广西壮族自治区北海市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广西壮族自治区北海市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）。A．x2+1=0 B．2x+1=0 C．1x+22．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）。A． B． C． D．3．下列各项中，y是x的反比例函数的是（）。A．y=x B．y=x+1 C．y=1x 4．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A=35°，∠C=80°，则∠E的度数是（）。A．65° B．70° C．80° D．85°5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosA的值为（）。A．34 B．43 C．456．若ba=3A．25 B．35 C．857．已知关于x的方程x2+3x−a=0有一个根是x1=1A．−3 B．3 C．−4 D．48．如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A、B两点，连接并延长AC、BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使ACDC=BCEC=2，且测量得DE的长度为50米，则A．110米 B．100米 C．50米 D．25米9．广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（）只。A．20 B．25 C．40 D．4510．已知△ADE与△ABC的相似比为1:2，若△ADE的面积为3，则△ABCA．3 B．6 C．9 D．1211．某小区新增了一家快递驿站，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递驿站揽件日平均增长率为x，则下列方程正确的是（）。A．200(1+x2)=242C．200+200(1+x)=242 D．20012．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D为AC边上一点，AD=BD，若AB=2，则AD为（）。A．1 B．52 C．5−1 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．）13．关于x的一元二次方程x2=1的解是14．甲、乙、丙、丁四名同学进行1000米测试，每人5次测试成绩的平均数都是4分05秒，方差分别为S甲2=0.73，S乙215．若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c的值是16．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=17．某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价元．18．如图，直线y=−x−3分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数y=kx（x>0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线CD于点A，B，且∠AOB=135°，则BC⋅AD=三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算：320．解方程：x221．如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上．（1）请在y轴的右侧画出△A1B1C1，使其与（2）直接写出（1）中A1点的坐标为22．如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上．（1）求这时渔船与灯塔C的距离．（2）若渔船继续向正东方向行驶4km到达D处，求sin∠BCD23．在推进生活垃圾分类的活动中，某社区在管辖范围内开展了垃圾分类专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分市民，就垃圾分类的情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．活动前垃圾分类情况表类别人数A：每次都分类B：经常分类C：偶尔分类D：都不分类A59B234C530D177合计1000活动后垃圾分类统计图（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？（2）该社区约有2万人，请估计活动前全社区垃圾“都不分类”的总人数；（3）求开展垃圾分类专项宣传活动后，“都不分类”的人数所占百分比比原来减少多少？24．如图，在长为12m，宽为8m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77m2，则道路的宽为多少25．很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x(m)的关系式为y=100（1）当镜片焦距是0.（2）当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少m？（3）小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.26．如图，点E是矩形ABCD中AD边上一点，△ABE沿BE折叠为△FBE，点F落在CD上．（1）求证：△CFB∽△DEF；（2）若DEEF=13，（3）在（2）的条件下，在△CBF中，动点P从点B出发，在BF边上以每秒2cm的速度向点F匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t秒，连接PQ，若△CBF与以点B，P，Q为顶点的三角形相似，求t

答案解析部分1．【答案】A【知识点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解：A、∵x2+1=0是一元二次方程，∴A符合题意；

B、∵2x+1=0是一元一次方程，∴B不符合题意；

C、∵1x+2=1是分式方程，∴C不符合题意；

D、∵x+y=1是二元一次方程，∴D不符合题意；2．【答案】D【知识点】图形的相似【解析】【解答】解：A、∵形状相同，符合相似图形的定义，∴A不符合题意；

B、∵形状相同，符合相似图形的定义，∴B不符合题意；

C、∵形状相同，符合相似图形的定义，∴C不符合题意；

D、∵形状不相同，不符合相似图形的定义，∴D符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用相似图形的定义逐项分析判断即可.3．【答案】C【知识点】反比例函数的概念【解析】【解答】解：A、∵y=x是正比例函数，∴A不符合题意；

B、∵y=x+1是一次函数，∴B不符合题意；

C、∵y=1x是反比例函数，∴C符合题意；

D、∵y=x2是正比例函数，∴D不符合题意；4．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝80°

∴∠B＝180°−35°−80°＝65°

∵△ABC∽△DEF

∴∠B＝∠E＝65°

故答案为：A．

【分析】先利用三角形的内角和求出∠B的度数，再利用相似三角形的性质可得∠B＝∠E＝65°．5．【答案】D【知识点】求余弦值【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，cosA=ACAB=36．【答案】A【知识点】比例线段；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：∵ba=35

∴b=35a

∴a−ba=7．【答案】D【知识点】已知一元二次方程的根求参数【解析】【解答】解：把x＝1代入方程x2＋3x−a＝0，得1＋3−a＝0

解得：a＝4．

故答案为：D．

【分析】把x＝1代入方程x2＋3x−a＝0，得1＋3−a＝0，再求出a的值即可.8．【答案】B【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEC中，ACDC=BCEC=2，且∠ACB＝∠DCE

∴△ABC∽△DEC

∴ABDE=ACDC=2

∵9．【答案】C【知识点】用样本估计总体【解析】【解答】解：根据题意知，估计这个地区的白头叶猴约有10÷520＝40（只）

故答案为：C．

10．【答案】D【知识点】相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2

∴△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2＝1：4

∵△ADE的面积为3

∴△ABC的面积为：3×4＝12．

故答案为：D．

【分析】利用相似三角形的性质可得△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2＝1：4，再结合△ADE的面积为3，求出△ABC的面积即可.11．【答案】D【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程【解析】【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x

根据题意，可列方程：200（1＋x）2＝242

故答案为：D．

【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，根据“第一天揽件200件，第三天揽件242件”列出方程200（1＋x）2＝242即可.12．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠C

∵∠A＝36°

∴∠ABC＝∠C=180°−∠A2=180°−36°2=72°

∵AD＝BD

∴∠ABD＝∠A＝36°

∴∠CBD＝∠ABC−∠ABD＝72°−36°＝36°

∴∠CBD＝∠A

∵∠C为公共角

∴△ABC∽△BDC

∴BCDC=ACBC

即BC2＝DC•AC

∵AB＝AC，AB＝2

∴AC＝2

设AD＝x，则DC＝AC−AD＝2−x

∵AD＝BD

∴BD＝x

在△BCD中，∠BDC＝180°−∠C−∠CBD＝180°−72°−36°＝72°

∴∠BDC＝∠C

∴BC＝BD＝x

即x2＝2（2−x）

解得：x1＝−1-5（舍去），x2＝5-1

即AD=5-1

13．【答案】x=±1【知识点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：x2＝1

∴x＝±1

∴x1＝1，x2＝−1

故答案为：x1＝1，x2＝−1．

【分析】利用直接开方法的计算方法及步骤分析求解即可.14．【答案】丁【知识点】方差【解析】【解答】解：∵S甲2＝0.73，S乙2＝0.75，S丙2＝0.69，S丁2＝0.53，方差最小的为丁

∴这四名同学1000米成绩最稳定的是丁．

故答案为：丁．

【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.15．【答案】4【知识点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：根据题意得Δ＝（−4）2−4c＝0

解得：c＝4．

故答案为：4．

【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得Δ＝（−4）2−4c＝0，再求解即可.16．【答案】2【知识点】位似变换【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3∴OAOC=ABCD=22+3故答案为：25【分析】根据位似图形的性质可知：△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边成比例得出OAOC=AB17．【答案】4或36【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：设每件降价x元，则每件可盈利（44−x）元，平均每天可售出（20＋5x）件

根据题意得：（44−x）（20＋5x）＝1600

整理得：x2−40x＋144＝0

解得：x1＝4，x2＝36

∴若要平均每天盈利1600元，则应降价4或36元．

故答案为：4或36．

【分析】设每件降价x元，则每件可盈利（44−x）元，平均每天可售出（20＋5x）件，根据“平均每天盈利1600元”列出方程（44−x）（20＋5x）＝1600，再求解即可.18．【答案】9【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵直线y＝−x−3分别交x轴、y轴于点C，D

∴C（−3，0），D（0，−3）

∴OC＝OD＝3

∴∠OCD＝∠ODC＝45°

∵∠AOB＝135°

∴∠BAO＋∠ABO＝45°

∵∠ABO＋∠BOC＝45°

∴∠BAO＝∠BOC，∠BCO＝∠ADO

∴△AOD∽△OBC

∴ADOC=ODBC

∴AD×BC＝OC×OD＝3×3＝9．

故答案为：9.19．【答案】解：原式=3×1+2×1【知识点】特殊角的三角函数的混合运算【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可.20．【答案】∵x∴(x+2)(x−6)=0∴x故原方程的根为x1【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】利用因式分解法求解即可.21．【答案】（1）解：如图所示，△A1BC1为所求三角形；（2）（2，4）【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换【解析】【解答】解：（2）根据平面直角坐标系可得，点A1的坐标为（2，4）

故答案为：（2，4）.

【分析】（1）利用相似三角形的性质及相似比找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）根据平面直角坐标系直接写出点A1的坐标即可.22．【答案】（1）解：∵A处看到灯塔C在北偏东60°∴∠CAB=30°∵渔船向正东方向航行了12km到达B处∴AB=12∵tan∠CAB=3∴BC=33AB=答：这时渔船与灯塔C的距离为43（2）解：∵BD=4，BC=4在Rt△CDB中CD=BC∴sin∠BCD＝答：sin∠BCD的值是12【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）根据正切的定义可得tan∠CAB=33=BC23．【答案】（1）解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔分类”的人数最多占抽取人数的5301000答：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔分类”的人数最多，在抽取的市民中占抽取人数的53%．（2）解：估计活动前垃圾“都不分类”的总人数约为：20000×1771000答：活动前全社区垃圾“都不分类”的有3540人．（3）解：宣传活动后垃圾“都不分类”的百分比：177896+702+224+178178-1＝177（人）故活动前垃圾“都不分类”的百分比：177100017.7%-8.9%=8.8%．答：开展垃圾分类专项宣传活动后，“都不分类”的人数所占百分比比原来减少8.8%．【知识点】用样本估计总体；条形统计图【解析】【分析】（1）根据条形统计图直接可得人数最多的是“偶尔分类”，再利用其人数除以总人数即可得到百分比；

（2）先求出“都不分类”的百分比，再乘以2万可得答案；

（3）先分别求出宣传前后“都不分类”的百分比，再求解即可.24．【答案】解：设道路的宽为xm根据题意得（12-x）（8-x）＝77整理得x2-20x+19＝0解得x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去）答：道路的宽为1m.【知识点】一元二次方程的应用-几何问题【解析】【分析】设道路的宽为xm，根据“草坪的面积为77m2”列出方程（12-x）（8-x）＝77，再求解即可.25．【答案】（1）解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y=当x＝0.1时，y=100答：当镜片焦距是0.1m时，近视眼镜的度数是1000度.（2）解：当y＝400时，x=100答：当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是0.25m