2024-2025学年江苏省无锡市江阴市某校高二（上）学情调研数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市江阴市某校高二（上）学情调研数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足iz=3+2i，则|z|=(

)A.13 B.5 C.1 D.2.抛物线x2=6y的焦点到准线的距离为(

)A.12 B.1 C.2 D.3.已知u=(3,a+b,a−b)(a,b∈R)是直线l的方向向量，n=(1,2,3)是平面α的法向量，若l⊥α，则a+2b=(

)A.152 B.−32 C.64.已知{an}为递增的等差数列，a3·a4=15，A.9 B.10 C.11 D.125.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→….现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=an2A.17 B.16 C.15 D.106.P为直线y=kx−2上一点，过P总能作圆x2+y2=1A.3 B.33 C.−7.在三棱锥P−ABC中，G为△ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB，PF=12PC，λ，μ∈(0,1)，若PG交平面A.12

B.23

C.1

8.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于MA.5 B.52 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z，下列命题正确的是(

)A.若z+1∈R，则z∈R B.若z+i∈R，则z的虚部为−1

C.若|z|=1，则z=±1 D.若z2∈R10.下列结论正确的是(

)A.l1：x+(2a−1)y+2a−3=0,l2：ax+3y+a2+4=0，若l1//l2，则a=−1或a=32

B.直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则k≤−12或k≥32

C.直线11.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(2,t)时，|PF|=4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4,1)，下列结论正确的是(

)A.抛物线的方程为y2=8x

B.存在直线l，使得A、B两点关于x+y−6=0对称

C.|PM|+|PF|的最小值为6

D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆的方程为25x2+413.已知点A(2,0)，O(0,0)，B(0,−4)，则△AOB的外接圆的标准方程为______．14.如图，两条异面直线a，b所成角为60°，在直线上a，b分别取点A′，E和点A，F，使AA′⊥a且AA′⊥b.已知A′E=2，AF=3，EF=23.则线段AA′四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知A

(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(−1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点，且向量AB，CD对应的复数分别为z1，z2．

(Ⅰ)若z1+z2=1+i，求z1，z2

(Ⅱ)若|16.(本小题12分)

已知圆C：x2+y2−4x−6y+4=0，过点P(4,2)的直线l与C交于点M，N，且|MN|=4．

(1)求圆的圆心坐标和半径：

(2)求l的方程；

(3)设17.(本小题12分)

已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7=28．

(1)求{an}的通项公式；

(2)从{an}中依次取出第3项，第18.(本小题12分)

在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．

(Ⅰ)求证：AC⊥PM；

(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值；

(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出PNPB的值，若不存在，说明理由．19.(本小题12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等，且椭圆过点P(−1,22)，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A，B两点，M是线段AB的中点，射线OM与椭圆于点C．

(1)求椭圆方程；

(2)若直线k=−12，求点C参考答案1.A

2.D

3.D

4.D

5.B

6.D

7.C

8.C

9.AB

10.BD

11.ACD

12.(0,−21)13.(x−1)14.4或2

15.解：(Ⅰ)向量AB=(a−1,−1)，CD=(−3,b−3)对应的复数分别为z1=(a−1)−i，z2=−3+(b−3)i．

∴z1+z2=(a−4)+(b−4)i=1+i．

∴a−4=1，b−4=1．

解得a=b=5．

∴z1=4−i，z2=−3+2i．

(Ⅱ)|z1+z2|=2，16.解：(1)将圆C：x2+y2−4x−6y+4=0化为标准方程，

可得(x−2)2+(y−3)2=9，

故圆心C(2,3)，半径r=3；

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，

在圆C：x2+y2−4x−6y+4=0中，

令x=4，得y2−6y+4=0，解得y=3±5，

此时|MN|=25，与题意矛盾；

所以直线l的斜率存在，设斜率为k，

则直线l的方程为y−2=k(x−4)，即kx−y−4k+2=0，

因为|MN|=4，

所以圆心C(2,3)到直线l的距离d=r2−(|MN|2)2=9−4=5，

所以|2k−3−4k+2|k2+1=5，解得17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5=8，

又因为a3a7=28，即(a5−2d)(a5+2d)=28．

所以d2=9，d=±3，因为公差为正数，所以d=3.则a5=a1+4d=8，则a1=−4，18.证明：(I)取AC中点O，连接OP，OM．

∵PA=PC，∴PO⊥AC，

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

∴PO⊥平面ABC．

∵M是AB的中点，∴OM //BC，

∵BC⊥AC，

∴OM⊥AC.又OP∩OM=O，OP,OM⊂平面POM

∴AC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，

∴AC⊥PM．

(II)以O为原点，以OA，OM，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(1,0,0)，C(−1,0,0)，P(0,0,1)，B(−1,4,0)．

∴PC=(−1,0,−1)，AP=(−1,0,1)，AB=(−2,4,0)．

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=0n⋅AB=0，

∴−x+z=0−2x+4y=0，令y=1得n=(2,1,2)，∴cos<n,PC>=n⋅PC|n||PC|=−223．

∴PC与平面PAB所成角的正弦值为223．

(III)∵M(0,2,0)，∴PB=(−1,4,−1)，CP=(1,0,1)，CM=(1,2,0)．

设线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB．

设PN=λPB=(−λ,4λ,−λ)，(0≤λ≤1).则CN=19.解：(1)由题可得2b=2c1a2+12b2=1a2=b2+c2，解得：a2=2b2=1，

所以椭圆方程为x22+y2=1，

(2)设A(x1