福建省南平市光泽县止马中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

/福建省南平市光泽县止马中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法错误的是（

）

A．若命题，则

B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题参考答案：C考点：命题.2.设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，，则

②若，，则③若，，则④若，，则.其中真命题的序号为（

）A.①③

B.②③

C.①④

D.②④参考答案：D①若，，则与包含直线与平面的所有关系，所以①错误；②若，，则，所以②正确；③若，，则或，所以③错误；④若，，则，所以④正确；故选3.集合，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.列函数中，反函数是其自身的函数为（

）

参考答案：D5.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，则|a－b|=（

）A． B． C． D．1参考答案：B解答：由可得，化简可得；当时，可得，，即，，此时；当时，仍有此结果.

6.函数y=|lg（x-1）|的图象是

参考答案：C略7.在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为A、1B、C、2D、1参考答案：A8.若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B． C．6 D．7参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=，从而分别求最小值，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，）；z=|x﹣3|+2y=，当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为，当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞，故z=|x﹣3|+2y的最小值为，故选B．9.直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A．B．C．4 D．3参考答案：A【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．10.如果向量，，那么等于（）A．（9，8） B．（﹣7，﹣4） C．（7，4） D．（﹣9，﹣8）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．【解答】解：向量，，则于=（1，2）﹣2（4，3）=（1，2）﹣（8，6）=（1﹣8，2﹣6）=（﹣7，﹣4），故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3S1=S2=S3=，…依此规律，那么S10=．参考答案：210【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知可得Sn=[]+[]+…+[]+[]=n×（2n+1），代值计算即可【解答】解：[x]表示不超过x的最大整数，S1==1×3S2==2×5S3==3×7，…∴Sn=[]+[]+…+[]+[]=n×（2n+1），∴S10=10×21=210，故答案为：210【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于中档题12.观察下列算式：，

，

，，…

…

…

…若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．

参考答案：13.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是

.参考答案：【知识点】复数运算.

L4【答案解析】(4，-2)

解析：，所以在复平面内对应的点的坐标是(4，-2).【思路点拨】解已知复数方程得，由此得复平面内对应的点的坐标.14.已知（x2﹣）6的展开式中的常数项为15a，则非零实数a的值是

． 参考答案：±1【考点】二项式定理的应用． 【分析】在展开式通项中令x的指数为0，求出常数项，再解关于a的方程即可． 【解答】解：的展开式的通项为Tr+1==（﹣a）rC6rx12﹣3r，令12﹣3r=0，得r=4，常数项（﹣a）4C64=15a4=15，解得a=±1 故答案为：±1． 【点评】本题考查二项式定理的应用，方程的思想，属于基础题． 15.若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=

．参考答案：27【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（2，8）确定出解析式，然后令x=3即可得到f（3）的值．【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3，∴f（3）=（3）3=27故答案为：27【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．16.某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位:),则这批树苗高度的中位数为

．参考答案：7617.设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是____

____．参考答案：试题分析：因为，根据题意可得,则可得.即,.所以的最小值为.考点：1等差数列;2等比数列.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）2.已知数列{}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn.

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.

参考答案：

解析：（1）∵点的图象上，∴

…………2分当n=1时，；当

（1）当n=1时，也满足（1）式.∴数列{

}的通项公式为

…………4分（2）由∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn，∴Kn=2n+2又∵

…………6分∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）·4n

①由①×④得：4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+2）·4n+1

②由①－②：得

……8分=4×∴

…………12分

19.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，是的中点，,，.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：．参考答案：证明：（Ⅰ）取的中点,连接,.则有∥.因为平面，平面

所以∥平面．……2分由题意知,所以∥.同理∥平面．…4分又因为平面,平面,所以平面∥平面．因为平面所以∥平面．

……………6分（Ⅱ）取的中点,连接,,则∥.因为,所以.………7分因为平面，平面，所以又所以⊥平面

……………9分因为平面所以⊥又∥，所以又因为,所以⊥平面……………11分

因为平面所以

………………12分20.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，⊙C圆心的极坐标为，半径为，直线l的参数方程：为参数）

（I）求圆C的极坐标方程；

（II）若直线l与圆C相离，求m的取值范围。参考答案：略21.（本小题共13分）已知函数，为其导函数，且时有极小值．（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：）参考答案：（Ⅰ）由，因为函数在时有极小值，所以，从而得，

………………2分所求的，所以，由解得，所以的单调递减区间为.

………………4分（Ⅱ）因为，所以等价于，即，

……………6分记，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

……………8分对任意正实