二 重 积 分课件

二重积分一、二重积分的概念引例1设f(x,y)为定义在闭区域D上的非负连续函数.以曲面z=f(x,y)为顶，D为底的柱体称为曲顶柱体(见图9-1).下面讨论如何计算曲顶柱体的体积.图9-1一、二重积分的概念分析若函数z=f(x,y)=常数，则上述曲顶柱体变为平顶柱体，它的体积可用公式

体积=底面积×高来计算.现在曲顶柱体的高是变化的，故不能用上述公式来求体积.回忆一下，求曲边梯形面积的方法，这里可采用类似的方法来求曲顶柱体的体积，分为下列几个步骤：(1)分割.将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn(小区域的面积也用这些符号表示)，相应地把曲顶柱体分割成n个以Δσi为底的小曲顶柱体，每个小曲顶柱体的体积记为ΔVi(i=1,2,…,n)，则曲顶柱体的体积一、二重积分的概念(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直径(一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大值)，当λi很小时，由于f(x,y)连续，f(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于是可用平顶柱体的体积公式来计算.在每个Δσi中任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高而底为Δσi的小曲顶柱体(见图9-2)的体积为ΔVi≈f(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).图9-2一、二重积分的概念(3)求和.这个曲顶柱体体积

(4)取极限.设λ=

maxλ1,λ2,…,λn，当λ→0时取上述和的极限，所得的极限便为曲顶柱体的体积V，即一、二重积分的概念引列2

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它的面密度为D上的连续函数ρ(x,y),这里ρ(x,y)>0.计算该薄片的质量M.一、二重积分的概念分析若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式

质量=面密度×面积来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求.这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列几个步骤：(1)分割.将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn(小区域的面积也用这些符号表示)，第i个小块的质量记为ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量一、二重积分的概念(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直径，当λi很小时，由于ρ(x,y)连续，ρ(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此这些小块就可以近似地看作均匀分布的.在每个Δσi中任取一点(ξi,ηi)(见图9-3),则ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).图9-3一、二重积分的概念(3)求和.平面薄片的质量(4)取极限.设λ=maxλ1,λ2,…,λn，当λ→0时取上述和的极限，所得的极限便为平面薄片的质量M，即上面两个实例的实际意义虽然不同，但解决问题的方法具有共性，最后都归结为同一形式的和的极限，把这种和式的极限抽象为二元函数在平面闭区域D上二重积分的定义.一、二重积分的概念定义1设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数，将D任意分成n个小区域

Δσ1,Δσ2,Δσ3,…,Δσn.在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi)(i=1,2,…,n)，作和式(9-1)一、二重积分的概念当n无限增大，各小区域中的最大直径λ→0时，不论区域D如何分割，也不论(ξi,ηi)如何选取，如果和式(9-1)的极限存在，则称此极限为二元函数z=f(x,y)在区域D上的二重积分，记作一、二重积分的概念一、二重积分的概念①和式(9-1)的极限存在时，称f(x,y)在区域D上是可积的.可以证明，如果函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y)在区域D上一定是可积的.②如果f(x,y)在区域D上是可积的，则和式(9-1)的极限存在，且与D的分法和点(ξi,ηi)的选取及积分变量用什么字母表示无关，其值只取决于被积函数和积分区域.注一、二重积分的概念因此，在直角坐标系下，常用平行于x轴和y轴的两组直线分割D，于是小区域的面积为Δσi=ΔxjΔyk(i,j,k=1,2,…,n)

.在直角坐标系中，面积微元记为dσ=dxdy.所以，在直角坐标系中，二重积分可记为一、二重积分的概念当被积函数z=f(x,y)≤0时，曲顶柱体在xOy面下方，因f(xi,yi)≤0，而当被积函数z=f(x,y)≥0时，二重积分表示曲顶柱体的体积，即一、二重积分的概念取极限后依然小于或等于0，即故此时二重积分表示曲顶柱体体积的相反数，即一、二重积分的概念二、二重积分的性质二重积分与定积分具有相似的性质.下面假定f(x,y)在区域D上可积.这些性质均可通过定义得到证明，请读者自己练习.二、二重积分的性质性质1常数因子可提到积分号外面二、二重积分的性质性质2函数和(差)的积分等于各积分的和(差)，即二、二重积分的性质性质3(积分区域的可加性)如果积分区域D被一曲线分成D1,D2两个区域，如图9-4所示，则图9-4二、二重积分的性质性质4(比较性质)如果在区域D上总有f(x,y)≤g(x,y)，则二、二重积分的性质性质5如果在区域D上有f(x,y)≡1，A是D的面积，则二、二重积分的性质性质6(估值性质)设M与m分别是z=f(x,y)在区域D上的最大值与最小值，A是D的面积，则二、二重积分的性质性质1(二重积分的中值定理)如果函数f(x,y)在闭区域D上连续，A是D的面积，则在D内至少存在一点(ξ,η)使得二、二重积分的性质证因为f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在闭区域D上一定存在最大值M和最小值m，有积分估值性可得二、二重积分的性质

二重积分的中值定理的几何意义：在区域D上，以曲面f(x