2019届新课标高考数学二轮复习专题二函数2.3导数及其应用讲义理

第3讲导数及其应用-2-热点考题诠释高考方向解读1.(2017浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)答案解析解析关闭设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3,所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数;在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以函数y=f(x)的图象可能为D.故选D.答案解析关闭D-3-热点考题诠释高考方向解读2.(2017全国2,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(

)A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1答案解析解析关闭答案解析关闭-4-热点考题诠释高考方向解读答案解析解析关闭答案解析关闭-5-热点考题诠释高考方向解读-6-热点考题诠释高考方向解读-7-热点考题诠释高考方向解读5.(2017天津,理20)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且-8-热点考题诠释高考方向解读-9-热点考题诠释高考方向解读(2)证明

由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H'1(x)=g'(x)(x-x0).由(1)知,当x∈[1,2]时,g'(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H'1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H'1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>0,即h(m)>0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H'2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H'2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H'2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)<H2(x0)=0,可得H2(m)<0,即h(x0)<0.所以,h(m)h(x0)<0.-10-热点考题诠释高考方向解读由(2)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2).-11-热点考题诠释高考方向解读-12-热点考题诠释高考方向解读导数是高中数学选修板块中重要的部分,应用广泛.随着浙江进入新高考,导数回归高考,导数试题在知识和能力考查中将占有重要地位.高考对导数的考查主要有:用导数求切线的斜率、判断单调性、求极值、最值等,而利用导数考查能力的压轴题型,往往以数列、方程、不等式为背景,综合考查学生逻辑推理、转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力.导数试题的类型主要有:一是利用导数求曲线的切线方程和判断直线与曲线的位置关系;二是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,求函数的极值或最值;三是利用导数解决与函数零点有关的问题;四是利用导数解决不等式和求参数范围的问题.考向预测:通过函数与导数综合考查单调性和最值问题仍然是浙江省的热点,也是难点,题型主要是解答题,也不排除出现考查切线或函数最值问题的选择题或填空题.-13-命题热点一命题热点二命题热点三答案解析解析关闭答案解析关闭-14-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法求曲线的切线方程必须分清条件“在点P”与“过点P”的区别,对于前者可直接由已知点的横坐标代入导函数求出切线斜率;而对于后者,则必须设出切点坐标,用切点坐标来表示切线方程,再由已知条件解出切点坐标.-15-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练1

若直线y=kx与曲线y=x+e-x相切,则k=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-16-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练2

已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为

.

答案解析解析关闭设切点为(t,t3-3t),f'(x)=3x2-3,则切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3,把A(1,m)代入整理得2t3-3t2+m+3=0①,因为可作三条切线,所以方程①有三个解,记g(t)=2t3-3t2+m+3,则g'(t)=6t2-6t=6t(t-1),所以当t=0时,有极大值g(0)=m+3,当t=1时,有极小值g(1)=m+2,要使g(t)有三个零点,只需m+3>0,且m+2<0,所以-3<m<-2,答案为(-3,-2).答案解析关闭(-3,-2)

-17-命题热点一命题热点二命题热点三(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.-18-命题热点一命题热点二命题热点三解:

(1)∵由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),∵当k≤0时,kx≤0,∴ex-kx>0,令f'(x)=0,则x=2,∴当0<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).-19-命题热点一命题热点二命题热点三(2)由(1)知,k≤0时,函数f(x)在区间(0,2)内单调递减,故函数f(x)在区间(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x∈(0,+∞).∵g'(x)=ex-k=ex-eln

k,当0<k≤1时,当x∈(0,2)时,g'(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增,故函数f(x)在区间(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x∈(0,ln

k)时,g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减,x∈(ln

k,+∞)时,g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增,∴函数y=g(x)的最小值为g(ln

k)=k(1-ln

k),函数f(x)在区间(0,2)内存在两个极值点,-20-命题热点一命题热点二命题热点三-21-命题热点一命题热点二命题热点三-22-命题热点一命题热点二命题热点三-23-命题热点一命题热点二命题热点三-24-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法1.利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.2.对于函数y=f(x),若在点x=a处有f'(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则当x=b时f(x)有极大值f(b).-25-命题热点一命题热点二命题热点三3.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-26-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练3

已知函数f(x)的导数为f'(x),f(x)不是常数函数,且(x+1)f(x)+xf'(x)≥0对x∈[0,+∞)恒成立,则下列不等式一定成立的是(

)

A.f(1)<2ef(2) B.ef(1)<f(2)C.f(1)<0 D.ef(e)<2f(2)答案解析解析关闭原式等于xf(x)+f(x)+xf'(x)=xf(x)+[xf(x)]'≥0,设F(x)=ex[xf(x)],则F'(x)=ex[xf(x)]+ex[xf(x)]'=ex{xf(x)+[xf(x)]'}≥0,所以函数F(x)=ex[xf(x)]是单调递增函数,F(1)<F(2)⇔ef(1)<e2·2·f(2),即f(1)<2ef(2).故选A.答案解析关闭C-27-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练4

已知函数f(x)=excosx-x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;-28-命题热点一命题热点二命题热点三解：

(1)因为f(x)=excos

x-x,所以f'(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,则h'(x)=ex(cos

x-sin

x-sin

x-cos

x)=-2exsin

x.-29-命题热点一命题热点二命题热点三-30-命题热点一命题热点二命题热点三-31-命题热点一命题热点二命题热点三-32-命题热点一命题热点二命题热点三-33-命题热点一命题热点二命题热点三例4已知函数f(x)=lnx+ax.(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,求实数a和m的值;(2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的零点x1,x2,求实数a的取值范围.

解:(1)∵f(x)=ln

x+ax,∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,∴f'(1)=1+a=2,得a=1.又∵f(1)=ln

1+a=1,∴函数f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,∴m=-1.-34-命题热点一命题热点二命题热点三-35-命题热点一命题热点二命题热点三-36-命题热点一命题热点二命题热点三-37-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法1.函数恒成立问题和存在性问题应转化为函数最值问题,利用导数分析函数单调性,从而得出最值,求出参数的取值范围.2.与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数图象的交点问题),进而确定参数的取值范围.特别对三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a>0)-38-命题热点一命题热点二命题热点三3.利用导数证明不等式,主要是构造函数.通过导数判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的最值,当该函数的最大值或最小值可使不等式成立时,则不等式恒成立,从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的解题方法是依据不等式的特点,进行等价变形.构造函数,借助图象观察或参变分离,转化为求函数的最值问题.-39-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练5

已知函数f(x)=(t+1)lnx+tx2+3t,t∈R.

(1)若t=0,求证:当x≥0时,f(x+1)≥x-x2;(2)若f(x)≥4x对任意x∈[1,+∞)恒成立,求t的取值范围.-40-命题热点一命题热点二命题热点三-41-答题规范提分解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.-42--43--44-123451.已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-45-123452.若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为

.

①f(x)=2-x

②f(x)=3-x

③f(x)=x3

④f(x)=x2+2答案:①④

-46-12345∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=ex·x3,则g'(x)=ex·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在(-∞,-3)上单调递减