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文档简介
2023年新高考数学创新题型微专题(数学文
化、新定义)专题08数列专题(新定义)
一、单选题
1.(2023春•甘肃张掖・高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列{〃“}中,定义:
G”+2生+3:+…+以为数列{q}的,,匀称值,,已知数列{q}的“匀称值”为G.=〃+2,则该数列中的
%=()
812921
A.-B.—C.-D.—
3541()
2.(2023春•浙江•高二开学考试)对任意工整数对6,々),定义函数/SM)如下:/(1,力=1,
++»=(;-!)/(/,;),/<;,则()
A./(J+l,J)=lB./(/J)=2C;1
C.![/•/(/,J)]=J-(2y-l)D.££["(。川=20+〃-2
I-IJ=1J=1
3.(2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)定义:对于数列{4},如果存在一个常数7(TeN),
使得对任意的正整数〃N〃o恒有4+『=4,则称数列{4}是从第〃。项起的周期为T的周期数列.已知周期数
列{2』满足:3=1,3=3,bn=bz-bn-2(〃23),则篇23=()
A.-1B.-3C.-2D.1
C
4.(2023秋•福建南平•高二统考期末)若数列{%}的前〃项和为,,〃=李,则称数列也}是数列{4}的“均
值数列”.已知数列也}是数列{%}的“均指数歹广且〃=〃,设数列•瓦金丁的前〃项和为小若
;_机+6-3)<7;对〃wN•恒成立,则实数机的取值范围为()
A.[-1,2]B.(-1,2)
C.(华,一1)D(N+8)D.(^»,-l]u[2,+oo)
5.(2023秋•山西长治•高三校联考阶段练习)对于一个〃项数列
A:ava2,,an,Sk=ax+a2++4(14W拉,&tN),记A的“Cesam平均值”为'(£+S?++Sn),若数列
4,生,…,4(no的“Cesam平均值”为2022,数列乂4,的,…,喊的“Cesmv平均值”为2046,则X=()
A.24B.26C.1036D.1541
6.(2023春・湖北咸宁•高二校考开学考试:等比数列{叫中4=512,公比用口“=4。••…%表示
它的前〃项之积,则n»n2,山中最大的是()
A.nHB.nI0c.n9D.n8
7.(2022秋・北京・高二北京二中校考期末)如果数列{4}满足?:-空=女"为常数),那么数列{q}叫做
等比差数列,上叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是()
①若数列{勺}满足竽=2〃,则该数列是等比差数列;
②数列{m2”}是等比差数列;
③所有的等比数列都是等比差数列;
④存在等差数列是等比差数列.
A.①②③B.®®®C.①②④D.②③④
8.(2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习)定义在(y,0)U(0,w)上的函数/(%),如果对于任意给定
的等比数列{4},{/(4)}仍是等比数列,则称/(力为“保等比数列函数现有定义在(-8,0)1)(0,侄)上
的如下函数:①/'5)=/;②〃"=2,;③f(x)=3@/(x)=ln|A|,其中是“保等比数列函数”的序号为
()
A.①②B.③④C.①③D.②④
12
9.(2023秋・吉林・高二吉林一中校考期末)若数列{《,}满足^——-=0,则称{4}为“必会数列”,已知正
项数列{〃”}为“必会数列”,若4+4=3,则生+生=().
A.-B.1C.6D.12
9
10.(2022秋•陕西渭南•高二统考期末)设{凡}是无穷数列,若存在正整数底使得对任意的〃wN・,均有
为“>凡,则称{%}是间隔递增数列,上是{4}的间隔数.若也}是间隔递增数列,则数列低}的通项不可熊
是()
9
A.b=2n—B.b=3n+\
nnn
Ca二1一/D-2二一〃(一2)”
11.(2023•全国•高三专题练习)对于数列&},若存在正整数人(&N2),使得勺<见一用<4+1,则称4是
...Q
数列{/}的“谷值”,2是z数列{%}的“谷值点”.在数列{4}中,若勺=〃+7—8,则数列{%}的“谷值点”为
()
A.2B.7C.2,7D.2,5,7
12.(2023・全国•高二专题练习)若数列{q}满足。川=2%-1,则称{叫为“对奇数列”.已知正项数列出+1}
为“对奇数列”,且4=2,则勿=()
A.2X3"TB.2n~'C.2n+,D.2”
13.(2022春•辽宁葫芦岛•高二校联考阶段练习)设a(a“)表示落在区间[小凡]内的偶数个数.在等比数列
{4一〃}中,q=4,a2=11,则/2(%)=()
A.21B.20C.41D.40
14.(2023春•湖北•高三黄冈中学校联考开学考试)对于数列{4},定义儿=。产2%++2"-4为数列{q}
的“加权和”,已知某数列{4}的“加权和”4=小2日,记数列{4+p日的前〃项和为均,若毒ME对任意的
〃㊂N'恒成立,则实数p的取值范围为()
A-B-LT,-3JL2,_TJD.「〒工
15.(2023全国高三专题练习)若数列但}满足;若"一包(加,〃£1<),则%则称数列{纥}为“等
同数列已知数列{为}满足%=5,且4=〃(。向-可),若“等同数列”也}的前〃项和为3,且々=4=也,
4=/,S5=«|0,则Swz=()
A.4711B.4712C.4714D.4718
16.(2022・全国•高三专题练习)设数列k},若存在常数,对任意小的正数L总存在正整数〃°,当〃2%
时,同一|<$,则数列{4}为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是()
A.若等比数列{《,}是收敛数列,则公比夕£(0,1)
B.等差数列不可能是收敛数列
C.设公差不为。的等差数列{4}的前〃项和为s.(s“/0),则数列9一定是收敛数列
D.设数列血}的前〃项和为S“,满足4=1,Sz=4+1,则数列{4}是收敛数列
17.(2022春•安徽亳州•高三蒙城县第六中学校联考开学考试)设数列{4}:《,的,…,/。〃22),若
存在公比为夕的等比数列{与向}:存吊,…,%,使得<如,其中—1,2,则称数列出向}
为数列{4}的“等比分割数列”.若数列{A。}的通项公式为4=2”(〃=12…,⑼,其“等比分割数列”{品}的
首项为1,则数列{昂}的公比g的取值范围是()
A.便,2)B.(2科,2)C.(2,2,D.(2,2,
18.(2022春・江苏无锡•高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试)若数列{劭}满足
a2-^ai<a3-^a2<-<an-an_x<....则称数列{〃〃}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{c〃}的前〃
项和S〃满足S“+2c”=2f-l(〃eN.),则实数,的取值范围是()
A.(-8,g)B.(-co,1)
C.(―,4-co)D.(1,+cc)
19.(2022•浙江•高二学业考试)通过以下操作得到一系列数列:第1次,在2,3之间插入2与3的积6,
得到数列2,6,3;第2次,在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积,得到数列2,12,6,18,3;类
似地,第3次操作后,得到数列:2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后,得到的数
列记为{«,},则6物的值是()
A.6B.12C.18D.108
二、多选题
20.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)若数列{卬}满足:对任意正整数
〃,何+「叫为递减数列,则称数列㈤}为“差递减数列给出下列数列{叫(aN*),其中是“差递减数歹『
的有:)
2
A.a„=2"B.an=n
C.an=4nD.4=121
21.(2023春・江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习)若数列{可}满足:3ABeR,ABwO,使得对
于都有/=+则称{%}具有“三项相关性”,下列说法正确的有().
A.若数列{外}是等差数列,则{〃“}具有,三项相关性”
B.若数列{%}是等比数列,则{4}具有“三项相关性”
C.若数列{%}是周期数列,则{为}具有“三项相关性”
D.若数列{4}具有正项“三项相关性“,且正数A,3满足A+l=8,6+6=8,数歹U{2}的通项公式为
hn=B\{q}与低}的前〃项和分别为S.,T”,则对版S“<7;恒成立
22.(2023春・广东惠州•高三校考阶段练习)斐波那契数列又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多・斐波那契
以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义:用/表示斐波
那契数列的第〃项,则数列{%}满足:4=1=1,4+2=4+I+4,记之4=4+6+…+凡,则下列结论正
i=l
确的是()
A.数列{4}是递增数列B.2an=an_2+an+l(n>3)
20222021
a
C.E4=生022,。2023D.Zi="2023-1
r=l*=1
23.(2023秋•河北邯郸・高二统考期末)若{凡}不是等比数列,但{凡}中存在互不相同的三项可以构成等比
数列,则称{4}是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是()
A.12)"+8}B,{白}C.{9-右}D.厅+25}
24.(2023春・安徽蚌埠•高二蚌埠二中校考阶段练习)已知数列伍力是各项均为正数且公比不等于1的等比
数列(叱N)对于函数f(x),若数列{座&)}为等差数列,则称函数〃力为“保比差数列函数”,则定义
在(0,")上的如下函数中是“保比差数列函数”的有()
A.为“保比差数列函数“B.“力二/为,,保比差数列函数,,
C.〃x)=e,为“保比差数列函数"D.〃力=正为“保比差数列函数”
25.(2022秋•福建福州•高二校联考期末)在数列{4}中,若d-43=p(〃N2EcN.,p为常数),则称{4}为
“平方等差数列下列对“平方等差数列”的判断,其中正确的为()
A.{(-2)”}是平方等差数列
B.若{4}是平方等差数列,则{〃;}是等差数列
C.若{&}是平方等差数列,则{也十可出bwNd力为常数)也是平方等差数列
D.若{叫是平方等差数列,则{传用,}(£beN*A。为常数)也是平方等差数列
26.(2023秋・山西吕梁・高二统考期末)定义:在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,
这样的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1,4进行“美好成长”,第一次得到数列1,4,4;第二
次得到数列1,4,4,16,4,L,设第九次“美好成长”后得到的数列为1出占1,外,4,并记
=log4(lx^xx,xLXXAX4),则()
A.%=5B.all+l=3an-\
C.k=2n+\D.数列{〃q}的前〃项和为3””(2〃7);3+2〃(l+〃)
27.(2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数
列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列,
将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;…;第次得
到数列1,为,*2,均,…,冗,2.记。”=1+玉+%2+…+a+2,数列{q}的前〃项和为S”,则()
A.q=42B.。向=3。n-3
C.《=飘+3〃)D.W=33%2〃-3)
三、填空题
28.(2022春・上海长宁•高二上海市延安中学校考期中)对于数列{g},若存在正整数川,使得对任意正整
数〃,都有。…=可。(其中夕为非零常数),则称数列{〃“}是以加为周期,以1为周期公比的“类周期性等
比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列{凡}前21项的和
为
29.(2022秋•福建泉州.高二统考期末)对于数列{叫,记:型)=」包,△£)=请,△*=,,…,△?=消
(其中〃£N'),并称数列{△?}为数列{%}的k阶商分数列.特殊地,当{△*}为非零常数数列时,称数列{q}
20
是々阶等比数歹U.已知数列{%}是2阶等比数列,且4=2,%=2048,d3=2,若则
30.(2023•河南郑州・统考一模)“外观数歹犷是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外
观描达例如:取笫一项为1,将其外观描述为“1个1”,则第二项为11;将描述为“2个1”,则第三项为
21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211;将12n描述为力个1,1个个2个1”,则第五项为
111221,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.则
对于外观数列{q},下列说法正确的有.
①若4=3,则从4开始出现数字2;
②若%=k(攵=1,2,3,…,9),则的最后一个数字均为匕
③{q}不可能为等差数列或等比数列:
④若q=123,则勺均不包含数字4.
31.(2023秋•内蒙占阿拉善盟•高三阿拉善盟第一中学校考期末)设数列{4}的前〃项和为S〃,对任意〃GN
都有为+。向=,G为常数),则称该数列为*数列“,若数列{q}为“2数列",且4=-1,则$2023=.
32.(2023秋•宁夏吴忠•高二吴忠中学校考期末)定义〃个正数外P2,…,区的“均倒数”为,:上,若
各项均为正数的数列{an}的前〃项的“均倒数,,为高,则%侬的值为
33.(2023秋・安徽淮北•高二淮北一中校考期末)对给定的数歹叫4}(见工0),记2=也,则称数列{〃}为
“fl
数列几}的一阶商数列;记。二导,则称数列{。“}为数列{4}的二阶商数列;以此类推,可得数列{&}的
产阶商数列(PcN)已知数列应}的二阶商数列的各项均为e,且4=1,2=1,则4。=.
34.(2022秋•上海•高二期中)定义:对于任意数列{4},假如存在一个常数。使得对任意的正整数〃都有a“〈a.
且㈣%=",则称0为数列{%}的“上渐近值已知数列{。“}有4=。,生=〃(〃为常数,且〃>°),它的前〃
项和为S“,并且满足S”=运/),令%=2+学,记数列{四+0++P”-方}的“上渐近值''为h则
2°n+l%+2
100乃3,士生
cos——的值为
35.(2023・高二课时练习)定义:各项均不为零的数列{&}中,所有满足4<0的正整数i的个数称为这
4
个数列{凡}的变号数.已知数列也}的前〃项和S“=〃2—6〃+a(neN\。=5),令4=",~(〃wN),
若数列{q}的变号数为2,则实数。的取值范围是.
36.(2023春•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习)已知数列{q}满足%=b°g(〃+[)n>2nwN'
定义使qqq4("N*)为整数的上叫做“幸福数”,则区间[L2022]内所有“幸福数”的和为.
37.(2022春•高二单元测试)对于任意一个有穷数列,可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的
之和,构造一个新的数列,现对数列1,5进行构造,第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,
11,5,依此类推,第〃次得到数列1,与,x『与,…,5.记第〃次得到的数列的各项之和为S“,则{S.}
的通项公式2=.
38.(2022•黑龙江绥化•绥化市第一中学校考模拟预测)定义:若有穷数列《,出,…,%(〃eN),满足q=勺,
%=%,…,4=4,即(iwN,,且14区〃),则称该数列为“对称数列若数列也}是项数
为201(左€4)的对称数列,且%,b……,砥」构成首项为30,公差为-2的等差数列,记数列低}的
前24-1项的和为S21,则S2k取得最大值时k的值为.
39.(2020秋♦陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和
为同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列{q}是等和数列,且
4=-2,出g=8,则这个数列的前2020项的和为.
40.(2020秋・陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积
为同一个常数,那么这个数列称为等积数列,这个常数称为该数列的公积.已知数列{“”}是等积数列,且
卬=-2,公积为5,那么这个数列的前2()20项的和为一.
四、解答题
41.(2023秋•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期末)设数列{为}的前〃项和为S”.若
1<^-<2(/i€N,n>l),则称{%}是“紧密数列”.
⑴已知数列{叫是“紧密数列”,其前5项依次为,尹三,求x的取值范围;
⑵若数列{4}的前〃项和为S“=;(1+3)判断{4}是否是“紧密数列”,并说明理由;
(3)设数列{%}是公比为q的等比数歹IJ.若数列{为}与{S,J都是“紧密数列”,求夕的取值范围.
42.(2023•全国•高三专题练习)对于给定的正整数上若数列{4}满足:
%.+%.+1+...+&T+a0+i+...+4皿+4.«=2姐,,对任意正整数〃(〃>幻总成立,则称数列{q}是“P⑷
数列若数列{“〃}既是"P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{%}是等差数列.
43.(2023春•安徽淮北•高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)如果一个数列的各项都是实数,且
从第2项开始,每一项与前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列
的公方差.
(I)设数列{%}(q>())是公方差为P(P>0)的等方差数列,且6=1,求数列{%}的通项公式;
(2)若数列{q}既是等方差数列,又是等差数列,证明:数列{〃“}为常数列.
44.(2022春•上海黄浦•高三校考阶段练E)对于给定数列{%},如果存在实常数P、q使得=对
于任意〃eN”都成立,我们称数列{%}是“M类数列”.
(1)若%=2〃,—W€N\数列{%}、{"}是否为类数列”?
⑵若数列应}是类数列”,求证:数列甩+q+J也是类数列”;
(3)若数列{凡}满足4=2,4+可讨=3/,为常数.求数列{〃“}前2022项的和.
45.(2023・高二课时练习)定义:称工:,为〃个正数Pi,P-…,心,的“均倒数已知数列{q}
Pl+P二十…十Pn
的前〃项的“均倒数”为工,
⑴求{%}的通项公式;
(2)设试判断并说明q+i-q(〃为正整数)的符号;
(3)设函数/(力=-/+4%-嘉,是否存在最大的实数九,当“。时,对于一切的自然数〃都有f(x)W0.
专题08数列专题(新定义)
一、单选题
1.(2023春・甘肃张掖・高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列{〃”}中,定义:
G,=巴坟土学土士%为数列{《,}的.,匀称值,,己知数列{q}的,,匀称值,,为伉=〃+2,则该数列中的
4o=()
8n12八9r21
A.-B.—C.-D.—
35410
【答案】D
【分析】确定〃G,=〃(〃+2)=4+2%+%+…+〃q,取〃=10和〃=9带入式子,相减得到答案.
【详解】0=4+物+3:3+-+〃可=〃+2,即〃G.=〃5+2)=4+%+34+3+W.,
故q+2%+物+…+l()4o=10x(10+2);4+24+物+•••+%=9x(9+2);
21
两式相减得10%=21,所以%=木.
故选:D
2.(2023春・浙江•高三开学考试)对任意工整数对("幻,定义函数/(〃,2)如下:/(1J)=I,
A.+B./(/J)=2C;1
C.知产./(")]=D.£为"),力]=2"+/一2
l-lj=\J=l
【答案】c
【分析】根据新定义得,令i=J即可判断A,根据
=fg)二卜2〃4,j)J3
累乘可判断B,利用二项式定理求得
川,j)27(2,j)3)(3,j)4
C+C+…+C=2”-1,结合£[产/(3)]=史C”/(2,-l)判断c,££["«,/)]=力(2一),结
1=1r=17-I/-I7-I
合等比数列的前〃顶和公式判断D.
【详解】♦.c”j)=g)小加锣唱,
令,=人则。+?=0,"。+1,力=0,A错误;
,./(2,j)_j-1/(3J)_j-2/(4J),f-3+l
'/(IJ)-27(2J)~3V(3J)~4'…'/(I,j)-i
累乘得:^二0一4一2)(丁3)(缶+D」
/(I,j)2x3x4x5x-xzj
•・・/aj)=i,.-jaj)=;cm),令j=[,则B错误;
因为(l+l)"=C:+C;+C:+••+€:;;,所以C;+C:+•+C:=2"—1,
立产/Uj)卜皮c;=J(2y-1),则C正确;
r-l/-I
之%j•»]=汽(2/-1)=2(::")一〃=2fl+,-w-2,则D错误.
>1/=1j=l1-2
故选:c.
3.(2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)定义:对于数列{《},如果存在一个常数7(TeN),
使得对任意的正整数〃。恒有/订=4,则称数列{4}是从第〃。项起的周期为T的周期数列.已知周期数
列{〃』满足:白=1,b2=3,一如(«>3),则/23=()
A.-1B.-3C.-2D.1
【答案】D
【分析】写出周期数列圾}的前几项,发现周期为6,进而求得怎23的值.
【详解】写出周期数列他}的前几项:
19392,—1,—3,—2,I,3,2,—1,—3,—2,1,...,
发现周期数列{a}是周期为6的周期数列,
••^2023=4:37x6+1=4=1•
故选:D.
q
4.(2023秋・福建南平•高二统考期末)若数列{4}的前〃项和为2,b普,则称数列也}是数列{q}的“均
值数列”.已知数列出}是数列{%}的“均管数歹广且瓦=〃,设数列•疯]施],的前〃项和为刊,若
3(>—〃7+6-3)<7;对〃wN♦恒成立,则实数机的取值范围为()
A.[-1,2]B.(-1,2)
C.(^o,-l)<J(2,+oo)D.(^ao,-l]u[2,-H»)
【答案】B
【分析】由新定义求得S”,然后由a'uS,-Si求得。“,从而可求得。(裂项相消法)后得空的最小值,解
相应不等式可得结论.
【详解】由题意2=〃,即篦二川,
n
*12*52
:.〃22时,an=S“-S”T=w-(n-l)=2n-\,
又%=£=1,,〃wN*时,an=2n-\,
11+
M+J2n-l+\!2n+l2
5省-16一百j2n+\->j2n-l,2〃+1-1
1,=---------1--------------FH------------------------=---------------»
“2222
易知{叵?二§是递增数列,.・.{后?-1}的最小值是与1(〃=1时取得),
由题意g(m2-ni+x/3-3)<坦2],解得-1<w<2.
故选:B.
5.(2023秋•山西长治•高三校联考阶段练习)对于一个〃项数列
A:ava2,,an,Sk=a}+a2++%(1WkeN’),记人的“050»平均值”为:(5]+52++5.),若数列
4,%,…,4(HO的平均值”为2022,数歹11“,4,,,…,4oio的“。如白2平均值”为2046,贝ljx=()
A.24B.26C.1036D.1541
【答案】B
【分析】先求出E+S2++S如。的值,再根据平均值的求法列出等式,即可求出工的值.
【详解】因为数列4,&,…,%no的“Cewv平均值”为江奇产叫=2022,
所以,+S?+…+九2=2022X1010.
।-…Lu。ux+(x+S[)+(x+S))+…+(x+Sime)
因为其4,%,…,4(HO的“Cesam平均值''为一——<温;-----——也=2046,
所以......-------=2046,所以x+2020=2046,解得x=26,
故选:B.
6.(2023春・湖北咸宁•高二校考开学考试:等比数列{叫中q=512,公比仁力,用n“=qq••…。”表示
它的前〃项之积,则n-n2,n.中最大的是()
A.nHB.n10c.n9D.ng
【答案】c
【分析】根据题意分析凡,n〃的符号,结合前〃项之积的性质运算求解.
【详解】・.,4>0国=-3<0,则当〃为奇数时,q>0,当〃为偶数时,。“<0,
二当〃=4々一3卜£[^)或〃=4々k61^)时,0„>0,
当〃=4攵一2(AwN.)或力=4攵-l(AeN.)时,FI“<0,
若n“取到最大,则攵=3,〃=9,即{n,r}中最大的是口口
故选:C.
7.(2022秋・北京・高二北京二中校考期末)如果数列{4}满足肾旦=&"为常数),那么数列{凡}叫做
等比差数列,上叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是()
①若数列{4}满足午■二?〃,则该数列是等比差数列;
②数列{小2"}是等比差数列;
③所有的等比数列都是等比差数列;
④存在等差数列是等比差数列.
A.①②③B.®®®C.①②④D.②③④
【答案】B
【分析】根据比等差数列的定义联-4=女"为常数),逐一判断①©③④是否是等比差数列即可可得到
4+14
答案.
【详解】①数列{七}满足如=2〃,则--+
4%4
满足等比差数列的定义,故①正确:
②数列{小2"},
八―=(〃+2>2/2(〃+1)・2向
*a「(〃+12向小2”
n-(rt+2)-2-(n+l)2-22
=,
〃(〃+1)n(n+\)
不满足等比差数列的定义,故②错误;
③设等比数列的公比为/则---=4-4=。,
4+14
满足等比差数列,故③正确;
④设等差数列的公差为d,
则%!―%L=O+2d_组旦一4
'。向4a„+danq4+d)’
故当d=0时,满足吐一也=o,故存在等差数列是等比差数列,即④止确:
故答案为:①③④
故选:B.
8.(2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习)定义在(-8,0)U(0,+8)上的函数/(4),如果对于任意给定
的等比数列{q},{/(4)}仍是等比数列,则称/(力为“保等比数列函数现有定义在(y,o)u(o,y)上
的如下函数:①/(x)=d;②〃力=2";③"x)=5®/(x)=ln|A|,其中是“保等比数列函数”的序号为
()
A.①②B.③④C.①③D.②④
【答案】C
【分析】根据新定义,结合等比数列性质%%,2=一一加以判断,即可得到结论.通过积的乘方,即
可判断①;通过指数的暴的运算,即可判断②;通过积的运算即可判断③;白对数的运算法则,即可判断
【详解】设{凡}是等比数列,由等比数列性质知。必^二力…
对于①,/(4)/(4,2)=〃:。3=(。3)2=尸(4“),即{/(q)}仍是等比数列,故正确;
对于②,f(an)f(an+2)=2^=2^=2小,
即{/(《)}不是等比数列,故不正确;
2
对于③,/(^)/(«n+2)=—•—=^-=/k+i),即{/(4)}是等比数列,故正确;
an4+2%+1
2
对于④,/(%)/(。“+2)=14dmi-I*(ln|aw+1|)=/(〃向),
即{/(q)}不是等比数列,故不正确;
故选:c.
12
9.(2023秋•吉林•高二吉林一中校考期末)若数列{%}满足-------=°,则称{〃”}为“必会数列”,己知正
an+\an
项数列{为}为“必会数列”,若4+%=3,则4+。3=().
A.-B.1C.6D.12
9
【答案】D
【分析】根据数列新定义可得数列{q}是以。=g为公比的等比数列,利用等比数列通项公式,即可求得答
案.
,、121
【详解】由题意数列满足-------=0,可得4.广”
an+lan2
故正项数列{4}是以g为公比的等比数列,
则4+%=42(4+/)=;(/+%)=3,,。2+。3=12,
故选:D
10.(2022秋•陕西渭南•高二统考期末)设{凡}是无穷数列,若存在正整数3使得对任意的〃eN,,均有
凡“>凡,则称{〃”}是间隔递增数列,上是{4}的间隔数.若也}是间隔递增数列,则数列低}的通项不可熊
是()
9
A.b=2n——B.b=r+\
nnn
C.a=1D."=一〃(一2)”
【答案】D
【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.
99
【详解】对于A:2+广”=25+攵)一正可一2〃+/
9
化简得:b-b=k2+——>0,
n+knn(n+k)
存在正整数上使得对任意的〃eN・,2+,-2>0恒成立,
所以佃}是间隔递增数列;
对于B:bn+k-b„=3〃+"+1-3"-1=(3氏-1)3〃,
因为左为正整数且〃eN,所以(3人-1)3">0,
所以"〃-2:>0,所以{勿}是间隔递增数列;
对于c:%一2=1一,
因为A为正整数且〃wN"所以邦-"卜0,
所以4〃-2>0,所以{2}是间隔递增数列;
对J。D:bn+k-hn=一(〃+左)(—2)'-*+〃(一2)”
=(—2『[〃—(〃+女)(一2)[,
当人正奇数,•时,2y>0,
(-2)”的正负由«的奇偶性决定,此时方3-勿>0不恒成立,
不符合间隔递增数列的定义;
当%w正偶数,“EN,时,〃-(〃+&)(-2『<0,
(-2)”的正负由〃的奇偶性决定,此时为〃一2>0不恒成立,
不符合间隔递增数列的定义;
故选:D.
11.(2023・全国•高三专题练习)对于数列小},若存在正整数攵(々之2),使得倏<4-4<4句,则称4是
9
数列{%}的“谷值”,k是数列{%}的“谷值点”.在数列{4}中,若可=〃+>8,则数列{为}的“谷值点”为
()
A.2B.7C.2,7D.2,5,7
【答案】C
376129
【分析】先求出4=2,=-,%=2,a=-,%=£,4=彳,%=:,4=三,再得到〃27,〃eN,
2445278
9
n+--8>0,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解.
n
9
【详解】因为《,=〃+-—8,
n
376129
所以4=2,a=-,4=2,a=-,
24。产〒4瓦
999c
当〃27,〃wN,n-\8>0,所以q=8=〃+—8,
nnn
Q
因为函数y=x+(-8在[7,+oo)上单调递增,
9
所以力27时,数列。”=〃+3-8为单调递增数列,
n
所以&<q,〃2<%,%v4,/</,
所以数列{凡}的“谷值点”为2,7.
故选:C.
12.(2023・全国•高二专题练习)若数列{&}满足。向=2%-1,则称{&}为“对奇数列”.已知正项数歹£2+1}
为“对奇数列”,且4=2,则"=()
A.2x3n-1B.C.2W"D.2"
【答案】D
【分析】根据题意可得“+|+1=2(〃+1)T,进而可得{4}为等比数列,再求得通项公式即可.
【详解】由题意得力向+1=2(0+1)—1,所以心=血,又仇=2,所以也}是首项为2,公比为2的等比数
列,所以"=2X2"T=2".
故选:D.
13.(2022春•辽宁葫芦岛•高二校联考阶段练习)设介(勺)表示落在区间[〃,对]内的偶数个数.在等比数列
{4-〃}中,4=4,。2=11,则必。4)=()
A.21B.20C.41D.40
【答案】C
【分析】设{4-〃}的公比为小根据《和。2求出9,从而得。“和心,再根据Q(q)的定义可求出结果.
x、生―211—2与
【详解】设质-〃}的公比为小则夕=七=二77=3,
q-]q-I
所以4-1),^-'=(4-1)3"-'=3",则4=〃+3”,
所以q=4+3"=85.
所以落在区间[4,85]内的偶数共有41个,故九(4)=41.
故选:C
14.(2023春•湖北•高三黄冈中学校联考开学考试)对于数列{叫,定义4=%+2生++2"”“为数列{&}
的“加权和“,已知某数列{4}的“加权和''4=〃・2"”,记数歹£为+8}的前〃项和为小若对任意的
〃eN'恒成立,则实数〃的取值范围为()
1271f1671F5121「169-
A-B.[-7-5JC.[-5,-二」D.「亍,工
【答案】A
【分析】根据4与勺的关系求出凡,再根据等差数列的求和公式求出将(4岂化为
(〃-+也当]K0对任意的〃€*恒成立,分类讨论〃可求出结果.
I〃+6)
【详解】由4=%+2/+••+2”T《,=〃•2"、
•••〃22时,4+2^++2"-%/1_]=(〃_1)・2",
・•・.4=〃•2"J(〃-1).2",.・.a.=2〃+2
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