可 逆 矩 阵课件

可逆矩阵可逆矩阵逆矩阵的概念一、对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（2-20）那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵．由定义2-11知：（1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆.（2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵.（3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．定义2-11因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义2-11，有AB1=B1A=E，AB2=B2A=E于是B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆矩阵记作A-1，则有AA-1=A-1A=E若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出其逆阵．解由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E由定义2-11可知A可逆，且A-1=E-A.【例2-13】矩阵可逆的充要条件二、在数的运算中，并不是所有的数都有倒数，只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先介绍一个转置伴随矩阵的概念．定义2-12对于n阶方阵设Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，记显然，可得即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足以下关系：AA*=A*A=|A|E由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必要条件及A-1的一种求解方法．定理2-1n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且证明

必要性：设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得|AA-1|=|E|于是|A||A-1|=1所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．充分性：设|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得此式表明A可逆，且A的逆矩阵为证毕．这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵．则由定理2-1可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是A是非奇异矩阵．【例2-14】【例2-15】一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例2-15】，求一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶行列式．【例2-16】证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且A-1=B，B-1=A证明

由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|A||B|=|E|=1．所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A-1(AB)=A-1E，即A-1=B．在等式AB=E的两边同时右乘B-1，可得(AB)B-1=EB-1，即B-1=A．若有BA=E，同理可证结论成立．这一结论说明，如果我们要验证B是A的逆矩阵，只需验证一个等式AB=E或BA=E即可，不必再按照定义2-11验证两个等式．可逆矩阵的性质三、性质2-1设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A-1)-1=A．由逆矩阵的定义AA-1=A-1A=E

可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．性质2-2设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1．由矩阵乘法的结合律，得(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E(B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB)

-1=B-1A-1．此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆，且(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11性质2-3若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T．因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据矩阵