空间直线及其方程

空间直线及其方程一、空间直线方程空间直线的点向式方程1.首先给出直线的方向向量的概念.已知直线L，任意一个平行于L的非零向量称为这条直线的方向向量，直线方向向量s的坐标m,n,p称为这条直线的方向数,而向量s的方向余弦称为该直线的方向余弦.显然,直线上任一向量都可视为该直线的方向向量.在空间中给定直线L上一点M0x0,y0,z0及它的一个方向向量s=m,n,p,就可以唯一地确定直线L的位置.下面来建立直线L的方程,如图7-25所示.图7-25一、空间直线方程设M(x,y,z)为直线L上的任一点,那么有M0M与s平行，所以两向量的对应坐标成比例，从而有(7-22)

这就是直线L的方程，称为直线的点向式方程或对称式方程.因为s≠0，所以m,n,p不全为零，但当m,n,p中有一个为零，如m=0时，方程(7-22)成为

表示一条平行于yOz面的直线，其上的点恒满足x=x0；而当m,n,p中有两个为零，如m=n=0时，方程(7-22)成为

表示一条平行于z轴的直线，其上的点恒满足x=x0,y=y0.一、空间直线方程【例19】求过点A(2,-3,4)且和y轴垂直相交的直线的方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,-3,0)，于是取方向向量s=BA=2,0,4，因此，直线方程为一、空间直线方程【例20】已知两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，试求过M1,M2的直线方程.解由直线过点M1和M2知，其方向向量s=x2-x1,y2-y1,z2-z1，于是直线的点向式方程为一、空间直线方程空间直线的参数方程2.由直线的点向式方程，可以得出直线的参数方程.此方程组就是直线的参数方程，其中t为参数.若s=m,n,p为单位向量，则t的绝对值代表动点Mx,y,z到定点M0x0,y0,z0的距离.M0M与s同向时，t为正；反向时，t为负.一、空间直线方程空间直线的一般方程3.更一般的情况下，空间直线L可以看作是两个平面π1和π2的交线.设直线L是平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0与π2：A2x+B2y+C2z+D2=0的交线(见图7-26),则直线L上的任一点坐标应同时满足这两个平面的方程.图7-26一、空间直线方程(7-23)反之,若点M不在直线L上,显然它不可能同时在平面π1和π2上,所以其坐标必不满足上述方程组.由此可见，直线L可用方程组(7-23)来表示，此方程组称为空间直线的一般方程.通过空间一直线L的平面有无穷多个，把通过该直线的所有平面的全体称为有轴平面束，简称平面束，直线L称为平面束的轴.只要在平面束中任意选取两个平面，将其方程联立起来，所得方程组就表示空间直线L.一、空间直线方程【例21】二、两直线的夹角及位置关系两直线的夹角1.把两直线的方向向量的夹角φ称为两直线的夹角，由于方向向量有两个方向，这里同样约定φ∈0,π2.设直线L1和L2的方向向量分别为s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，则L1和L2的夹角φ=s1,s2［或π-s1,s2］,因此，cosφ=coss1,s2.根据两向量夹角余弦的坐标表示式可得

二、两直线的夹角及位置关系【例22】二、两直线的夹角及位置关系两直线的位置关系2.三、直线与平面直线与平面的夹角1.直线和它在平面上的投影直线间的夹角φ0≤φ≤π2称为直线与平面的夹角(见图7-27).图7-27三、直线与平面注：当直线与平面垂直时,直线在平面上的投影为点，此时规定直线与平面的夹角为π2.注三、直线与平面【例23】三、直线与平面直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系有两种情况：相交(包含垂直)或平行(包含在平面上).设直线L的方向向量为s=m,n,p,平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n=A,B,C,则L与π垂直、平行的充要条件分别为：(1)因为L⊥π相当于直线的方向向量与平面的法向量平行,即s∥n，故有(2)因为L∥π相当于直线的方向向量与平面的法向量垂直,即s⊥n，故有L∥π=Am+Bn+Cp=0.特别地，直线L在平面π上的充要条件为Am+Bn+Cp=0，且对M0(0,y0,z0)∈L，有Ax0+By0+Cz0+D=0.三、直线与平面【例24】求过点1,-2,4且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.解平面的法向量2,-3,1，由于直线与平面垂直，故平面的法向量可作为所求直线的方向向量，因此，所求直线的方程为三、直线与平面平面束方程3.有时应用平面束的方程解题比较方便.下面介绍平面束的方程.在已知直线L的情况下，任取两个过该直线的平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0和π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，即可得其一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.现在来考察三元一次方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2

y+C2z+D2=0(λ为任意常数)，整理可得A1+λA2x+B1+λB2y+C1+λC2z+D1+λD2=0,(7-24)

三、直线与平面由于π1,π2两平面相交，故系数A1，B1，C1与A2，B2，C2必不完全成比例,所以对任取λ值,上述方程的系数必不全为零,从而这个三元一次方程可表示平面.同时，对于不同的λ值,它对应的平面也不同,而且这些平面显然都通过