2023年新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）专题08 数列专题（新定义）（解析版）

2023年新高考数学创新题型微专题（数学文

化、新定义）专题08数列专题（新定义）

一、单选题

1.（2023春•甘肃张掖・高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列｛〃“｝中，定义：

G”+2生+3：+…+以为数列｛q｝的,，匀称值，，已知数列｛q｝的“匀称值”为G.=〃+2,则该数列中的

%=（）

812921

A.-B.—C.-D.—

3541（）

2.（2023春•浙江•高二开学考试）对任意工整数对6,々），定义函数/SM）如下：/（1,力=1,

++»=（；-!）/（/,；）,/＜；,则（）

A./（J+l,J）=lB./（/J）=2C；1

C.![/•/（/,J）]=J-（2y-l）D.££["（。川=20+〃-2

I-IJ=1J=1

3.（2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义:对于数列｛4｝,如果存在一个常数7（TeN）,

使得对任意的正整数〃N〃o恒有4+『=4，则称数列｛4｝是从第〃。项起的周期为T的周期数列.已知周期数

列｛2』满足：3=1,3=3,bn=bz-bn-2（〃23）,则篇23=（）

A.-1B.-3C.-2D.1

C

4.（2023秋•福建南平•高二统考期末）若数列｛%｝的前〃项和为，，〃=李，则称数列也｝是数列｛4｝的“均

值数列”.已知数列也｝是数列｛%｝的“均指数歹广且〃=〃，设数列•瓦金丁的前〃项和为小若

；_机+6-3）＜7；对〃wN•恒成立，则实数机的取值范围为（）

A.[-1,2]B.（-1,2）

C.（华，一1）D（N+8）D.（^»,-l]u[2,+oo）

5.（2023秋•山西长治•高三校联考阶段练习）对于一个〃项数列

A:ava2,,an,Sk=ax+a2++4(14W拉,&tN),记A的“Cesam平均值”为'(£+S?++Sn),若数列

4,生，…，4(no的“Cesam平均值”为2022，数列乂4，的,…,喊的“Cesmv平均值”为2046,则X=()

A.24B.26C.1036D.1541

6.(2023春・湖北咸宁•高二校考开学考试：等比数列｛叫中4=512,公比用口“=4。••…%表示

它的前〃项之积，则n»n2,山中最大的是()

A.nHB.nI0c.n9D.n8

7.(2022秋・北京・高二北京二中校考期末)如果数列｛4｝满足?：-空=女"为常数)，那么数列｛q｝叫做

等比差数列，上叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是()

①若数列｛勺｝满足竽=2〃，则该数列是等比差数列；

②数列｛m2”｝是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.®®®C.①②④D.②③④

8.(2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习)定义在(y,0)U(0,w)上的函数/(%),如果对于任意给定

的等比数列｛4｝,｛/(4)｝仍是等比数列，则称/(力为“保等比数列函数现有定义在(-8,0)1)(0,侄)上

的如下函数：①/'5)=/；②〃"=2，；③f(x)=3@/(x)=ln|A|,其中是“保等比数列函数”的序号为

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

12

9.(2023秋・吉林・高二吉林一中校考期末)若数列｛《,｝满足^——-=0,则称｛4｝为“必会数列”，已知正

项数列｛〃”｝为“必会数列”，若4+4=3,则生+生=().

A.-B.1C.6D.12

9

10.(2022秋•陕西渭南•高二统考期末)设｛凡｝是无穷数列，若存在正整数底使得对任意的〃wN・，均有

为“＞凡，则称｛%｝是间隔递增数列，上是｛4｝的间隔数.若也｝是间隔递增数列，则数列低｝的通项不可熊

是()

9

A.b=2n—B.b=3n+\

nnn

Ca二1一/D-2二一〃（一2）”

11.（2023•全国•高三专题练习）对于数列&｝,若存在正整数人（&N2）,使得勺＜见一用＜4+1,则称4是

...Q

数列｛/｝的“谷值”，2是z数列｛%｝的“谷值点”.在数列｛4｝中，若勺=〃+7—8,则数列｛%｝的“谷值点”为

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

12.（2023・全国•高二专题练习）若数列｛q｝满足。川=2%-1,则称｛叫为“对奇数列”.已知正项数列出+1｝

为“对奇数列”，且4=2,则勿=（）

A.2X3"TB.2n~'C.2n+,D.2”

13.（2022春•辽宁葫芦岛•高二校联考阶段练习）设a（a“）表示落在区间［小凡］内的偶数个数.在等比数列

｛4一〃｝中，q=4,a2=11,则/2（%）=（）

A.21B.20C.41D.40

14.（2023春•湖北•高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列｛4｝,定义儿=。产2%++2"-4为数列｛q｝

的“加权和”，已知某数列｛4｝的“加权和”4=小2日,记数列｛4+p日的前〃项和为均,若毒ME对任意的

〃㊂N'恒成立，则实数p的取值范围为（）

A-B-LT,-3JL2,_TJD.「〒工

15.（2023全国高三专题练习）若数列但｝满足；若"一包（加,〃£1＜）,则%则称数列｛纥｝为“等

同数列已知数列｛为｝满足％=5,且4=〃（。向-可），若“等同数列”也｝的前〃项和为3，且々=4=也，

4=/，S5=«|0,则Swz=（）

A.4711B.4712C.4714D.4718

16.（2022・全国•高三专题练习）设数列k｝,若存在常数，对任意小的正数L总存在正整数〃°,当〃2%

时，同一|＜$,则数列｛4｝为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是（）

A.若等比数列｛《,｝是收敛数列，则公比夕£（0,1）

B.等差数列不可能是收敛数列

C.设公差不为。的等差数列｛4｝的前〃项和为s.(s“/0),则数列9一定是收敛数列

D.设数列血｝的前〃项和为S“，满足4=1,Sz=4+1,则数列｛4｝是收敛数列

17.(2022春•安徽亳州•高三蒙城县第六中学校联考开学考试)设数列｛4｝：《，的，…，/。〃22),若

存在公比为夕的等比数列｛与向｝:存吊，…,%，使得<如，其中—1,2,则称数列出向｝

为数列｛4｝的“等比分割数列”.若数列｛A。｝的通项公式为4=2”(〃=12…，⑼,其“等比分割数列”｛品｝的

首项为1，则数列｛昂｝的公比g的取值范围是()

A.便,2)B.(2科,2)C.(2,2,D.(2,2,

18.(2022春・江苏无锡•高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试)若数列｛劭｝满足

a2-^ai<a3-^a2<-<an-an_x<....则称数列｛〃〃｝为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列｛c〃｝的前〃

项和S〃满足S“+2c”=2f-l(〃eN.),则实数，的取值范围是()

A.(-8,g)B.(-co,1)

C.(―,4-co)D.(1,+cc)

19.(2022•浙江•高二学业考试)通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,

得到数列2,6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类

似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数

列记为｛«,｝,则6物的值是()

A.6B.12C.18D.108

二、多选题

20.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)若数列｛卬｝满足：对任意正整数

〃，何+「叫为递减数列，则称数列㈤｝为“差递减数列给出下列数列｛叫(aN*),其中是“差递减数歹『

的有：)

2

A.a„=2"B.an=n

C.an=4nD.4=121

21.（2023春・江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列｛可｝满足：3ABeR,ABwO,使得对

于都有/=+则称｛%｝具有“三项相关性”，下列说法正确的有（）.

A.若数列｛外｝是等差数列，则｛〃“｝具有，三项相关性”

B.若数列｛%｝是等比数列，则｛4｝具有“三项相关性”

C.若数列｛%｝是周期数列，则｛为｝具有“三项相关性”

D.若数列｛4｝具有正项“三项相关性“，且正数A,3满足A+l=8,6+6=8,数歹U｛2｝的通项公式为

hn=B\｛q｝与低｝的前〃项和分别为S.，T”,则对版S“<7；恒成立

22.（2023春・广东惠州•高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多・斐波那契

以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用/表示斐波

那契数列的第〃项，则数列｛%｝满足：4=1=1,4+2=4+I+4，记之4=4+6+…+凡，则下列结论正

i=l

确的是（）

A.数列｛4｝是递增数列B.2an=an_2+an+l（n>3）

20222021

a

C.E4=生022,。2023D.Zi="2023-1

r=l*=1

23.（2023秋•河北邯郸・高二统考期末）若｛凡｝不是等比数列，但｛凡｝中存在互不相同的三项可以构成等比

数列，则称｛4｝是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（）

A.12）"+8｝B,｛白｝C.｛9-右｝D.厅+25｝

24.（2023春・安徽蚌埠•高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列伍力是各项均为正数且公比不等于1的等比

数列（叱N）对于函数f（x）,若数列｛座&）｝为等差数列，则称函数〃力为“保比差数列函数”，则定义

在（0,"）上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（）

A.为“保比差数列函数“B.“力二/为，，保比差数列函数，，

C.〃x）=e，为“保比差数列函数"D.〃力=正为“保比差数列函数”

25.（2022秋•福建福州•高二校联考期末）在数列｛4｝中，若d-43=p（〃N2EcN.,p为常数），则称｛4｝为

“平方等差数列下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（）

A.｛（-2）”｝是平方等差数列

B.若｛4｝是平方等差数列，则｛〃；｝是等差数列

C.若｛&｝是平方等差数列，则｛也十可出bwNd力为常数）也是平方等差数列

D.若｛叫是平方等差数列，则｛传用,｝（£beN*A。为常数）也是平方等差数列

26.（2023秋・山西吕梁・高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，

这样的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二

次得到数列1,4,4,16,4,L，设第九次“美好成长”后得到的数列为1出占1,外,4,并记

=log4（lx^xx,xLXXAX4）,则（）

A.%=5B.all+l=3an-\

C.k=2n+\D.数列｛〃q｝的前〃项和为3””（2〃7）；3+2〃（l+〃）

27.（2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数

列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，

将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得

到数列1,为，*2，均，…，冗,2.记。”=1+玉+%2+…+a+2,数列｛q｝的前〃项和为S”，则（）

A.q=42B.。向=3。n-3

C.《=飘+3〃）D.W=33%2〃-3）

三、填空题

28.（2022春・上海长宁•高二上海市延安中学校考期中）对于数列｛g｝,若存在正整数川，使得对任意正整

数〃，都有。…=可。（其中夕为非零常数），则称数列｛〃“｝是以加为周期，以1为周期公比的“类周期性等

比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列｛凡｝前21项的和

为

29.（2022秋•福建泉州.高二统考期末）对于数列｛叫，记：型）=」包，△£）=请，△*=,，…，△?=消

（其中〃£N'）,并称数列｛△?｝为数列｛%｝的k阶商分数列.特殊地，当｛△*｝为非零常数数列时，称数列｛q｝

20

是々阶等比数歹U.已知数列｛%｝是2阶等比数列，且4=2,%=2048,d3=2,若则

30.（2023•河南郑州・统考一模）“外观数歹犷是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外

观描达例如：取笫一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11;将描述为“2个1”，则第三项为

21；将21描述为“1个2,1个1”，则第四项为1211；将12n描述为力个1,1个个2个1”,则第五项为

111221,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则

对于外观数列｛q｝,下列说法正确的有.

①若4=3,则从4开始出现数字2；

②若％=k（攵=1,2,3,…，9）,则的最后一个数字均为匕

③｛q｝不可能为等差数列或等比数列：

④若q=123,则勺均不包含数字4.

31.（2023秋•内蒙占阿拉善盟•高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列｛4｝的前〃项和为S〃，对任意〃GN

都有为+。向=，G为常数），则称该数列为*数列“，若数列｛q｝为“2数列"，且4=-1,则$2023=.

32.（2023秋•宁夏吴忠•高二吴忠中学校考期末）定义〃个正数外P2，…,区的“均倒数”为，：上，若

各项均为正数的数列｛an｝的前〃项的“均倒数，，为高，则％侬的值为

33.（2023秋・安徽淮北•高二淮北一中校考期末）对给定的数歹叫4｝（见工0）,记2=也，则称数列｛〃｝为

“fl

数列几｝的一阶商数列；记。二导，则称数列｛。“｝为数列｛4｝的二阶商数列；以此类推，可得数列｛&｝的

产阶商数列（PcN）已知数列应｝的二阶商数列的各项均为e,且4=1,2=1,则4。=.

34.（2022秋•上海•高二期中）定义:对于任意数列｛4｝,假如存在一个常数。使得对任意的正整数〃都有a“〈a.

且㈣%="，则称0为数列｛%｝的“上渐近值已知数列｛。“｝有4=。，生=〃（〃为常数，且〃>°）,它的前〃

项和为S“，并且满足S”=运/），令％=2+学，记数列｛四+0++P”-方｝的“上渐近值''为h则

2°n+l%+2

100乃3,士生

cos——的值为

35.（2023・高二课时练习）定义：各项均不为零的数列｛&｝中，所有满足4<0的正整数i的个数称为这

4

个数列｛凡｝的变号数.已知数列也｝的前〃项和S“=〃2—6〃+a（neN\。=5）,令4="，~（〃wN）,

若数列｛q｝的变号数为2,则实数。的取值范围是.

36.（2023春•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知数列｛q｝满足%=b°g（〃+［）n>2nwN'

定义使qqq4（"N*）为整数的上叫做“幸福数”，则区间［L2022］内所有“幸福数”的和为.

37.（2022春•高二单元测试）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的

之和，构造一个新的数列，现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,

11,5,依此类推，第〃次得到数列1,与，x『与，…，5.记第〃次得到的数列的各项之和为S“，则｛S.｝

的通项公式2=.

38.（2022•黑龙江绥化•绥化市第一中学校考模拟预测）定义：若有穷数列《，出，…，%（〃eN）,满足q=勺，

%=%，…，4=4,即（iwN，,且14区〃），则称该数列为“对称数列若数列也｝是项数

为201（左€4）的对称数列，且％,b……,砥」构成首项为30,公差为-2的等差数列，记数列低｝的

前24-1项的和为S21，则S2k取得最大值时k的值为.

39.（2020秋♦陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和

为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列｛q｝是等和数列，且

4=-2,出g=8,则这个数列的前2020项的和为.

40.（2020秋・陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积

为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列｛“”｝是等积数列，且

卬=-2,公积为5,那么这个数列的前2（）20项的和为一.

四、解答题

41.（2023秋•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期末）设数列｛为｝的前〃项和为S”.若

1<^-<2（/i€N,n>l）,则称｛%｝是“紧密数列”.

⑴已知数列｛叫是“紧密数列”，其前5项依次为,尹三,求x的取值范围；

⑵若数列｛4｝的前〃项和为S“=；（1+3）判断｛4｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

（3）设数列｛%｝是公比为q的等比数歹IJ.若数列｛为｝与｛S,J都是“紧密数列”，求夕的取值范围.

42.(2023•全国•高三专题练习)对于给定的正整数上若数列｛4｝满足:

%.+%.+1+...+&T+a0+i+...+4皿+4.«=2姐,，对任意正整数〃(〃>幻总成立，则称数列｛q｝是“P⑷

数列若数列｛“〃｝既是"P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：｛%｝是等差数列.

43.(2023春•安徽淮北•高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)如果一个数列的各项都是实数，且

从第2项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列

的公方差.

(I)设数列｛%｝(q>())是公方差为P(P>0)的等方差数列，且6=1,求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛q｝既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列｛〃“｝为常数列.

44.(2022春•上海黄浦•高三校考阶段练E)对于给定数列｛%｝,如果存在实常数P、q使得=对

于任意〃eN”都成立，我们称数列｛%｝是“M类数列”.

(1)若%=2〃,—W€N\数列｛%｝、｛"｝是否为类数列”？

⑵若数列应｝是类数列”,求证：数列甩+q+J也是类数列”；

(3)若数列｛凡｝满足4=2,4+可讨=3/，为常数.求数列｛〃“｝前2022项的和.

45.(2023・高二课时练习)定义：称工：,为〃个正数Pi，P-…,心，的“均倒数已知数列｛q｝

Pl+P二十…十Pn

的前〃项的“均倒数”为工，

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)设试判断并说明q+i-q(〃为正整数)的符号；

(3)设函数/(力=-/+4%-嘉，是否存在最大的实数九，当“。时，对于一切的自然数〃都有f(x)W0.

专题08数列专题(新定义)

一、单选题

1.(2023春・甘肃张掖・高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列｛〃”｝中，定义：

G,=巴坟土学土士%为数列｛《,｝的.，匀称值，，己知数列｛q｝的，，匀称值，，为伉=〃+2,则该数列中的

4o=()

8n12八9r21

A.-B.—C.-D.—

35410

【答案】D

【分析】确定〃G,=〃(〃+2)=4+2%+%+…+〃q,取〃=10和〃=9带入式子，相减得到答案.

【详解】0=4+物+3：3+-+〃可=〃+2,即〃G.=〃5+2)=4+%+34+3+W.，

故q+2%+物+…+l()4o=10x(10+2)；4+24+物+•••+%=9x(9+2)；

21

两式相减得10%=21,所以%=木.

故选：D

2.(2023春・浙江•高三开学考试)对任意工整数对("幻，定义函数/(〃,2)如下：/(1J)=I,

A.+B./(/J)=2C；1

C.知产./(")]=D.£为"),力]=2"+/一2

l-lj=\J=l

【答案】c

【分析】根据新定义得,令i=J即可判断A,根据

=fg)二卜2〃4,j)J3

累乘可判断B,利用二项式定理求得

川,j)27(2,j)3)(3,j)4

C+C+…+C=2”-1,结合£[产/(3)]=史C”/(2，-l)判断c,££["«，/)]=力(2一),结

1=1r=17-I/-I7-I

合等比数列的前〃顶和公式判断D.

【详解】♦.c”j)=g)小加锣唱,

令，=人则。+?=0,"。+1，力=0,A错误；

,./(2,j)_j-1/(3J)_j-2/(4J),f-3+l

'/(IJ)-27(2J)~3V(3J)~4'…'/(I,j)-i

累乘得：^二0一4一2)(丁3)(缶+D」

/(I,j)2x3x4x5x-xzj

•・・/aj)=i,.-jaj)=；cm),令j=[,则B错误；

因为(l+l)"=C：+C；+C：+••+€：；；,所以C；+C：+•+C：=2"—1,

立产/Uj)卜皮c；=J(2y-1),则C正确;

r-l/-I

之%j•»]=汽(2/-1)=2(：：")一〃=2fl+,-w-2,则D错误.

>1/=1j=l1-2

故选：c.

3.（2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义:对于数列｛《｝,如果存在一个常数7（TeN）,

使得对任意的正整数〃。恒有/订=4,则称数列｛4｝是从第〃。项起的周期为T的周期数列.已知周期数

列｛〃』满足：白=1,b2=3,一如（«>3）,则/23=（）

A.-1B.-3C.-2D.1

【答案】D

【分析】写出周期数列圾｝的前几项，发现周期为6,进而求得怎23的值.

【详解】写出周期数列他｝的前几项：

19392,—1,—3,—2，I，3,2,—1,—3,—2，1,...，

发现周期数列｛a｝是周期为6的周期数列，

••^2023=4:37x6+1=4=1•

故选：D.

q

4.（2023秋・福建南平•高二统考期末）若数列｛4｝的前〃项和为2，b普,则称数列也｝是数列｛q｝的“均

值数列”.已知数列出｝是数列｛%｝的“均管数歹广且瓦=〃，设数列•疯］施］，的前〃项和为刊，若

3(>—〃7+6-3)<7；对〃wN♦恒成立，则实数机的取值范围为()

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.(^o,-l)<J(2,+oo)D.(^ao,-l]u[2,-H»)

【答案】B

【分析】由新定义求得S”，然后由a'uS，-Si求得。“，从而可求得。(裂项相消法)后得空的最小值，解

相应不等式可得结论.

【详解】由题意2=〃，即篦二川，

n

*12*52

:.〃22时，an=S“-S”T=w-(n-l)=2n-\,

又％=£=1,，〃wN*时，an=2n-\,

11+

M+J2n-l+\!2n+l2

5省-16一百j2n+\->j2n-l，2〃+1-1

1,=---------1--------------FH------------------------=---------------»

“2222

易知｛叵?二§是递增数列，.・.｛后?-1｝的最小值是与1(〃=1时取得)，

由题意g(m2-ni+x/3-3)<坦2],解得-1<w<2.

故选：B.

5.(2023秋•山西长治•高三校联考阶段练习)对于一个〃项数列

A:ava2,,an,Sk=a｝+a2++%(1WkeN’)，记人的“050»平均值”为：(5]+52++5.)，若数列

4，％，…，4(HO的平均值”为2022，数歹11“，4，,，…，4oio的“。如白2平均值”为2046，贝ljx=()

A.24B.26C.1036D.1541

【答案】B

【分析】先求出E+S2++S如。的值，再根据平均值的求法列出等式，即可求出工的值.

【详解】因为数列4，&，…，%no的“Cewv平均值”为江奇产叫=2022,

所以，+S?+…+九2=2022X1010.

।-…Lu。ux+(x+S[)+(x+S))+…+(x+Sime)

因为其4，%,…，4(HO的“Cesam平均值''为一——<温；-----——也=2046,

所以......-------=2046,所以x+2020=2046,解得x=26,

故选:B.

6.（2023春・湖北咸宁•高二校考开学考试：等比数列｛叫中q=512,公比仁力，用n“=qq••…。”表示

它的前〃项之积，则n-n2,n.中最大的是（）

A.nHB.n10c.n9D.ng

【答案】c

【分析】根据题意分析凡,n〃的符号，结合前〃项之积的性质运算求解.

【详解】・.,4>0国=-3<0,则当〃为奇数时，q>0,当〃为偶数时，。“<0，

二当〃=4々一3卜£[^）或〃=4々k61^）时，0„>0,

当〃=4攵一2（AwN.）或力=4攵-l（AeN.）时，FI“<0,

若n“取到最大，则攵=3,〃=9,即｛n,r｝中最大的是口口

故选：C.

7.（2022秋・北京・高二北京二中校考期末）如果数列｛4｝满足肾旦=&"为常数），那么数列｛凡｝叫做

等比差数列，上叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是（）

①若数列｛4｝满足午■二？〃，则该数列是等比差数列；

②数列｛小2"｝是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.®®®C.①②④D.②③④

【答案】B

【分析】根据比等差数列的定义联-4=女"为常数），逐一判断①©③④是否是等比差数列即可可得到

4+14

答案.

【详解】①数列｛七｝满足如=2〃，则--+

4%4

满足等比差数列的定义，故①正确：

②数列｛小2"｝,

八―=(〃+2>2/2(〃+1)・2向

*a「(〃+12向小2”

n-(rt+2)-2-(n+l)2-22

=,

〃(〃+1)n(n+\)

不满足等比差数列的定义，故②错误；

③设等比数列的公比为/则---=4-4=。，

4+14

满足等比差数列，故③正确；

④设等差数列的公差为d,

则%!―%L=O+2d_组旦一4

'。向4a„+danq4+d)’

故当d=0时，满足吐一也=o,故存在等差数列是等比差数列，即④止确：

故答案为：①③④

故选:B.

8.(2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习)定义在(-8,0)U(0,+8)上的函数/(4)，如果对于任意给定

的等比数列｛q｝,｛/(4)｝仍是等比数列，则称/(力为“保等比数列函数现有定义在(y,o)u(o,y)上

的如下函数：①/(x)=d；②〃力=2"；③"x)=5®/(x)=ln|A|,其中是“保等比数列函数”的序号为

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根据新定义，结合等比数列性质%%,2=一一加以判断，即可得到结论.通过积的乘方，即

可判断①；通过指数的暴的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；白对数的运算法则，即可判断

【详解】设｛凡｝是等比数列，由等比数列性质知。必^二力…

对于①，/(4)/(4,2)=〃：。3=(。3)2=尸(4“)，即｛/(q)｝仍是等比数列，故正确；

对于②，f(an)f(an+2)=2^=2^=2小,

即｛/(《)｝不是等比数列，故不正确；

2

对于③，/(^)/(«n+2)=—•—=^-=/k+i),即｛/(4)｝是等比数列，故正确；

an4+2%+1

2

对于④，/(%)/(。“+2)=14dmi-I*(ln|aw+1|)=/(〃向)，

即｛/(q)｝不是等比数列，故不正确；

故选：c.

12

9.(2023秋•吉林•高二吉林一中校考期末)若数列｛%｝满足-------=°，则称｛〃”｝为“必会数列”，己知正

an+\an

项数列｛为｝为“必会数列”，若4+%=3,则4+。3=().

A.-B.1C.6D.12

9

【答案】D

【分析】根据数列新定义可得数列｛q｝是以。=g为公比的等比数列,利用等比数列通项公式,即可求得答

案.

,、121

【详解】由题意数列满足-------=0，可得4.广”

an+lan2

故正项数列｛4｝是以g为公比的等比数列，

则4+%=42(4+/)=；(/+%)=3，，。2+。3=12,

故选：D

10.(2022秋•陕西渭南•高二统考期末)设｛凡｝是无穷数列，若存在正整数3使得对任意的〃eN,,均有

凡“>凡，则称｛〃”｝是间隔递增数列，上是｛4｝的间隔数.若也｝是间隔递增数列，则数列低｝的通项不可熊

是()

9

A.b=2n——B.b=r+\

nnn

C.a=1D."=一〃(一2)”

【答案】D

【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.

99

【详解】对于A：2+广”=25+攵)一正可一2〃+/

9

化简得：b-b=k2+——>0,

n+knn(n+k)

存在正整数上使得对任意的〃eN・，2+,-2>0恒成立,

所以佃｝是间隔递增数列；

对于B：bn+k-b„=3〃+"+1-3"-1=（3氏-1）3〃，

因为左为正整数且〃eN，所以（3人-1）3">0,

所以"〃-2：>0,所以｛勿｝是间隔递增数列；

对于c：%一2=1一，

因为A为正整数且〃wN"所以邦-"卜0，

所以4〃-2>0,所以｛2｝是间隔递增数列；

对J。D：bn+k-hn=一（〃+左）（—2）'-*+〃（一2）”

=（—2『［〃—（〃+女）（一2）［,

当人正奇数，•时，2y>0,

（-2）”的正负由«的奇偶性决定，此时方3-勿>0不恒成立，

不符合间隔递增数列的定义；

当％w正偶数，“EN,时，〃-（〃+&）（-2『<0,

（-2）”的正负由〃的奇偶性决定，此时为〃一2>0不恒成立，

不符合间隔递增数列的定义；

故选：D.

11.（2023・全国•高三专题练习）对于数列小｝,若存在正整数攵（々之2）,使得倏<4-4<4句，则称4是

9

数列｛%｝的“谷值”，k是数列｛%｝的“谷值点”.在数列｛4｝中，若可=〃+>8,则数列｛为｝的“谷值点”为

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

376129

【分析】先求出4=2,=-,%=2,a=-,%=£,4=彳，%=：，4=三，再得到〃27,〃eN,

2445278

9

n+--8>0,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解.

n

9

【详解】因为《,=〃+-—8,

n

376129

所以4=2,a=-,4=2,a=-,

24。产〒4瓦

999c

当〃27,〃wN,n-\8>0,所以q=8=〃+—8,

nnn

Q

因为函数y=x+（-8在［7,+oo）上单调递增,

9

所以力27时，数列。”=〃+3-8为单调递增数列,

n

所以&<q,〃2<%，%v4，/</，

所以数列｛凡｝的“谷值点”为2,7.

故选：C.

12.（2023・全国•高二专题练习）若数列｛&｝满足。向=2%-1,则称｛&｝为“对奇数列”.已知正项数歹£2+1｝

为“对奇数列”，且4=2,则"=（）

A.2x3n-1B.C.2W"D.2"

【答案】D

【分析】根据题意可得“+|+1=2（〃+1）T,进而可得｛4｝为等比数列，再求得通项公式即可.

【详解】由题意得力向+1=2（0+1）—1,所以心=血，又仇=2,所以也｝是首项为2,公比为2的等比数

列，所以"=2X2"T=2".

故选：D.

13.（2022春•辽宁葫芦岛•高二校联考阶段练习）设介（勺）表示落在区间［〃,对］内的偶数个数.在等比数列

｛4-〃｝中，4=4,。2=11，则必。4）=（）

A.21B.20C.41D.40

【答案】C

【分析】设｛4-〃｝的公比为小根据《和。2求出9,从而得。“和心，再根据Q（q）的定义可求出结果.

x、生―211—2与

【详解】设质-〃｝的公比为小则夕=七=二77=3,

q-］q-I

所以4-1),^-'=(4-1)3"-'=3",则4=〃+3”，

所以q=4+3"=85.

所以落在区间[4,85]内的偶数共有41个，故九（4）=41.

故选：C

14.（2023春•湖北•高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列｛叫，定义4=%+2生++2"”“为数列｛&｝

的“加权和“，已知某数列｛4｝的“加权和''4=〃・2"”，记数歹£为+8｝的前〃项和为小若对任意的

〃eN'恒成立，则实数〃的取值范围为（）

1271f1671F5121「169-

A-B.[-7-5JC.[-5，-二」D.「亍，工

【答案】A

【分析】根据4与勺的关系求出凡，再根据等差数列的求和公式求出将（4岂化为

（〃-+也当]K0对任意的〃€*恒成立，分类讨论〃可求出结果.

I〃+6）

【详解】由4=%+2/+••+2”T《,=〃•2"、

•••〃22时,4+2^++2"-%/1_]=（〃_1）・2",

・•・.4=〃•2"J(〃-1).2",.・.a.=2〃+2