21.3实际问题与一元二次方程教学设计2024-2025学年+人教版数学九年级上册+

教学设计

课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题实际问题与一元二次方程教学目标1.能根据实际问题中的数量关系，正确建立流感传播问题、增长率问题、面积问题中的一元二次方程模型，求解模型并解释实际问题。2．通过建立模型及模型的再抽象，体会一元二次方程模型是刻画现实世界的有效模型，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学建模能力。教学重难点教学重点：1.利用实际问题中蕴涵的数量关系或变化规律建立一元二次方程模型，解决实

际问题。

教学难点：1.分析较复杂实际问题中的数量关系及正确建立数学数学模型并求解。教学过程一、了解建模，明确目标如图所示，回顾“实际问题与一元一次方程”的学习过程，理解从实际问题中抽象出数学问题并建立数学模型求解的过程就是数学建模。二、分析问题，建模求解问题1有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：呈现源于现实生活的实际问题，引发学生探究的兴趣。以流感传播问题为情境，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，这类问题在生活中很常见。类似的问题有细胞分裂、信息传播、储蓄累计收益等。问题研究的是流感两轮传播，给出的问题情境比较简洁，有效信息不是很明确，学生需自主提取有效信息并分析，理解题意很关键，对学生而言具有挑战性。教学中引导学生感受“ab=c”型（a是传染源人数，b是平均一人传染的人数，c是一轮传染的人数）传播模型，有利于帮助学生理解题意，正确建立模型并求解。教学组织：先让学生自主分析题意，寻找等量关系，尝试建立方程求解。引导学生发现每轮传播的ab型代数式模型很重要，最后表示的人数为总人数。教学中可以引导学生先研究第一轮、第二轮传播后新增加的感染人数，最后再用代数式表达总人数，最终形成一元二次方程模型，使学生经历数学模型的建立过程，培养分析和解决问题、建立数学模型求解实际问题的能力。问题2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？设计意图：以生产成本变化为问题情境，探究成本年平均变化率问题。这类问题在现实生活中大量存在，比如经济增长率、人口增长率等。呈现的问题涉及甲、乙两种药品，实际上只需解决甲种药品的降低率问题即可，因为甲、乙两种药品的数学模型结构上是一样的。设平均变化率为x的话，就会得到一个增长率模型，其中a是变化前的量，b是变化后的量。另外，值得指出的是成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，后者表示相对变化量，仅借助绝对变化量来认识变化情况是不可靠的，需两者兼顾。教学组织：首先应引导学生理解“成本下降率”的概念，即下降的成本额与原成本额的百分比。在本问题中，变化前成本×成本降低率=变化后的成本，在此基础上，两轮下降的情况下，学生就容易理解和表达出相应的数量关系了。最后再引导学生对增长率问题的数学模型就行二次抽象，形成更为一般的增长率模型：。问题3如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？设计意图：通常而言，如果不要求正中央矩形的长宽比为9:7，即上、下边衬，左、右边衬是等宽的，问题就很容易解决。但实际问题中要求正中央矩形的长宽之比与封面的长宽比相等，这就增加了问题分析和求解的难度。因此，根据封面及正中央矩形的长宽比都是9:7，由此推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9:7，是解决问题的关键。另外，也可以从从用代数式直接表达正中央矩形的面积着手，对于学生而言更好理解。教学组织：面积问题的数学原型是矩形面积公式ab=c。此类问题教学中，引导学生根据实际问题中的数量关系，用字母表示出矩形的长和宽，最终用代数式表示矩形面积从而形成一元二次方程模型，求解模型、验证、解释即可。三、梳理总结，理解建模回顾建立