0UR+_IK电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。Ut

电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其大小为：R-C电路

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。UKR+_CuCR-L电路

电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。KRU+_t=0iLtiuCqqC=qu（伏）V库仑（C）法拉（F）若电路的某一部分只具有储存电场能量的性质时，称它为理想电容元件。若C为大于零的常数,则称为线性电容。第2章2

2电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数有关。C=

SdS—极板面积(m2)d—板间距离(m)

—介电常数(F/m)符号C(一)电容2.2储能元件和换路定律iC=qu=Cdtdup=ui=CudtduWc=12Cu2uCi=dtdq瞬时功率电压电流关系P>0，C把电能转换为电场能，吸收功率。P<0，C把电场能转换为电能，放出功率。储存的电场能在直流稳态时，I=0电容隔直流。C为储能元件第2章2

2∫–

1C

idt=

u=

t∫–

1C

idt+0∫01C

idtt=u0

+01C

idtt∫+–(一)电容电容串联C2C

C1=+等效电容第2章2

2(一)电容uC1+–C2u1u2+––+电压分配关系电容并联uC1+–C2等效电容u1=C1C2+uC2u2=C1C2+uC1=C

1C11+C11e

d

dt|e|=若感应电动势的参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则，则d

dte=当通过线圈的磁通发生变化时，线圈中要产生感应电动势，其大小等于磁通的变化率，即：单位：e—伏(V)

t—秒(S)

—韦伯(Wb)当

的正值增加，即d

dt>0，e为负值，即其实际方向与参考方向相反。当

的正值减小，即d

dt<0，e为正值，即其实际方向与参考方向相同。第2章2

2(二)电感i

=N=L

iL=i

（安）A韦伯（Wb）亨利（H）若电路的某一部分只具有储存磁场能量的性质称它为理想电感元件。若L为大于零的常数则称为线性电感N电感磁链第2章2

2+–u

线圈的电感与线圈的尺寸匝数及介质的导磁性能等有关。一密绕的长线圈L=SN2lS—横截面积(m2)l—长度(m)N—匝数(Wb)

—磁导率(H/m)符号L(二)电感p=ui=LidtdiWL=12Li2e=dtd

u=Ldtdi=Ldtdi瞬时功率电压电流关系P>0，L把电能转换为磁场能，吸收功率。P<0，L把磁场能转换为电能，放出功率。储存的磁场能在直流稳态时，电感相当于短路。L为储能元件第2章2

2

=L

iu+e=0∫–

1L

udt=

i=

t∫–

1L

udt+0∫01L

udtt=i0

+01L

udtt∫iu+–e+–L(二)电感无互感存在时等效电感为串联第2章2

2(二)电感L1L2L2L1并联L2L

L1=+=L

1L11+L11

电路产生暂态过程的原因:iL(0+)=iL(0-)uC(0+)=uC(0-)电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即在换路瞬间电感的电流iL和电容的电压uC不能跃变。换路定律:第2章2

2(三)换路定律

设

t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。则换路定律用公式表示为：电感元件的储能WL=12L

iL2不能跃变WC=12C

uC2电容元件的储能不能跃变

换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：

自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以*电感L储存的磁场能量不能突变不能突变不能突变不能突变电容C存储的电场能量第2章2

2*若发生突变，不可能！一般电路则所以电容电压不能突变从电路关系分析KRU+_CiuCK

闭合后，列回路电压方程：第2章2

2暂态过程初始值的确定的步骤:(1)作出t=0-的等效电路,在t=0-的等效电路中,求出iL(0-)和uC(0-)。第2章2

20短路U00断路I0(2)作出t=0+的等效电路U0+–I0uct=0–

t=0+iL+–（3）在t=0+的等效电路中，求出待求电压和电流的初始值。暂态过程在直流激励下稳态值的确定t=

时电容相当于断路,电感相当于短路。换路前，如果储能元件没有储能,iL(0+)=iL(0–

)=0,或uC(0+)=uC(0–

)=0，则在t=0+的电路中，可将电容元件视为短路，将电感元件视为开路。例1:已知下图中iL(0–)=0,uC(0–)=0,试求S闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。SUCLR2R1+-t=0uC(0+)+-R2R1UiL(0+)uL(0+)iC(0+)+

–u2(0+)u1(0+)i1(0+)+-t=0+的电路解：画出t=0+的电路uC(0+)=uC(0–)=0，iL(0+)=iL(0–)=0，i1(0+)=iC(0+)=UR1u1(0+)=U，u2(0+)=0，uL(0+)=U第2章2

2稳态值

电路换路后，经过暂态过程又达到新的稳定状态，这时电路中的电压、电流值称为稳态值(稳态分量)。用u()、i()表示。求直流激励下的稳态值,可画出t=

的电路，即在换路后的电路中将电容元件开路,电感元件短路。例2：下图所示电路中，已知：R1=3

，R2=6

，R3=3

，C1=5

µF，C2=10

µF

，E=20V,S闭合时电路已处于稳态。试求：C1、C2

和R1上电压的初始值和稳态值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0第2章2

2C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，画出t=0–的电路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3•EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2•E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的电路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0+)R1+-20V第2章2

2画出t=0+的电路,用结点电压法求结点电压uab

(0+)uab

(0+)=__________________________E/R1+uC1(0+)/R2+uC2(0+)/R31/R1+1/R2+

1/R3=13VuR1(0+)=E–uab

(0+)=7V可见uR1(0+)

uR1(0–)因此，求初始值时,只需计算t=0–时的iL(0–)和uC(0–)，因为它们不能跃变，即为初始值，而t=0–时的其余电压和电流都与初始值无关，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的电路C2C1abR1+–20VuC2(0+)第2章2

2(2)求稳态值,画出t=

的电路uC1(

)=uC2(

)=E=20VR2+-R3Et=

的电路uC1(

)+-+-R1+–20VuC2(

)uR1(

)uR1(

)=0第2章2

2例2--1已知iL(0-)=0,uC(0-)=0,试求S闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。t=0+时的等效电路为uC(0+)=uC(0–)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0–)=0UUR1u1(0+)=i1(0+)R1=Uu2(0+)=0uL(0+)=U解：SCLR2R1+-t=0第2章2

2根据换路定律及已知条件可知，

iL(0+)=iL(0–)=0uC(0+)u2(0+)+-R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)+

-u1(0+)i1(0+)+-++--U电路中各电压电流的初始值为iL(t)+

uC(t)例2--2已知US=5V，IS=5A，R=5

。开关S断开前电路已稳定。求S断开后R、C、L的电压和电流的初始值和稳态值。SCLR+iRiLiCISUS

设待求的各电压、电流参考方向如图所示1.求初始值作t=0

时的等效电路–第2章2

2uL+–uC+–uR+–SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–解：t=0-时的等效电路1.求初始值在此电路中只需求出iL(0-)和uC(0-)iL(0–

)=USRuC(0–

)=0作t=0+时的等效电路=1A5A5ViL(0–)=1AuC(0–

)=0iC(0+)=iL(0+)+IS=1+5=6A(0+)=1AiR(0+)=5VuR5

uL(0+)=0V5A5V5

SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–解：第2章2

2SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–1A+–uL作t=

时的等效电路2.求稳态值iC()=0iL=–5A()iR()=–5AuL=0()=uCUS–uR=()30VuR()=–25V5A5V5

SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–第2章2

2例3：下图所示电路中，S合于a时电路已处于稳态。试求：初始值iL(0+),uL(0+)。SLR2t=03A20

15

30

R3R1IS+–iLuLba解：(1)画出t=0–的电路,L视为短路iL(0-)uL(0-)S3A20

30

R3R1ISat=0–的电路uL(0-)=0=1.2AiL(0-)=IS——R1+R3R1第6章6.1(2)画出t=0+的电路uL(0+)iL(0+)+–30

R3R215

Lt=0+的电路iL(0+)=iL(0-)=1.2AuL(0+)=

–

iL(0+)(R2+R3)=

–54V可见uL(0+)

uL(0–)换路瞬间仅iL不能跃变,电感两端的电压uL是可以跃变的，所以不必求uL(0-)。第6章6.1必须注意：只有uC

、

iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。(一)RC电路的零输入响应RCt=0ba+-U0iCS根据KVL

uR+uC

=0uC(0-)=U0S合向b后代入通解，得A=U0则第2章2

32.3RC电路的暂态分析uRuC+–+–RCduC

dt+uC=0duC

dtiC=C

把代入上式得uC

=

Aest通解由特征方程RCs+1=0得s=–1/RC

通解uC

=

Ae–t/RC

确定积分常数，uC(0+)=uC(0–)=U0

uC

=

U0e

–t/RC

(一)RC电路的零输入响应RCt=0ba+-U0iCS第2章2

32.3RC电路的暂态分析uRuC+–+–

uC

=

U0e

–t/RC

uR

=–uC

=–U0e

–t/RC

e

–t/RCU0RiC=––—otU0-U0U0RuCuRiC小结2在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。1R、C应理解为等效的电阻和电容uC

otU00.368U0

1

2

3

3>

2>

1时间常数

=RCuC(

)=0.368U0FS时间常数越大，过渡过程进行的越慢。理论上电路经过无穷大的时间才能进入稳态，由于当t=3

时，uC已衰减到

0.05U0，所以工程上通常在t>3

以后认为暂态过程已经结束。

uC

=

U0e

–t/RC

第2章2

3(一)RC电路的零输入响应例:下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态，

t=0时开关S由a点合向b点，试求:t≥0时uc、i1、

i2和

i3

随时间的变化规律,画出变化曲线。t=0ba+-SuC

4k

2k

4k

8k

10µF+-10Vi1i2i3uC(0+)=uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V第2章2

3解:

这是一个零输入响应电路中，因此各部分电压和电流的变化规律都是由初始值按同一指数规律衰减到零。故只需求出电路的时间常数及各待求量的初始值即可得到解答。U0=4VU0=4VR0=(4//4)+8=10k

=R0

C=10

103

10

10–6=10–1s=

U0

e–t/

uC=4e

–10tV第2章2

3解:求时间常数电路时间常数

=R0

CR0是从动态元件两端看进去的等效电阻i2(0+)=–4(4//4)+8=–0.4Ai1(0+)=i3(0+)12=i2(0+)=–0.2AbSuC

4k

4k

8k

+i1i2i3–CR0Cduc

dti2=i1=

i3

=i2/2第2章2

3=

U0

e–t/

uC=4e

–10tV然后根据电容元件的伏安关系求得i2=–0.4e

–10tmA进而得出=–0.2e

–10tmAt=0ba+-SuC

4k

2k

4k

8k

10µF+-10Vi1i2i3i1=

i3

=i2/2uc4Vi2–0.4mAi1

i3–0.2mA0tiu第2章2

3=

U0

e–t/

uC=4e

–10tVi2=–0.4e

–10tmA=–0.2e

–10tmA各电压电流随时间变化曲线uC(0-)=0RCuRt≥0ba+USiSucS合向a后第2章2

3(二)RC电路的零状态响应–+–+–根据KVL，列出t≥

0时电路的微分方程uR+uC

=USRCduC

dt+uC

=US特解可取换路后的稳态值uC()

=US的通解为AeSt=

Ae

–t/RC

对应的齐次微分方程RCduC

dt+uC

=0其通解=对应的齐次方程的通解+任一特解(2.3.5)RCuRt≥0ba+USiSuc第2章2

3(二)RC电路的零状态响应–+–+–RCduC

dt+uC

=US(2.3.5)上式的通解为uC=Ae–t/RC+US

积分常数由初始值确定，将t=0，uC=0，代入通解，得A=–USuC

=US–USe

–t/RC

=US

(1–e–t/

)于是求得e

-t/RCUSR=i

=CduC

dtRCuRt≥0ba+USiSuc第2章2

3(二)RC电路的零状态响应–+–+–uC

=US–USe

–t/RC

=US

(1–e–t/

)e

-t/RCUSR=i

=CduC

dtuR

=US–uC=U

Se

-t/RCtuCuRUS0ui时间常数

=RC当t=

时，uC

=63.2%US0.632US

由于当t=3

时

uC

=0.95US所以当t≥3

以后，即可认为暂态过程已经结束。uC(0-)=U0S合向a后RCduC

dt+uC

=USuC=

US+A

e

-t/

uC(0+)=uC(0-)=U0t=0时,U0=US+A

e

-t/

A=U0–USuC

=

US+

(U0–US)e

-t/

US0tuiU0稳态分量USuC(全响应)U0–

US暂态分量(U0-

US)

e

-t/

全响应=稳态分量+暂态分量第2章2

3(三)RC电路的全响应RCt≥0ba+USiSuc–+–+–U0+–i=CduCdtUS–U0R=e

-t/

iUS–

U0RuR

uC

=U0e

-t/

+(U0–US)e

-t/

全响应=零输入响应+零状态响应第2章2

3(三)RC电路的全响应RCt≥0ba+USiSuc–+–+–U0+–US>U0

求RC电路的全响应，也可应用线性电路的叠加原理得到解答。uRUS0tuU0uCUS<U0U00tuUSuCSRRLiL(0+)=iL(0-)=I0

=LRiL

=I0e

-t/

uR

=USe

-t/

uL

=-USe

-t/

0tUSuR-USuLiLI0t=0–t≥0(一)RL电路的零输入响应第2章2

42.4RL电路的暂态分析uL–+根据KVL有uR+uL=0uR–+iL–+USLdiL

dt+R

iL=0解此方程式，可得式中设电路已处于稳态R应理解为从电感两端看进去的等效电阻

iL(0-)=USR=I0SRRL

=LRiL

=I0e

-t/

uR

=USe

-t/

uL

=-USe

-t/

0tUSuR-USuLiLI0t≥0(一)RL电路的零输入响应第2章2

42.4RL电路的暂态分析uL–+uR–+iL–+US

在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。在换路瞬间电感的电流不能突变，而其两端的电压则由零跳变到U。SLuL

it=0R用二极管防止产生高电压的电路续流二极管注意在线圈与电源断开之前，应将与之并联的测量仪表从电路中取走。V第2章2

4(一)RL电路的零输入响应2.4RL电路的暂态分析+–+–Ut=0–

i(0-)=UR=I0可能产生的危害：烧蚀触点、击穿线圈绝缘解决办法：可在线圈两端并一二极管Ldi

dtuL=很大Rt≥0baS设电路已处于稳态iL(0-)=0换路瞬间

=LRt0uiL第2章2

4(二)RL电路的零状态响应2.4RL电路的暂态分析uL–+–+US–+uR换路后的电路有uR+uL=USLdiL

dt+R

iL=USiLiL(0+)=0解此方程式，可得iL=（1-e

-t/

）USR=IS(1-e

-t/

)uL

=USe

-t/

uR

=US(1-e

-t/

)USiLUSRuLuR各电压、电流变化曲线RSRL全响应=零输入响应+零状态响应第2章2

4(三)RL电路的全响应t≥0uL–+–+US–+uRiL设t<0时，iL(0-)=I0。在t=0时，将开关S合上，则t≥

0时电路的响应即为全响应，故可用叠加原理得到解答

=LRiL=（1-e

-t/

）USR+IS(1-e

-t/

)e

-t/

I0+令=IS

则USRiL=e

-t/

I0=IS+(I0–IS)e

-t/

式中RSRL第2章2

4(三)RL电路的全响应t≥0uL–+–+US–+uRiL

=LR+IS(1-e

-t/

)e

-t/

I0iL=（1-e

-t/

）USR+iL=e

-t/

I0=IS+(I0–IS)e

-t/

式中IS>I0IS0tiI0iLIS<I0I00tiISiLuC

=

uC(

)+

[uC(0+)–

uC(

)]e

-t/

f

(t)=

f

(

)+

[f(0+)

–

f(

)]e

-t/

归纳为:在一阶电路中,只要求出待求量的稳态值、初始值和时间常数

这三个要素，就可以写出暂态过程的解。第2章2

52.5一阶电路暂态分析的三要素法只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,称为一阶电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。一阶电路响应的表达式:稳态值初始值时间常数uC

=

US+

(U0–US)e

-t/

在一阶线性电路中,只要求出初始值

f(0+)

、稳态值f

(

)

和时间常数

这三个要素，就能根据前式直接写出电路的响应。电路响应的变化曲线都是由初始值按指数规律增加或衰减到稳态值。例1:用三要素法,求下图中t≥0时的uC(t),画出变化曲线。+–U1+–U23V6VR2R12k

1k

C3FSt=0abuC解:(1)求uC的三要素=———=2VR1+R2R2•U1

uC(

)=———=4VR1+R2R2•U2

=(R1

R2)C=—×3=2ms23uC(0+)=uC(0–)

第6章6.3uC(t)=uC(

)+[uC(0+)

–

uC(

)]

e

-t/

(2)写出uC(t)的表达式

=4

+(2–4)

e

-t/(2×10-3)=4–2

e

-500tVtuC/V4O2变化曲线第6章6.3例2：下图所示电路中，开关S闭合前,电路已处于稳态，

C=10F,t=0时，将开关S闭合，经0.4ms再将S打开，试求t≥0时的uC(t),画出变化曲线。30

Rr_+_+S60

RE=90VCuCr解:(1)uC(0+)=

uC(0–

)=

E

–

——=

60VR+rr

•

E(2)uC

(0.4ms)

=30(1+e

-1

)

=41V

uC(

)=———=30VR+rRE–

rE

=2(R

r

)C=0.4

msuC(t)=30(1+e

-2500t

)V(0≤t≤0.4ms)即为第二个暂态过程的初始值第6章6.3uC(t)=60+(41–60)e

-2000(t

-

0.410-3)

'=

(r+R

r)

C=0.5ms=60

–19e

-2000t

+

0.8

VuC(

)=60V(0.4ms≤

t≤

)3060410.4t/ms0uC/V变化曲线30

Rr90V_+_+S60

RECuCr第6章6.3

用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是:1.初始值f(0+)的计算

(1)根据t<0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。

(2)根据电容电压和电感电流连续性，即

uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)

确定电容电压或电感电流初始值。(3)假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用数值为iL(0+)的电流源替代电感后所得到的电阻电路中计算出来。

2.稳