常微分第一章-绪论教学案例

常微分方程模型

-----常微分方程的应用主要内容第一章绪论基本概念和常微分方程的发展历史在初等数学中，我们曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。在高等代数中，我们又学习了高次代数方程，n元线性代数方程组。这些方程(组)有一个共同点，就是作为未知而需要求出来的是一个或几个特定的值(称为方程的根或解)。这样的方程我们把它们称为初等方程（包含代数方程和超越方程）。第一节常微分方程模型一、微分方程概念的引进例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程(*)来确定隐函数，上述方程(*)是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数就是所要求的未知函数。而在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中,作为未知而需要求出来的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。我们称这类方程为高等方程也称它为函数方程。因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能根据实际问题中蕴含的某些规律，建立起它们和它们的变化率(导数)之间的关系式。

数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。但是在大量实际问题中，对于稍为复杂一些的运动过程,反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来,却比较容易建立这些变量和它们的导数(或微分)之间的关系式。于是，我们把包含未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。二、实际问题的常微分方程模型问题一：将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测量得温度为问题与要求：决定此物体的温度和时间的关系基本假设：空气的温度保持为.分析：了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内(其中包括了上述问题的温度在内)，一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newton）冷却定律。假设：设物体在时刻t的温度为，则温度的变化速度为。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而，所以温差恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒为负。因此由牛顿冷却定律得其中k是比例常数，方程(1.1)就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数，这样的方程，就称为(一阶)微分方程。将(1.1)改写成变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得由此，令，有代入初始条件，并整理得到解曲线其中是积分常数，对上式进行变形又得到：图解评注：符合实际情况，真实地反映了物理现象：高温物体在低温环境中的温度变化过程和情况。问题二：R-L电路电流方程:MQOAPmg问题三：R-L-C电路电流方程:问题四：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程)。前面我们介绍了微分方程的一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的其它领域，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分支、混沌、非线性振动等学科中，都提出了大量的微分方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题。因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上。第一章绪论第二章一阶微分方程的初等解法第三章一阶微分方程的解的存在定理第四章高阶微分方程第五章线性微分方程组第六章非线性微分方程定性、稳定性理论第七章一阶线性偏微分方程常微分方程课程的基本内容：教材：王高雄等编，常微分方程（第三版），高教出版社，2006《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005《常微分方程教程》，丁同仁等编，高等教育出版社，1991《常微分方程习题解》(第1版)，庄万，山东科学技术出版社，2004《微分方程数值解法》,李荣华，高等教育出版社，2005《微分方程模型与混沌》，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999主要参考书第二节微分方程的基本概念定义联系自变量、未知函数及它的导数(或微分)的关系式称为微分方程。1.微分方程注微分方程是函数方程，其中未知函数的导数或微分必不可少。不定积分问题可以用方程的概念叙述为假设是自变量的连续函数,试求函数使其满足微分方程方程（**）就是一个典型的微分方程。2.什么是常微分方程？定义所讨论的微分方程，当未知函数是一元函数时,称为常微分方程，而未知函数是多元函数时，称为偏微分方程。偏微分方程：常微分方程：一阶，非线性二阶，线性一阶，线性二阶，非线性常微分方程是古老的数学分支之一，它与动力系统紧密相关并有相当重要的应用价值。如分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等。常微分方程与其他学科也紧密相关。偏微分方程是研究客观现实世界数量间相互制约关系的有力工具，它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工程技术中的有关问题。在上个世纪中偏微分方程的理论取得了重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性还有许多问题有待进一步的研究。3.微分方程的阶

定义微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。n阶常微分方程的一般形式为

这里是的已知函数，一定含有；是未知函数，是自变量。4.线性和非线性定义如果微分方程对未知函数和出现的各阶导数而言是一次有理整式，则称此微分方程为线性微分方程，否则称为非线性微分方程。参见上述各例。n阶线性微分方程的一般形式为

这里是的已知函数。5.解和隐式解如果可微函数代入方程（1.12）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程（1.12）的解。定义如果由关系式所确定的隐函数是微分方程（1.12）的解，则称关系式为微分方程（1.12）的积分或隐式解。6.通解和特解定义把含有个独立的任意常数的解称为阶方程（1.12）的通解

类似地可以定义n阶方程（1.12）的隐式通解。为了方便，通常我们不对解和隐式解，通解和隐式通解加以区分，统称为方程（1.12）的解，通解。定解条件：为了确定微分方程一个特定的解而给出这个解所必需满足的条件。常见的定解条件就是初始条件和边界条件。初始条件所谓n阶微分方程（1.12）的初始条件是指如下的n个条件：当时，定解问题:求微分方程满足定解条件（初始条件）的解初值问题(柯西Cauchy问题)：当定解条件是初始条件时，相应的定解问题就称为初值问题。这是本课程讨论的重点。特解把满足初始条件的解称为微分方程的特解。说明：初始条件不同，对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到。定义一阶微分方程

的解

代表xy平面上的一条曲线，就称之为微分方程的积分曲线。（1.17）而微分方程的通解代表xy平面上的一族曲线，就称之为微分方程的积分曲线族。7.积分曲线和方向场__一阶微分方程的几何意义

积分曲线

满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。

为方程（1.17）的积分曲线的充要条件是其上每一点上的切线斜率刚好等于函数在这点的值.方向场设函数的定义域为，在每一点处画上一个有向小线段，其斜率等于在该点的值，把带有这种直线段的区域称为由方程（1.17）规定的方向场，又称向量场。等斜线在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）。方向场画法适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的方向向量,这样即可画出这个方向场.例画出方程所确定的方向场示意图.解方程的等斜线为画出五条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点，画出对应的方向向量，得右图所示的方向场。根据方向场可大致描绘出积分曲线．经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线．如右图所示。图1.2等斜线积分曲线：图中实线例讨论微分方程的积分曲线的分布等斜线是双曲线：积分曲线的分布概况如右图.拐点所在的曲线8.微分方程组定义由含有若干未知函数的若干个微分方程联立而成的数学式子称为微分方程组。Lorenz方程组Volterra两种种群竞争模型(1.18)(1.19)高阶微分方程的显式形式如果把都理解为未知函数，并作变换上述高阶微分方程就可以化为下列微分方程组并可以记为向量形式其中均为向量函数．说明：微分方程（组）的向量形式为以后用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。可以化为微分方程组9.驻定与非驻定方程组、动力系统如果方程组的右端不显含有自变量，即则称其为驻定(自治)的，否则就称为非驻定的(非自治)的。注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。把满足恒同性和可加性的映射族称为动力系统。动力系统分为离散和连续两种类型，对应有离散动力系统和连续动力系统。和结论记为单参数的上的映射(变换)族，则该映射族满足恒同性和可加性，即：（1.20）10.相空间、奇点和轨线相空间：不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间。奇点：f(y)=0的解称为驻定微分方程组（1.20）的平衡解（驻定解、常数解）或奇点（平衡点）。轨线：积分曲线在相空间中的投影称为轨线。对于方程组此时相空间为相平面,可以利用f(x,y)=0和g(x,y)=0所确定的垂直和水平等斜线划分相平面，而在所得区域上判断轨线的走向,讨论平衡点的稳定性.11.雅可比矩阵与函数相关性当时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为雅可比矩阵:对于个变元的个函数定义雅可比矩阵为常微分方程发展历史大致分为如下四个阶段:1)17世纪至18世纪,微分方程发展初期,求通解时代.2)19世纪初中叶,转向求特解时代,存在唯一性,微分方程的解析理论,近似解法3)19世纪末到20世纪5