数 学教学课件

数学

中国数学的发展历程一、中国数学的起源与早期发展1.

据《易·系辞下》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进位制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当），并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立了良好的条件。筹算直到15世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。在几何学方面，《史记·夏本纪》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”（勾股定理）这个特例。此外，讲述阴阳八卦、预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。中国数学体系的形成与奠基2.

这一时期包括从秦汉到魏晋南北朝约700年的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专著陆续出现。现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前186年），所以该书的成书年代至晚是公元前186年（应该在此前）。西汉末年（公元前1世纪）编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：一是提出勾股定理的特例及普遍形式；二是提出测太阳高、远的陈子测日法，其为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年（公元1世纪）。魏晋时期，中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的研究工作被认为中国古代数学理论体系的开端。南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃，出现了《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》等算学著作。公元5世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术注》的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。同时，他们在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有以下三项成就：（1）计算圆周率精确到小数点后第七位，得到3.1415926＜π＜3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值，欧洲直到16世纪德国人鄂图（ValentinusOtto）和荷兰人安托尼兹（A.Anthonisz）才得出同样的结果。

（2）祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出“幂势既同，则积不容异”的体积原理，即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（BonaventuraCavalieri）才提出同一定理。（3）发展了二次与三次方程的解法。同时代的天文历学家何承天创“调日法”，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法。中国数学教育制度的建立3.

隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰《缉古算经》，主要是通过土木工程中计算土方、工程的分工与验收及仓库和地窖计算等实际问题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的少广、勾股章中的开方理论。隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现了一些重要的数学成果。600年，隋代刘焯在制定《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，唐代僧一行在其《大衍历》中将这一公式发展为不等间距二次内插公式。唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现了很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。中国数学发展的高峰4.唐朝亡后，五代十国仍是割据混战的时期，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元11世纪到14世纪（宋、元两代），筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣、硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作。1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》（已佚）中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，1819年英国人霍纳（WilliamGeorgeHorner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到17世纪才出现类似的“巴斯加三角”。1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。1247年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了“增乘开方法”，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。1248年，李冶（1192—1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。1274年，他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。1280年，元代王恂、郭守敬等制定《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程），并提出消元的解法，欧洲到1775年法国人别朱（EtienneBezout）才提出同样的解法。公元14世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。中国数学的衰落与日用数学的发展5.这一时期指14世纪中叶明王朝建立到明末的1582年，中国数学除珠算外出现全面衰弱的局面。13世纪的考试制度中已删减数学内容，明代大兴八股考试制度等。而一些复杂的数学问题，不少中外数学家仍在探讨研究。明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》（1592年）问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学发展出现长期停滞。西方初等数学的传入与中西合璧6.

16世纪末开始，西方传教士开始到中国活动，由于明清王朝制定天文历法的需要，传教士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国，中国数学家在“西学中源”思想的支配下，使数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。16世纪末，西方传教士和中国学者合译了许多西方数学专著。其中，第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》（前6卷，1607年），其严谨的逻辑体系和演绎方法深受徐光启推崇。传统数学的整理与复兴7.乾嘉年间形成一个以考据学为主的干嘉学派，编成《四库全书》，其中数学著作有《算经十书》和宋元时期的著作，为保存濒于湮没的数学典籍做出了重要贡献。在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有“谈天三友”之称的焦循、汪莱及李锐做出不少重要的贡献。李善兰在《垛积比类》（约1859年）中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“李善兰恒等式”。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》（46卷，1795—1799年），开数学史研究之先河。西方数学再次东渐8.

1840年鸦片战争后，清朝闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设“算学”，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进西方数学理论的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》（后9卷，1857年），使中国有了完整的《几何原本》中译本，《代数学》（13卷，1859年），《代微积拾级》（18卷，1859年）；李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》（3卷）；华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译的《代数术》（25卷，1872年），《微积溯源》（8卷，1874年），《决疑数学》（10卷，1880年）等。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。1898年建立京师大学堂，同文馆并入。1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。

中国数学的特点二、以算法为中心，属于应用数学1.中国数学不脱离社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的。具有较强的社会性2.

中国传统文化中，数学被儒学家当作培养人的道德与技能的基本知识——六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起。同时，数学教育与研究往往被封建政府所控制，如唐宋时代的数学教育与科举制度联系在一起；历代数学家往往是政府的天文官员等。这些事例充分反映了这一特点。寓理于算，理论高度概括3.由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的影响，中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不意味着中国传统数学仅停留在经验层次而无理论建树。其实中国数学的算法中蕴含着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的“率”的理论，平面几何中的“出入相补”原理，立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理，即卡瓦列利原理）等。

中国数学对世界的影响三、数学活动有两项基本工作——